Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.intsys.msu.ru/staff/mironov/mathlog.pdf Дата изменения: Wed Apr 6 14:34:06 2005 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:30:20 2012 Кодировка:

mATEMATI^ESKAQLOGIKA
a m mIRONOW
. .


sODERVANIE
1 wYSKAZYWANIQ
1.1 1.2 1.3 1.4

2 fORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ

pONQTIE WYSKAZYWANIQ : sTRUKTURA WYSKAZYWANIJ aTOMARNYE WYSKAZYWANIQ sOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ 1.4.1 oTRICANIE : : : : 1.4.2 kON_@NKCIQ : : : 1.4.3 dIZ_@NKCIQ : : : 1.4.4 iMPLIKACIQ : : : 1.4.5 |KWIWALENCIQ : : 1.5 zADA^I : : : : : : : : : :

:: : : :: :: :: :: :: :: ::

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

7

7 7 8 8 8 8 8 9 9 9

3 aNALIZ RASSUVDENIJ
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

2.1 sINTAKSIS FORMULLOGIKI WYSKAZYWANIJ : : : : : : : : 2.1.1 zNAKOSO^ETANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.1.2 pONQTIE FORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ : : : : : 2.1.3 pREDSTAWLENIE FORMULDEREWXQMI : : : : : : : : : 2.1.4 sOGLA ENIQ OB \KONOMNOM ISPOLXZOWANII SKOBOK 2.1.5 gLAWNYE SWQZKI W FORMULAH : : : : : : : : : : : : 2.1.6 pODFORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.1.7 oBOZNA^ENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.2 zNA^ENIQ FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.2.1 zNA^ENIE FORMULY PRI OCENKEPEREMENNYH : : : 2.2.2 tABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL : : : : : : : : : : 2.3 pODSTANOWKI W FORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.4 tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY : : : : : : : : : : : 2.5 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.6 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.6.1 sINTAKSIS FORMULlw : : : : : : : : : : : : : : : 2.6.2 zNA^ENIQ FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2.6.3 tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY : : : : : : : 2.6.4 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : :

10

10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 14 14 15 16 16 16 16 16 16 17 17

lOGI^ESKAQ ISTINNOSTX : : : : : lOGI^ESKOE SLEDSTWIE : : : : : : lOGI^ESKOE RASSUVDENIE : : : : nEPROTIWORE^IWOSTX : : : : : : zADA^I : : : : : : : : : : : : : : 3.5.1 lOGI^ESKOE SLEDSTWIE : : 3.5.2 lOGI^ESKOE RASSUVDENIE 3.5.3 nEPROTIWORE^IWOSTX : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : :

16

1


4 mETOD REZOL@CIJ DLQ lw

5 wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

4.1 knf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 mETOD REZOL@CIJ DLQ lw : : : : : : : : 4.2.1 pONQTIE REZOLXWENTY : : : : : : : 4.2.2 oPISANIE METODA REZOL@CIJ : : : 4.2.3 kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ 4.2.4 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ : : : 4.3 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

19

19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 25 25 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28 28 28 28 28 29 30 31

6 oTNO ENIQ I FUNKCII

5.1 pONQTIE MNOVESTWA : : : : : : : : : : : : : : : 5.2 sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW : : : : : : : : : : 5.2.1 pERE^ISLENIE : : : : : : : : : : : : : : 5.2.2 uKAZANIE SWOJSTWA : : : : : : : : : : : 5.3 pODMNOVESTWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.3.1 pONQTIE PODMNOVESTWA : : : : : : : : : 5.3.2 pUSTOE MNOVESTWO : : : : : : : : : : : : 5.3.3 mNOVESTWO WSEHPODMNOVESTW : : : : : 5.4 oPERACII NAD MNOVESTWAMI : : : : : : : : : : 5.4.1 oPERACII NAD PAROJMNOVESTW : : : : 5.4.2 oPERACII NAD SEMEJSTWAMI MNOVESTW 5.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.1 sPISKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.2 dEKARTOWY PROIZWEDENIQ : : : : : : : : : : 6.3 bINARNYE OTNO ENIQ : : : : : : : : : : : : 6.3.1 pONQTIE BINARNOGOOTNO ENIQ : : 6.3.2 oPERACII NA OTNO ENIQH : : : : : 6.3.3 sPECIALXNYE BINARNYE OTNO ENIQ 6.3.4 |KWIWALENTNOSTI : : : : : : : : : : 6.3.5 ~ASTI^NYE PORQDKI : : : : : : : : : 6.4 fUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.4.1 pONQTIE FUNKCII : : : : : : : : : : 6.4.2 oBRAZY I PROOBRAZY : : : : : : : : 6.4.3 kLASSY FUNKCIJ : : : : : : : : : : : 6.4.4 mONOTONNYE FUNKCII : : : : : : : : 6.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.5.1 dEKARTOWY PROIZWEDENIQ : : : : : : 6.5.2 bINARNYE OTNO ENIQ : : : : : : : : 6.5.3 |KWIWALENTNOSTI : : : : : : : : : : 6.5.4 ~ASTI^NYE PORQDKI : : : : : : : : : 6.5.5 fUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

21

25

7 oSNOWNYE REZULXTATY TEORII MNOVESTW
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

mO]NOSTX MNOVESTWA : : : : : : : tEOREMA kANTORA : : : : : : : : : tEOREMA kANTORA-bERN TEJNA : : aKSIOMA WYBORA I LEMMA cORNA : tEOREMA cERMELO : : : : : : : : : tRIHOTOMIQ KARDINALXNYH ^ISEL tRANSFINITNAQ INDUKCIQ : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

32
32 32 33 33 33 33 33

2


8 lOGIKA PREDIKATOW

9 tEOREMA |RBRANA
9.1 9.2

8.1 wYRAVENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.1.1 tIPY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.1.2 pEREMENNYE, KONSTANTY, FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, PREDIKATY 8.1.3 iNTERPRETACII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.1.4 wYRAVENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.1.5 pODSTANOWKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.1.6 oZNA^IWANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2 fORMULY LOGIKI PREDIKATOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2.1 pONQTIE FORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2.2 zNA^ENIQ FORMULlp : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2.3 pRIMERY FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2.4 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH W FORMULY : : : 8.3 oTNO ENIQ, OPREDELQEMYE FORMULAMI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.4 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5.1 fORMALIZACIQ PREDLOVENIJ ESTESTWENNOGOQZYKA : : : : : : : : 8.5.2 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH : : : : : : : : : : 8.5.3 wYPOLNIMOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5.4 tAWTOLOGII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5.5 iSTINNOSTX FORMULWINTERPRETACIQH : : : : : : : : : : : : : : : 8.5.6 sWOJSTWA, WYRAVAEMYE FORMULAMI : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5.7 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

34

34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 37 37 38 38 38 38 38 39 39 41 42 43 43 43 44 44 44 45 45 46 46 46 47 47 48 48 48 50 50 50 51 52 53 53 53 53

10 mETOD REZOL@CIJ DLQ lp

sKOLEMOWSKAQNORMALXNAQ FORMA : : : : : : |RBRANOWSKIE INTERPRETACII : : : : : : : : 9.2.1 pONQTIE \RBRANOWSKOJINTERPRETACII 9.2.2 sWQZX PROIZWOLXNYH INTERPRETACIJ S 9.3 sEMANTI^ESKIE DEREWXQ : : : : : : : : : : : : : 9.3.1 lEMMA k 10.1 oPISANIE METODA REZOL@CIJ : : : : : : 10.1.1 pONQTIE UNIFIKATORA : : : : : : 10.1.2 sISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW 10.1.3 pONQTIE REZOLXWENTY : : : : : : 10.1.4 pONQTIE SKLEJKI : : : : : : : : 10.2 kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ : : : 10.3 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ : : : : : : 10.4 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11.1 sEMANTI^ESKIJ WYWODW lw : : 11.1.1 sEMANTI^ESKIE TABLICY 11.1.2 dEREWO SEMANTI^ESKOGOW 11.2 sEMANTI^ESKIJ WYWODW lp : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

:::: :::: :::: |i : : :::: :::: :::: :::: :::: : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

42

46

11 sEMANTI^ESKIJ WYWOD

12 tEOREMA g
::::: ::::: YWODA : ::::: : : : : : : : : : : : : : :

50

12.1 aKSIOMATI^ESKIJ METOD : : : : : : 12.2 sTROKI I FUNKCII NA NIH : : : : : 12.2.1 sIMWOLXNYE STROKI : : : : : 12.2.2 bAZOWYE FUNKCII : : : : : : 12.2.3 fUNKCIONALXNYE PROGRAMMY

52


12.3 12.4 12.5 12.6

13 mODALXNAQLOGIKA
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

12.2.4 sTROKOWOE PREDSTAWLENIE FORMUL : : : : : : 12.2.5 nEKOTORYE fp : : : : : : : : : : : : : : : : : 12.2.6 sTROKOWAQ INTERPRETACIQ : : : : : : : : : : fORMALXNYE SISTEMY : : : : : : : : : : : : : : : : : 12.3.1 pONQTIE FORMALXNOJSISTEMY : : : : : : : : 12.3.2 dOKAZATELXSTWA, SWQZANNYE S WY^ISLENIQMI 12.3.3 dOPOLNITELXNYE AKSIOMY : : : : : : : : : : oPERATORDOKAZUEMOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : lEMMA O NEPODWIVNOJ TO^KE : : : : : : : : : : : : : tEOREMA g
: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

54 54 54 55 55 56 56 57 57 58

13.6

13.7 13.8 13.9

14 nE^ETKIE LOGIKI

pONQTIE O MODALXNOJLOGIKE : : : : : : : : : : : : : : mODALXNYE FORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : mODALXNYE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : mODALXNYE ALGEBRY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : mODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13.5.1 pONQTIE MODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : : 13.5.2 mORFIZMY MODELEJ kRIPKE : : : : : : : : : : hARAKTERIZACIQ OTNO ENIJ PEREHODA FORMULAMI : : 13.6.1 tRANZITIWNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : 13.6.2 n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

59

59 59 60 60 61 61 61 62 62 62 62 62 62 62 62 63 63 63 64 64 65 65 65 66 66 66 66 67 67 68 68 68 68 68 68 69 71 71 71 72 76 76 76

14.1 wWEDENIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14.2 nE^ETKIE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14.2.1 {KALA OCENOK : : : : : : : : : : : : : : : : 14.2.2 nE^ETKIE MODALXNYE FORMULY : : : : : : 14.2.3 pODSTANOWKI : : : : : : : : : : : : : : : : : 14.2.4 tAWTOLOGII : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14.2.5 nE^ETKIE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : : 14.3 nE^ETKIE MODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : : : : 14.3.1 nE^
65


14.8 pOLNOTA LOGIKI F K : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

5


wWEDENIE
LOGIKOJ){ \TONAUKA, KOTORAQ IZU^AET, KAKIM OBRAZOM ET WYPOLNITX DLQ RE ENIQ EGOZADA^I
MY WYRAVAEM MYSLI, DELAEM UMOZAKL@^ENIQ, I KAK WS< \TOMOVNO PREDSTAWITX FORMALXNO. lOGIKA QWLQETSQ OSNOWOJWSEH OSTALXNYH NAUK. oDNOJ IZ WAVNEJ IH OBLASTEJ PRIMENENIQ METODOW LOGIKI QWLQ@TSQ INFORMACIONNO{KOMPX@TERNYE SISTEMY, GDE LOGIKA QWLQETSQ TEORETI^ESKIM FUNDAMENTOM DLQ RAZRABOTKI QZYKA OB]ENIQ ^ELOWEKA S KOMPX@TEROM, DA@]EGO WOZMOVNOSTX ^ELOWEKU PREDSTAWLQTX W KOMPX@TERE ZNANIQ, OTNOSQ]IESQ K EGO OBLASTI DEQTELXNOSTI, NAIBOLEE ESTESTWENNYM I UDOBNYM SPOSOBOM, METODOW AWTOMATI^ESKOGO POISKA OTWETOW NA WOPROSY, ISHODQ IZ IME@]IHSQ ZNANIJ, AWTOMATI^ESKOGOPOROVDENIQ NOWYH ZNANIJ. lOGIKA SOSTOIT IZ NESKOLXKIH RAZDELOW. w NASTOQ]EM KURSE MY IZU^IM OSNOWY SLEDU@]IH IZ NIH: 1. LOGIKA WYSKAZYWANIJ 2. TEORIQ MNOVESTW 3. LOGIKA PREDIKATOW 4. TEOREMA g .

GI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ. lOGI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE SWQZANO S POSTROENIEM I ISPOLXZOWANIEM QZYKOW PROGRAMMIROWANIQ WYSOKOGO UROWNQ. pROGRAMMA NA QZYKEWYSOKOGOUROWNQ PREDSTAWLQET SOBOJOPISANIE RE AEMOJZADA^I, WOTLI^IE OT PROGRAMM NA QZYKAH NIZKOGOUROWNQ (KOTORYMI QWLQ@TSQ, NAPRIMER, pASKALX ILI sI), NA KOTORYH

6


lEKCIQ 1

wYSKAZYWANIQ
1.1
oDNOJ IZ PROSTEJ IH FORM LOGI^ESKOGO SUVDENIQ QWLQETSQ LOGI^ESKOE WYSKAZYWANIE (NAZYWAEMOE NIVE PROSTO WYSKAZYWANIEM). wYSKAZYWANIE { \TOPOWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, O KOTOROM W KAVDOJ KONKRETNOJ SITUACII MOVNO SKAZATX, ISTINNOONOILI LOVNO. iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX WYSKAZYWANIJ ZAWISIT OT INTERPRETACII PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE: WODNOJ SITUACII (T.E. PRI ODNOJ INTERPRETACII PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE) ONO MOVET BYTX ISTINNYM, WTO WREMQ KAK W DRUGOJ SITUACII (T.E. PRI DRUGOJ INTERPRETACII PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE) ONOMOVET BYTX LOVNYM. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE gORODoDESSA NAHODITSQ W aMERIKE QWLQETSQ LOVNYM, ESLI PODoDESSOJIMEETSQ WWIDU IZWESTNYJ GOROD NA uKRAINE, I ISTINNYM, ESLI PODoDESSOJIMEETSQ WWIDU GOROD W TATE d\LAW\R (s{a).

pONQTIE WYSKAZYWANIQ

wYSKAZYWANIQ (1.1) I (1.2) MOVNO S^ITATX \LEMENTARNYMI, ILI ATOMARNYMI, WTOM SMYSLE, ^TOONI NEPREDSTAWIMY W WIDEKOMBINACII BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ. wYSKAZYWANIE (1.3) MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ: ~ISLO 5 BOLX E 1. (1.7) ~ISLO 5 MENX E 10. (1.8) eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.7) SIMWOLOM A, A WYSKAZYWANIE (1.8) SIMWOLOM B , TO WYSKAZYWANIE (1.3) MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKOMBINACII A I B: wYSKAZYWANIE (1.4) MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ: sEGODNQ ID 7

1.2

rASSMOTRIM SLEDU@]IE PRIMERY WYSKAZYWANIJ: mOSKWA - STOLICA rOSSII. (1.1) pARIV NAHODITSQ W aMERIKE. (1.2) ~ISLO 5 BOLX E 1 IMENX E 10. (1.3) sEGODNQ ID
sTRUKTURA WYSKAZYWANIJ


wYSKAZYWANIE (1.6) MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ: pA A NAHODITSQ NA ULICE. (1.13) pA A NAHODITSQ DOMA. (1.14) eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.13) SIMWOLOM A, A WYSKAZYWANIE (1.14) SIMWOLOM B , TO WYSKAZYWANIE (1.6) MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKOMBINACII A RAWNOSILXNO (NE B ): dANNYE PRIMERY NAWODQT NA MYSLX, ^TO WSE WYSKAZYWANIQ MOVNORAZDELITX NA DWA KLASSA 1. PROSTYE (ILI ATOMARNYE) WYSKAZYWANIQ, I 2. SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ, KOTORYE QWLQ@TSQ KOMBINACIQMI ATOMARNYH WYSKAZYWANIJ.

T.E.

ESLI WYSKAZYWANIE A LOVNO, TO WYSKAZYWANIE :A ISTINNO, I ESLI WYSKAZYWANIE A ISTINNO, TO WYSKAZYWANIE :A LOVNO.

1.4.2

eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TOZNAKOSO^ETANIE A ^ B OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ KON_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \A I B". zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A ^ B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ: A B A^B
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 (1.16)

kON_@NKCIQ

1.3

TOROE MY RASSMATRIWAEM KAK NE PREDSTAWIMOE W WIDE ESLI HOTQ BYODNO IZ WYSKAZYWANIJ A I B LOVNO, KOMBINACII BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ. TO WYSKAZYWANIE A ^ B LOVNO, I pRI FORMALXNOM ANALIZE WYSKAZYWANIJ KAVDOE ATOMARNOE WYSKAZYWANIE BUDET OBOZNA^ATXSQ NEKOTORYM ESLI OBA WYSKAZYWANIQ A I B ISTINNY, TO WYSKASIMWOLOM, KOTORYJ NAZYWAETSQ BULEWOJPEREMENNOJ. ZYWANIE A ^ B ISTINNO. kAK PRAWILO, \TO - STRO^NAQBUKWA LATINSKOGOALFAWITA (WOZMOVNO, SINDEKSOM WNIZU). bULEWY PEREMENNYE, OBOZNA^A@]IE ATOMARNYE WYSKAZYWANIQ, DOLVNY BYTX 1.4.3 dIZ_@NKCIQ WYBRANY TAK, ^TOBY RAZNYM ATOMARNYM WYSKAZYWANI- eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TOZNAKOSO^ETANIE A _ B OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ DIZ_QM SOOTWETSTWOWALI RAZNYE BULEWY PEREMENNYE. @NKCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I^ITAETSQ \A ILI B". zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A _ B OPREDELQETSQ SLEDU1.4 @]EJ TABLICEJ: iZ WYSKAZYWANIJ PUT
aTOMARNOE WYSKAZYWANIE { \TO WYSKAZYWANIE, KO- T.E

aTOMARNYE WYSKAZYWANIQ

.

sOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ

0 1

1 0

(1.15)

8


eSLI INTERPRETIROWATX SWQZKU \ILI" W ISKL@^A@- sOGLASNO ZDRAWOMU SMYSLU, WYSKAZYWANIE (1.20) SLE]EM SMYSLE, TO TOGDA ZNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A _ B DUET S^ITATX ISTINNYM NEZAWISIMO OT ZNA^ENIQ x. w ^ASTNOSTI, BUDET OPREDELQTXSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ: A B A_B ESLI x =5, TOPOSYLKA I ZAKL@^ENIE BUDUT IMETX ZNA^ENIE 0, 00 0 01 1 ESLI x =6, TOPOSYLKA BUDET IMETX ZNA^ENIE 0, A 10 1 ZAKL@^ENIE { ZNA^ENIE 1, 11 0 A WS< SOGLASNO nIVEMY BUDEM RASSMATRIWATX UPOTRE BLENIE SWQZKI DOLVNWYSKAZYWANIE (1.20), IMETX ZNASKAZANNOMU WY E, O W OBEIH SITUACIQH ^ENIE 1. \ILI" TOLXKOWPERWOM (W \NEISKL@^A@]EM") SMYSLE. eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TO ZNAKOSO^ETANIE A ! B OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ IMPLIKACIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \IZ A SLEDUET B ", ILI \ESLI ISTINNO A, TO ISTINNO B ". wYSKAZYWANIE A NAZYWAETSQ POSYLKOJ IMLIKACII A ! B , A WYSKAZYWANIE B NAZYWAETSQ ZAKL@^ENIEM IMLIKACII A ! B . zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A ! B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ: A B A!B
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 (1.18)
1.4.4

iMPLIKACIQ

eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TOZNAKOSO^ETANIE A $ B OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ \KWIWALENCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \A RAWNOSILXNO B ". zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A $ B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ: A B A$B
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 (1.21)

1.4.5

|KWIWALENCIQ

T.E. WYSKAZYWANIE A $ B ISTINNOTOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA A I B IME@T ODNOITOVEZNA^ENIE.

T.E. IMPLIKACIQ LOVNA W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA E< POSYLKA ISTINNA, A E< ZAKL@^ENIE - LOVNO. wO 1.5 WSEH OSTALXNYH SLU^AQH, T.E. KOGDA 1. zAPISATX SLEDU@]IE WYSKAZYWANIQ S ISPOLXZOWAPOSYLKA IMPLIKACII LOVNA, ILI NIEM BULEWYH PEREMENNYH I SWQZOK: ZAKL@^ENIE IMPLIKACII ISTINNO (a) eSLI G-N iWANOW S^ASTLIW, TOG-VA iWANOWA NES^ASTLIWA, I ESLI G-N iWANOW NES^ASTLIW, IMPLIKACIQ POOPREDELENI@ QWLQETSQ ISTINNOJ. TOG-VA iWANOWA S^ASTLIWA. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE (b) iLI pETQ POJD
zADA^I

9


lEKCIQ 2

fORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ
2.1
2.1.1

sINTAKSIS FORMUL LOGIKI WYSKAZYWANIJ
zNAKOSO^ETANIQ

NAQSTROKA, KOTORAQMOVET BYTX PUSTOJ. pUSTAQSTROKA OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM ". kONKATENACIEJ ZNAKOSO^ETANIJ u I v NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM u v, IPOLU^AEMOE PRIPISYWANIEM v SPRAWA K u, T.E. ESLI u = a1 ::: an I v = b1 ::: bm , TO u v = a1 ::: anb1 ::: bm . pO OPREDELENI@, " u = u " = u.
2.1.2

zNAKOSO^ETANIEM NAZYWAETSQ PROIZWOLXNAQ SIMWOLX-

fORMULA LOGIKI WYSKAZYWANIJ (NAZYWAEMAQNIVE FORMULOJlw, AW DANNOJ GLAWE { PROSTO FORMULOJ)
{ \TO ZNAKOSO^ETANIE, KOTOROE

pONQTIE FORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ

QWLQETSQ BULEWOJPEREMENNOJ, ILI SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ IZ SPISKA (:A) (A ^ B ) (A _ B ) (A ! B ) (A $ B ) (2.1) GDE A I B { FORMULY. sIMWOLY : ^ _ ! $ NAZYWA@TSQ SWQZKAMI. dLQ KAVDOJFORMULY A SOWOKUPNOSTX WSEHBULEWYH PEREMENNYH, WHODQ]IH W A, OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM Var(A): kAVDU@ FORMULU A MOVNO PREDSTAWITX W WIDEDEREWA, OBOZNA^AEMOGO SIMWOLOM tree(A), I NAZYWAEMOGO DEREWOM SINTAKSI^ESKOGO RAZBORA FORMULY A. w DANNOM PARAGRAFE PODDEREWOMMY PONIMAEM SOWOKUPNOSTX WER IN, GDE KAVDAQ WER INA IZOBRAVAETSQ KRUVO^KOM, WNUTRI KOTOROGO NARISOWANA BULEWA PEREMENNAQ ILI SWQZKA, NAZYWAEMAQ METKOJ \TOJ WER INY, I
2.1.3

SOWOKUPNOSTX R p

pREDSTAWLENIE FORMULDEREWXQMI

;; @@@ ; R

: ^

q

? ;; @@@ ; R

r

10


2.1.4

:q p ^:q :(p ^:q) :(p ^:q) ! r sOWOKUPNOSTX WSEH PODFORMUL FORMULY A OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM hAi. nETRUDNODOKAZATX, ^TO 1. (a) ESLI A QWLQETSQ BULEWOJPEREMENNOJ, TO hAi SOSTOIT IZ ODNOJFORMULY A, (b) ESLI A IMEET WID :B , TO hAi SOSTOIT IZ FORMULY A, IWSEHPODFORMULFORMULY B , (c) ESLI A SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ IZ SPISKA B^C B_C B !C B $C TOSOWOKUPNOSTX hAi SOSTOIT IZ FORMULY A, WSEHPODFORMUL B , IWSEHPODFORMUL C 2. KAVDOJ SWQZKE W FORMULE A SOOTWETSTWUET NEKOTORAQPODFORMULA FORMULY A (WKOTOROJ DANNAQ SWQZKA QWLQETSQ GLAWNOJ). 2.1.5 gLAWNYE SWQZKI W FORMULAH OE M eSLI FORMULA A SODERVIT HOTQ BYODNU SWQZKU, TOOD- 3. SU]ESTWUET WZAIMNOODNOZNA^NA ISOOTWETSTWIE DEE-VDU PODFORMULAMI FORMULY WER INAMI NA IZ SWQZOK, WHODQ]IH W DANNU@ FORMULU, NAZYWAETSQ REWA tree(A). GLAWNOJ:
11

dLQ OBLEG^ENIQ ^TENIQ SLOVNYH FORMUL ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE SOGLA ENIQ: 1. w FORMULE MOVNO OPUSTITX WNE N@@ PARU SKOBOK. 2. sWQZKI : ^ _ ! $ UPORQDO^ENY PO SILE SWQZYWANIQ W TOJVEPOSLEDOWATELXNOSTI, WKOTOROJONI WYPISANY (T.E. : SWQZYWAET SILXNEE WSEGO, IDALEE - POUBYWANI@). |TO OZNA^AET, ^TOMOVNOOPUSKATX W FORMULEWSE TE PARY SKOBOK, BEZ KOTORYH WOZMOVNO WOSSTANOWLENIE \TOJ FORMULY NA OSNOWE SLEDU@]EGO PRAWILA. pROSMATRIWA@TSQ WSE WHOVDENIQ SWQZKI : W POSLEDOWATELXNOSTI \SLEWA NAPRAWO". dLQ KAVDOGO WHOVDENIQ SWQZKI : OPREDELQETSQ NAIMENX EE ZNAKOSO^ETANIE SPRAWA OT \TOGO WHOVDENIQ, KOTOROE QWLQETSQ FORMULOJ. |TO ZNAKOSO^ETANIE ZAKL@^AETSQ W SKOBKI. zATEM PROSMATRIWA@TSQ WSE WHOVDENIQ SWQZKI ^ WPOSLEDOWATELXNOSTI \SLEWA NAPRAWO". dLQ KAVDOGO WHOVDENIQ SWQZKI ^ OPREDELQETSQ NAIMENX AQ PARA ZNAKOSO^ETANIJ, OKRUVA@]IH DANNOE WHOVDENIE SLEWA I SPRAWA, KOTORYE QWLQ@TSQ FORMULAMI. dANNAQ PARA ZNAKOSO^ETANIJ ZAKL@^AETSQ W SKOBKI. zATEM WYPOLNQ@TSQ ANALOGI^NYE DEJSTWIQ DLQ SWQZOK _ ! I $. nAPRIMER, W ZNAKOSO^ETANII A _:B ! C ^ A SKOBKI WOSSTANAWLIWA@TSQ SLEDU@]IMI AGAMI: A _ (:B ) ! C ^ A A _ (:B ) ! (C ^ A) (A _ (:B )) ! (C ^ A) ((A _ (:B )) ! (C ^ A)) oTMETIM, ^TONE WSQKAQFORMULA MOVET BYTX ZAPISANA BEZ UPOTRE BLENIQ SKOBOK. nAPRIMER, NEWOZMOVNO OPUSTITX SKOBKI W FORMULAH A ! (B ! C ) I A ^ (B _ C )

sOGLA ENIQ OB \KONOMNOM ISPOLX ZOWANII SKOBOK

-

ESLI A IMEET WID :B , TO GLAWNOJ QWLQETSQ SWQZKA : PEREDFORMULOJ B , ESLI A SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ WIDA B ^C B _C B !C B $C TOGLAWNOJ QWLQETSQ SOOTWETSTWU@]AQ SWQZKA MEVDU B I C . dRUGIMI SLOWAMI, GLAWNOJSWQZKOJFORMULY NAZYWAETSQ TA WHODQ]AQ W NE< SWQZKA, KOTORAQ PRI POSTROENII \TOJFORMULY PRIMENQETSQ POSLEDNEJ. oTMETIM, ^TOPOD GLAWNOJ SWQZKOJWFORMULE A PONIMAETSQ NE TOLXKO SIMWOL, QWLQ@]IJSQ DANNOJ SWQZKOJ, NOIPOZICIQ \TOGO SIMWOLA W FORMULE A. pUSTX ZADANA PARA FORMUL A B . B NAZYWAETSQ PODFORMULOJ FORMULY A, ESLI A MOVNOPREDSTAWITX W WIDEKONKATENACII C B D. nAPRIMER, ESLI A IMEET WID :(p ^:q) ! r TOE p q r
2.1.6

pODFORMULY


2.1.7

pUSTX a b { PARA ^ISEL, RAWNYH 0 ILI 1. bUDEM S^ITATX, ^TOZNAKOSO^ETANIQ dLQ KAVDOJFORMULY A FORMULA :A MOVET TAKVEZAPISYWATXSQ W WIDE A. a a^b a_b a ! b a $ b dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 ::: Ak FORMUL ZNAKOSO^ETANIQ OBOZNA^A@T ^ISLA, OPREDELQEMYE W SOOTWETSTWII S TABLICAMI (1.15), (1.16), (1.17), (1.18), (1.21), T.E. A1 ^ A2 ^ ::: ^ Ak I A1 _ A2 _ ::: _ Ak 0= 1 1= 0 QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL 0 ^ 0= 0 ^ 1= 1 ^ 0= 0 1 ^ 1=1 IT.D. A1 ^ (A2 ^ (::: ^ Ak ) :::) I A1 _ (A2 _ (::: _ Ak ) :::) NA^ENIE SOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVEMOGUT OBOZNA- tOGDA ZRAZOM: SLOVNYH FORMUL OPREDELQETSQ SLEDU]IM OB ^ATXSQ SOOTWETSTWENNO ZNAKOSO^ETANIQMI

oBOZNA^ENIQ

2.2
2.2.1

zNA^ENIQ FORMUL

8A 9 2A 3 < 1= 1 ::: I 4 ::: 5 : Ak Ak

( ( ( ( (

B B B B B

^ C) _ C) !C $C

)

= = = )= )=

( ( ( ( (

B B B B B

) ) ) ) )

^ _ ! $

(C ) (C ) (C ) (C )

(2.2)

pUSTX X { NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX BULEWYH PEREMENNYH. oCENKA PEREMENNYH IZ X { \TO SOOTWETSTWIE , KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOJ PEREMENNOJ p IZ X ZNA^ENIE (p), RAWNOE 0 ILI 1. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI X SOSTOIT IZ n BULEWYH PEREMENNYH, TO TOGDA WOZMOVNY 2n OCENOK PEREMENNYH IZ X . dLQ KAVDOJFORMULY A, KAVDOJSOWOKUPNOSTI X BULEWYH PEREMENNYH, SODERVA]EJ WSE PEREMENNYE IZ Var(A), I KAVDOJOCENKI PEREMENNYH IZ X ZNAKOSO^ETANIE (A) OBOZNA^AET ZNA^ENIE A PRI OCENKE , RAWNOE 0 ILI 1, KOTOROE WY^ISLQETSQ TAK VE, KAK WY^ISLQ@TSQ ZNA^ENIQ SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ W PUNKTE 1.4, T.E. DLQ \TOGO WY^ISLQ@TSQ ZNA^ENIQ WSEHPODFORMULIZ hAi: ZNA^ENIQ PEREMENNYH IZ Var(A) OPREDELQ@TSQ OCENKOJ , ESLI DLQ PODFORMULY IZ hAi WIDA B ^ C ZNA^ENIQ (B ) I (C ) UVE WY^ISLENY, TOZNA^ENIE (B ^ C ) WY^ISLQETSQ PO TABLICE (1.16) IT.D. oPREDELENIE ZNA^ENIQ SLOVNYH FORMULMOVNOSFORMULIROWATX BOLEE KOMPAKTNO S ISPOLXZOWANIEM SLEDU@]IH OBOZNA^ENIJ.

zNA^ENIE FORMULY PRI OCENKEPEREMENNYH

pUSTX A { NEKOTORAQFORMULA. tABLICA ZNA^ENIJ DLQ A { \TO TABLICA, 1. STROKI KOTOROJ (NA^INAQSO WTOROJ) SOOTWETSTWU@T OCENKAM PEREMENNYH IZ Var(A), I 2. STOLBCY KOTOROJ SOOTWETSTWU@T PODFORMULAM A, PRI^ 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

2.2.2

tABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL

12


2.3

(2.3) fORMULA A NAZYWAETSQ GDE p1 ::: pk { SPISOK RAZLI^NYH BULEWYH PEREMENNYH, TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA IMEET ZNA^ENIE 1 PRI WSEH OCENKAH PEREMENNYH IZ Var(A), I B1 ::: Bk { SPISOKFORMUL. pODSTANOWKA (2.3) DEJSTWUET NA KAVDU@ FORMULU WYPOLNIMOJ FORMULOJ, ESLI ONA IMEET ZNA^EA PUT
pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA

pODSTANOWKI W FORMULY

2.4

tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY

dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJFORMULY A IZ hAi IMEET pUSTX A1 A2 { PARA FORMUL, I X { NEKOTORAQ SOWOMESTO RAWENSTWO KUPNOSTX PEREMENNYH, SODERVA]AQ WSE PEREMENNYE IZ ( )(A ) = ( (A )): (2.5) Var(A1 ) I Var(A2 ). fORMULY A1 I A2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, oTS@DA BUDET SLEDOWATX (2.4), T.K. A WHODIT W hAi. ESLI IH ZNA^ENIQ SOWPADA@T PRI KAVDOJ OCENKE PEREeSLI A { BULEWA PEREMENNAQ, TO (2.5) WERNOPOOPRE- MENNYH IZ X . DELENI@ OCENKI . zNAKOSO^ETANIE A1 A2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO pREDPOLOVIM, ^TO DLQ WSEHPODFORMUL, DLINA KOTO- A1 I A2 \KWIWALENTNY. RYH MENX E, ^EM DLINA A , \TO UTWERVDENIE QWLQETSQ nETRUDNODOKAZATX, ^TO QWLQETSQ KONGRU\NCIWERNYM. EJ, T.E. ESLI A1 A2, TO eSLI A IMEET WID B ^ C , TO, POSKOLXKU DLINA B I A1 A2 C MENX E, ^EM DLINA A , TO, POPREDPOLOVENI@, A1 ^ B A2 ^ B B ^ A1 B ^ A2 ( )(B )= ( (B )) (2.6) ( )(C )= ( (C )) A1 _ B A2 _ B B _ A1 B _ A2 nAM NUVNODOKAZATX SOOTNO ENIE A1 ! B A2 ! B B ! A1 B ! A2 ( )(B ^ C ) = ( (B ^ C )) A1 $ B A2 $ B B $ A1 B $ A2 KOTOROE, SOGLASNO (2.2) I RAWENSTWU |TI SOOTNO ENIQ POZWOLQ@T DOKAZATX TEOREMU OB \K(B ^ C )= (B ) ^ (C ) WIWALENTNOJZAMENE, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI \KWIWALENTNO SOOTNO ENI@ FORMULA A SODERVIT NEKOTORU@ PODFORMULU B , ( )(B ) ^ ( )(C ) = ( (B )) ^ ( (C )) (2.7) B \KWIWALENTNA NEKOTOROJFORMULE C , I iSTINNOSTX (2.7) SLEDUET IZ (2.6). FORMULA A POLU^AETSQ IZ A ZAMENOJ B NA C dRUGIE SLU^AI WOZMOVNOJ STRUKTURY A RAZBIRA@TSQ ANALOGI^NO. TO A \KWIWALENTNA A .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dOKAZATELXSTWO.

2.5

|KWIWALENTNOSTX FORMUL

13


dEJSTWITELXNO, A I A MOVNO RASSMATRIWATX KAK 2.6.2 zNA^ENIQ FORMUL REZULXTAT NESKOLXKIH PRIPISYWANIJ SLEWA ILI SPRAWA 1. pOSTROITX TABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL K B I C ODNIH I TEH VE ZNAKOSO^ETANIJ (KAVDOE IZ KOTORYH QWLQETSQ LIBO ZNAKOM OTRICANIQ, LIBO FOR(a) (p ! q) _ p MULOJ SO SWQZKOJ). sOGLASNO PRIWED 0

zADA^I

2.6.1

1. wOSSTANOWITX SKOBKI W ZNAKOSO^ETANIQH s $r $p^s^q_s !q r !p_r^p $q r !p !p$p_q 2. iSKL@^ITX KAK MOVNO BOLX ESKOBOKW FORMULAH ((q $ (r _ (s ^ p))) $ (q ! q)) (((p ^ q) ^ r) _ s) 3. pOSTROITX ALGORITM NAHOVDENIQ GLAWNOJ SWQZKI WFORMULE, OSNOWANNYJ NA PONQTII SKOBO^NOGOBALANSA (SKOBO^NYM BALANSOMWZNAKOSO^ETANII NAZYWAETSQ RAZNOSTX MEVDU KOLI^ESTWOM OTKRYWA@]IHSQ SKOBOKI KOLI^ESTWOM ZAKRYWA@]IHSQ SKOBOK W \TOM ZNAKOSO^ETANII). uKAZANIE: SNA^ALA SLEDUET WOSSTANOWITX WSE OPU]ENNYE SKOBKI. 4. dOKAZATX UTWERVDENIE W KONCE PUNKTA 2.1.6. 5. wYPISATX WSE PODFORMULY FORMUL (a) ((p ! q) ^ (r ! s)) ! (q _ s) (b) (p ! q) ! ((p ! q) ! q) 6. dOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A I KAVDOJ PODSTANOWKI (A) TOVE QWLQETSQ FORMULOJ. 7. pUSTX 1 I 2 { PODSTANOWKI WIDA 1 = p1 := B1 ::: pk := Bk ] 2 = q1 := C1 ::: ql := Cl ] nAJTI PODSTANOWKU , TAKU@, ^TO DLQ KAVDOJFORMULY A IMEET MESTO RAWENSTWO (A)= 1 ( 2 (A)).

sINTAKSIS FORMULlw

2.6.3

1. dOKAZATX, ^TO (a) A { TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA A NEWYPOLNIMA (b) A { WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA A { NETAWTOLOGIQ (c) A^B TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA A TAWTOLOGIQ I B TAWTOLOGIQ (d) A_B WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA A WYPOLNIMA ILI B WYPOLNIMA (e) ESLI A { TAWTOLOGIQ I A ! B { TAWTOLOGIQ, TO B { TAWTOLOGIQ (f ) ESLI A _ B I A _ C { TAWTOLOGII, TO B _ C {

tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY

TOVE TAWTOLOGIQ (g) ESLI A _ B , A ! C I B ! D { TAWTOLOGII, TO C _ D { TOVETAWTOLOGIQ 2. wERNOLI, ^TO (a) ESLI A { WYPOLNIMA I A ! B WYPOLNIMA TO B { TOVEWYPOLNIMA? (b) ESLI A _ B I A _ C WYPOLNIMY, TO B _ C WYPOLNIMA? (c) ESLI A _ B , A ! C I B ! D WYPOLNIMY, TO C _ D WYPOLNIMA? 3. dOKAZATX WYPOLNIMOSTX FORMUL (a) p ! p

14


4. oPREDELITX BEZ POSTROENIQ TABLIC ZNA^ENIJ, QW-

(b) (p ! q) ! (q ! p) (c) (q ! (p ^ r)) ^ (p _ r) ! q

2.6.4

1. dOKAZATX, ^TOESLI A

LQ@TSQ LI SLEDU@]IE FORMULY TAWTOLOGIQMI (a) (((p ! q) ! q)) ! q (b) (p $ q) $ (p $ (q $ p)) (c) p $ (p _ p) (d) (p ! q) ! ((q ! r) ! (r ! p)) (e) ((p ! q) ^ q) ! p (f ) p ! (p ^ q) (g) p ^ p _ q (h) (p ! q) $ (p _ q) (i) (p ! q) $ p ^ q 5. dOKAZATX BEZ POSTROENIQ TABLIC ZNA^ENIJ, ^TO SLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI: (a) (p ! q) _ (q ! p) (b) (p ! q) _ (p ! q) (c) p ! (q ! (p ^ q)) (d) (p ! q) ! ((q ! r) ! (p ! r)) (e) (p ! q) ! ((r ! p) ! (r ! q)) (f ) (p ! q) ! (q ! p) (g) p ! (q ! p) (h) p _ p (i) p ^ p (j) (p ! q) ! ((p ! (q ! r)) ! (p ! r)) (k) (p ^ q) ! p (l) (p ^ q) ! q (m) p ! (p _ q) (n) q ! (p _ q) (o) (p ! r) ! ((q ! r) ! ((p _ q) ! r)) (p) (p ! q) ! ((p ! q) ! p) (q) p ! p (r) p ! p (s) (q ! p) ! ((q ! p) ! q) (t) (p _ p) ! p (u) (q ! r) ! ((p _ q) ! (p _ r)) (v) ((p ! q) ! p) ! p (w) p ! (p ! q) 6. pUSTX FORMULA SODERVIT TOLXKO SWQZKI WIDA $. dOKAZATX, ^TO \TA FORMULA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KAVDAQ PEREMENNAQ WHODIT W NE< ^ 15

B TODLQ L@BOJ NOWKI IMEET MESTOSOOTNO ENIE (A) 2. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTI (a) 1 ^ A A 1 _ A 1 0 ^ A 0 0 _ (b) 1 ! A A 0 ! A 1 A!1 1 A!0 A (c) A ^ A A A _ A A (d) A ^ B B ^ A A _ B B _ A (e) A ^ (B ^ C ) (A ^ B ) ^ C (f ) A _ (B _ C ) (A _ B ) _ C (g) A ^ (B _ C ) (A ^ B ) _ (A ^ C ) (h) A _ (B ^ C ) (A _ B ) ^ (A _ C ) (i) A ^ (B _ A) A A _ (B ^ A) A (j) A $ B (A ! B ) ^ (B ! A) (k) A $ B (A ^ B ) _ (A ^ B ) (l) A ! B A _ B (m) A ^ B A _ B A _ B A ^ B A 3. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTI: (a) A ! B B ! A (b) A ! B A ^ B (c) A ! (B ! C ) (A ^ B ) ! C (d) A ! A A (e) A _ (A ^ B ) A _ B (f ) A $ (B $ C ) (A $ B ) $ C (g) A $ B B $ A (h) (A _ B ) ^ (A _ B ) A 8 A_B 9 > < A_C > A^D = (i) > B _ D > B ^C : C _D 8A 9 < = A^C (j) : A _ C B ^C B _C 8 A_B 9 2 A^B 3 = < 4 B ^C 5 (k) : B _ C _A 8 C _B 9 2 C ^A 3 < A = A^C 4 B ^C 5 (l) : B _ C C _D B ^D 8 A_B _C 9 2 A^B 3 < = 6 A^D 7 6 B^D 7 (m) : B _ C _ D 4 5 C _D_A

|KWIWALENTNOSTX FORMUL

PODSTA(B ). AA

A

2 A^B (n) 4 A _ B

A_B

3C 5 A_B


lEKCIQ 3

aNALIZ RASSUVDENIJ
rASSUVDENIE QWLQETSQ LOGI^ESKI PRAWILXNYM, ESLI DLQ KAVDOGO WHODQ]EGO W NEGO WYSKAZYWANIQ Ai , wYSKAZYWANIE NAZYWAETSQ LOGI^ESKI ISTINNYM, ES- PEREDKOTORYM STOIT SLOWO \SLEDOWATELXNO", Ai QWLQETLI SOOTWETSTWU@]AQEMU FORMULA lw QWLQETSQ TAWTO- SQ LOGI^ESKIM SLEDSTWIEM NEKOTOROJSOWOKUPNOSTI WYLOGIEJ. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE SKAZYWANIJ WIDA Aj1 ::: Ajk GDE j1 ::: jk
3.1

lOGI^ESKAQ ISTINNOSTX

nEPROTIWORE^IWOSTX

3.5.1 lOGI^ESKOE SLEDSTWIE pUSTX A1 ::: An I B { WYSKAZYWANIQ. wYSKAZYWANIE B NAZYWAETSQ LOGI^ESKIM SLEDST- 1. dOKAZATX, ^TOESLI WIEM SOWOKUPNOSTI WYSKAZYWANIJ A1 ::: An, ESLI FORKAVDOE WYSKAZYWANIE IZ SOWOKUPNOSTI ; SOMULA DERVITSQ W SOWOKUPNOSTI ; , I (A1 ^ ::: ^ An ) ! B ;`B QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. eSLI ; { NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX WYSKAZYWANIJ, I TO ; ` B . WYSKAZYWANIE B QWLQETSQ LOGI^ESKIM SLEDSTWIEM SOWOKUPNOSTI ;, TO\TOT FAKT WYRAVAETSQ ZNAKOSO^ETANIEM 2. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ: (a) ; ` A1 ::: ; ` An ;`B (b) ; ` A1 ^ ::: ^ An KOTOROE NAZYWAETSQ SEKWENCIEJ. sOWOKUPNOSTX ; MOVET BYTX PUSTOJ, W\TOMSLU^AE 3. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ: ZAPISX ; ` B OZNA^AET, ^TO WYSKAZYWANIE B LOGI^ES(a) ; A ` B KI ISTINNO. (b) ; ` A ! B 4. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ: 3.3 ;A`B lOGI^ESKIM RASSUVDENIEM (ILI PROSTO RASSUVDE;B `A NIEM) NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX A1 ::: An WYSKAZYWANIJ, PERED NEKOTORYMI IZ KOTORYH STOIT SLO- 5. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ: WO \SLEDOWATELXNO"(KOTOROE IGNORIRUETSQ PRI POSTRO(a) ; A1 ` B ::: ; An ` B ENII FORMUL, SOOTWETSTWU@]IH \TIM WYSKAZYWANIQM).
0 0

3.2

lOGI^ESKOE SLEDSTWIE

3.5

zADA^I

lOGI^ESKOE RASSUVDENIE

16


6.

7.

8. 9.

GDE DLQ KAVDOJSOWOKUPNOSTI ; IFORMULY A ZNAKOSO^ETANIE ; A OBOZNA^AET SOWOKUPNOSTX, SODERVA]U@ WSE FORMULY IZ ; IFORMULU A. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ: ; A ` BI; B ` A ; ` A$B dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNO ENIJ (a) ; ` (A !?) !? (b) ; ` A. dOKAZATX, ^TOESLI ; ` A I ; ` A ! B , TO ; ` B . dOKAZATX, ^TOESLI A1 ::: An ` B , TO DLQ KAVDOJPODSTANOWKI IMEET MESTO SOOTNO ENIE (A1 ) ::: (An ) ` (B )

(b) ; A1 _ ::: _ An ` B

3. (a) eSLI dVONSNE WSTRE^AL NO^X@ sMITA, TOLI-

(b) (c) (d) 4. (a)

(b) (c)

3.5.2

wYQSNITX, QWLQ@TSQ LI SLEDU@]IE RASSUVDENIQ LOGI^ESKIMI PRAWILXNYMI. 1. (a) eSLI iWAN iWANOWI^ { KOMMUNIST, TO iWAN iWANOWI^ { ATEIST. (d) (b) iWAN iWANOWI^ { ATEIST. (c) sLEDOWATELXNO, iWAN iWANOWI^ { KOMMUNIST. 5. (a) 2. (a) eSLI STROITX PROTIWOATOMNYE UBEVI]A, TO (b) DRUGIE GOSUDARSTWA BUDUT ^UWSTWOWATX SEBQ W OPASNOSTI, A NA NAROD POLU^IT LOVNOE PREDSTAWLE(c) NIE O SWOEJ BEZOPASNOSTI. (b) eSLI DRUGIE STRANY BUDUT ^UWSTWOWATX SE BQ W OPASNOSTI, TO ONI SMOGUT NA^ATX PREWEN(d) TIWNU@ WOJNU. (c) eSLI NA NARODPOLU^IT LOVNOE PREDSTAWLENIE O SWOEJ BEZOPASNOSTI, TOON OSLABIT SWOI USILIQ, NAPRAWLENNYE NA SOHRANENIE MIRA. 3.5.3 nEPROTIWORE^IWOSTX (d) eSLI VENE STROITX PROTIWOATOMNYE UBEVI1. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZY]A, TO MY RISKUEM IMETX KOLOSSALXNYE POWANIJ. TERI W SLU^AE WOJNY. (a) lIBO SWIDETELX NE BYL ZAPUGAN, LIBO, ESLI (e) sLEDOWATELXNO, LIBO gENRI POKON^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM, TOZA{ DRUGIE STRANY MOGUT NA^ATX PREWENPISKA BYLA NAJDENA. TIWNU@ WOJNU, I (b) eSLI SWIDETELX BYL ZAPUGAN, TO gENRI NEPO{ NA NAROD OSLABIT SWOI USILIQ, NAKON^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM. PRAWLENNYE NA SOHRANENIE MIRA, (c) eSLI ZAPISKA BYLA NAJDENA, TO gENRI POKONLIBO ^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM. MY RISKUEM IMETX KOLOSSALXNYE POTERI W SLU^AE WOJNY.
17

lOGI^ESKOE RASSUVDENIE

sMIT BYL UBIJCEJ, LIBO dVONSLV
BO


2. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZYWANIJ. (a) eSLI WE^ER SKU^EN, TOILI aLISA NA^INAET PLAKATX, ILI aNATOLX RASSKAZYWAET SME NYE ISTORII. (b) eSLI sILXWESTR PRIHODIT NA WE^ER, TOILI WE^ER SKU^EN, ILI aLISA NA^INAET PLAKATX. (c) eSLI aNATOLX RASSKAZYWAET SME NYE ISTORII, TO aLISA NENA^INAET PLAKATX. (d) sILXWESTR PRIHODIT NA WE^ER TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA aNATOLX NE RASSKAZYWAET SME NYE ISTORII. (e) eSLI aLISA NA^INAET PLAKATX, TO aNATOLX RASSKAZYWAET SME NYE ISTORII. 3. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZYWANIJ. (a) eSLI KURS CENNYH BUMAG RAST
TO LIBO PADAET KURS AKCIJ, LIBO NALOGI NEPOWY A@TSQ. (b) kURS AKCIJ PONIVAETSQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA RAST
18


lEKCIQ 4

mETOD REZOL@CIJ DLQ lw
4.1

lITERALOM NAZYWAETSQ FORMULA lw WIDA p ILI p GDE mETOD REZOL@CIJ DA pRI POMO]I \KWIWALENTNYH ZAMEN KAVDU@ FORMULU lw MOVNO PREOBRAZOWATX W \KWIWALENTNU@ EJ knf. aLGORITM PRIWEDENIQ K WIDU knf SOSTOIT IZ PERE^ISLENNYH NIVE \TAPOW. kAVDYJ \TAP SOSTOIT IZ ZAMEN PODFORMUL NA \KWIWALENTNYE IM, KOTORYE WYPOLNQ@TSQ DOTEHPOR, POKA IH BUDET WOZMOVNOWYPOLNQTX. kOGDA WYPOLNENIE DEJSTWIJ, SWQZANNYH S TEKU]IM \TAPOM, D2 . STANOWITSQ NEWOZMOVNYM, PROISHODIT PEREHODK SLEDUoDNA PARA DIZ_@NKTOWMOVET IMETX NESKOLXKORAZ@]EMU \TAPU. LI^NYH REZOLXWENT, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA PARY p p UDALQEMYH PROTIWOPOLOVNYH LITERALOW W DANNYH DIZ_1. uDALENIE STRELOK. @NKTAH. (a) kAVDAQPODFORMULA WIDA A $ B ZAMENQETSQ NA (A ^ B ) _ (A ^ B ). 4.2.2 oPISANIE METODA REZOL@CIJ (b) kAVDAQPODFORMULA WIDA A ! B ZAMENQETSQ pRIMENENIE METODA REZOL@CIJ K FORMULE A ZAKL@^ANA A _ B . ETSQ W TOM, ^TO A PRIWODITSQ K knf, I SOSTAWLQETSQ 2. pRONESENIE OTRICANIJ K PEREMENNYM. NABOR DIZ_@NKTOW, KOTORYJ SNA^ALA IMEET WID (a) kAVDAQPODFORMULA WIDA A ZAMENQETSQ NA A. D1 ::: Dk (4.3) (b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ^ B ZAMENQETSQ (ESLI knfDLQ A IMEET WID (4.1)), AZATEM K NEMU DONA A _ B . REZOLXWENTY (c) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A _ B ZAMENQETSQ BAWLQ@TSQ ONABORA. PROIZWOLXNYH PAR DIZ_@NKTOW IZ TEKU]EG NA A ^ B . pRI POSTROENII REZOLXWENT MOGUT ISPOLXZOWATXSQ KAK ISHODNYE DIZ_@NKTY, TAK I DOBAWLENNYE. 3. wYNESENIE KON_@NKCIJ NARUVU. eSLI K TEKU]EMU NABORU W NEKOTORYJ MOMENT DOBApODFORMULY WIDA (A ^ B ) _ C ILI C _ (A ^ B ) WILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. ZAMENQ@TSQ NA (A _ C ) ^ (B _ C ). eSLI VE K TEKU]EMU NABORU NEWOZMOVNO DOBAWITX 4. uDALENIE LI NIH SKOBOK. NI ODNOJNOWOJ REZOLXWENTY, I SREDI DIZ_@NKTOWTEKUpODFORMULY WIDA (A ^ B ) ^ C ILI A ^ (B ^ C ) ]EGO NABORA NET PUSTOGO DIZ_@NKTA, TO A NE QWLQETSQ PEREPISYWA@TSQ W WIDE A ^ B ^ C , APODFORMULY TAWTOLOGIEJ. WIDA (A _ B ) _ C ILI A _ (B _ C ){ WWIDE A _ B _ C .
19 D1 ^ ::: ^ Dk GDE D1 ::: Dk { DIZ_@NKTY. (4.1)
1 2

knf

4.2

mETOD REZOL@CIJ DLQ lw

GDE p { BULEWA PEREMENNAQ, I D1 D2 { NEKOTORYE DIZ_@NKTY, TAKIE, ^TO D1 _ D2 6= 1 (T.E. SOWOKUPNOSTX LITERALOW, WHODQ]IH W D1 _ D2, NESODERVIT PARY PROTIWOPOLOVNYH LITERALOW q q). oTMETIM, ^TO KAVDYJ IZ DIZ_@NKTOW D1 D2 MOVET BYTX PUSTYM, I ESLI DIZ_@NKT PUST, TOONPOOPREDELENI@ RAWEN FORMULE 0. rEZOLXWENTOJ PARY (4.2) NAZYWAETSQ DIZ_@NKT, SOSTOQ]IJ IZ WSEH LITERALOW, KOTORYE WHODQT W D1 ILI


rASSMOTRIM knf, SOSTOQ]U@ IZ NEKOTORYH REZOLXWENT DIZ_@NKTOWPERWOJ I WTOROJ GRUPPY, A TAKVEIZ sWOJSTWO KORREKTNOSTI METODA REZOL@CIJ ZAKL@^A- WSEH DIZ_@NKTOW TRETXEJ GRUPPY: ETSQ W TOM, ^TO ESLI W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU 9 812 NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO ANALIZIRUEMAQ 1 > (D1 _ D1 ) ^ ::: ^ (D1 _ Dq2) > > > FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. > > ::: = < dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO SWOJSTWA PREDPOLOVIM, 1 > (Ds _ D1 ) ^ ::: ^ (Ds _ Dq2) > (4.5) ^TO A { NE TAWTOLOGIQ, T.E. SU]ESTWUET OZNA^IWANIE > >12 > > D3 , TAKOE, ^TO (A)=0, OTKUDA SLEDUET, ^TO (A)= 1. :1 3 ^ ::: ^ Dr t.K. A \KWIWALENTNA SWOEJ knf (4.1), TO eSLI HOTQ BYODIN IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W (4.5), (D1 ^ ::: ^ Dk )=1 (4.4) QWLQETSQ PUSTYM, TO TRE BUEMOE UTWERVDENIE DOKAZAT.E. DLQ KAVDOGO DIZ_@NKTA Di IZ ISHODNOGO NABORA NO. eSLI WSE ONI NEPUSTY, TODOKAVEM, ^TO (4.5) RAWNA (4.3) IMEET MESTO SOOTNO ENIE (Di )= 1. 0. zAMETIM, ^TO, POSKOLXKU ^ISLO PEREMENNYH W (4.5) nETRUDNODOKAZATX, ^TO ESLI PARA DIZ_@NKTOWBYLA MENX E, ^EM W (4.1), TO, PO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVEISTINNOJ PRI OZNA^IWANII , TO IH REZOLXWENTA TOVE NI@, IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W (4.5), MOVNO WYWESTI QWLQETSQ ISTINNOJ PRI OZNA^IWANII . sLEDOWATELXNO, PUSTOJ DIZ_@NKT, APOSKOLXKU KAVDYJ IZ NIH LIBO WHOWSE DIZ_@NKTY, KOTORYE BYLI DOBAWLENY K PERWONA- DIT W (4.3), LIBO QWLQETSQ REZOLXWENTOJ DIZ_@NKTOWIZ ^ALXNOMU NABORU (4.3), ISTINNY PRI OZNA^IWANII . (4.3), TOIZ (4.3) TOVEMOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. pO PREDPOLOVENI@, WNEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EpREDPOLOVIM, ^TO (4.5) NE RAWNA 0. tOGDA SU]ESTWUMU NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT. ET OZNA^IWANIE PEREMENNYH IZ SPISKA p2 ::: pn, PRI pUSTOJ DIZ_@NKT MOVET BYTX POLU^EN TOLXKO IZ KOTOROM WSE DIZ_@NKTY, WHODQ]IE W (4.5), IME@T ZNATAKOJ PARY (4.2), WKOTOROJ DIZ_@NKTY D1 I D2 QWLQ- ^ENIE 1. @TSQ PUSTYMI. sLEDOWATELXNO, SREDI DIZ_@NKTOW, KOwOZMOVEN ODIN IZ DWUH SLU^AEW: TORYE BYLI DOBAWLENY K PERWONA^ALXNOMU NABORU (4.3), 1 1 (D1 )= ::: = (Ds )=1 (4.6) SODERVATSQ DIZ_@NKTY WIDA p I p, GDE p { BULEWA PEREMENNAQ. 2 2 (D1 )= ::: = (Dq )=1 (4.7) kAK OTME^ENO WY E, OBA \TIH DIZ_@NKTA (p I p) DOLVNY BYTX ISTINNYMI PRI OZNA^IWANII . sOGLASNO T.K. ESLI NEWERNONI (4.6), NI (4.7), TO DLQ NEKOTORYH i NA IM OPREDELENIQM, TAKOGONE MOVET BYTX. sLEDOWA- I j IMEET MESTOSOOTNO ENIE TELXNO, NA E PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO A { NE TAWTO2 (Di1 _ Dj )= 0 LOGIQ, QWLQETSQ O IBO^NYM. KOTOROE PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO WSE DIZ_@NKTY, WHODQ]IE W (4.5), QWLQ@TSQ ISTINNYMI NA 4.2.4 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ pOLNOTA METODA REZOL@CIJ ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO OZNA^IWANII . DOOZNA^IWANIQ PEREMENNYH IZ SPISESLI ANALIZIRUEMAQFORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, KA pdOOPREDELIM Q (p ) def 0, ESLI IMEET MESTO (4.6), 1 ::: pn, POLAGA 1= TO IZ NABORA (4.3), MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. def eSLI A { TAWTOLOGIQ, TO A = 0. pOSKOLXKUFORMULA I (p1 ) = 1, ESLI IMEET MESTO (4.7). nETRUDNOWIDETX, ^TO PRI TAKOMOZNA^IWANII WSE DIZ_@NKTY IZ NABORA (4.1) \KWIWALENTNA A, TOONA TOVE RAWNA 0. dOKAVEM, ^TO ESLI NEKOTORAQ FORMULA WIDA (4.1) (4.3) PRINIMA@T ZNA^ENIE 1, ^TO PROTIWORE^IT PREDPORAWNA 0, TO IZ NABORA (4.3) WHODQ]IH W NE< DIZ_@NKTOW LOVENI@ O TOM, ^TOFORMULA (4.1) RAWNA 0. MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. |TO SWOJSTWO BUDET DOKAZYWATXSQ INDUKCIEJ PO ^ISLU PEREMENNYH W (4.1). 4.3 pUSTX (4.1) SODERVIT TOLXKOODNU PEREMENNU@ p. eSLI ONA RAWNA 0, TO \TO WOZMOVNO TOLXKOTOGDA, KOGDA 1. dOKAZATX, ^TOMETOD REZOL@CIJ OBLADAET SWOJSTD1 = p I D2 = p. o^EWIDNO, ^TOIZ \TOJ PARY MOVNO WOM ZAWER AEMOSTI, T.E. PRI L@BOM SPOSOBE POWYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. STROENIQ REZOLXWENT POSLEKONE^NOGO ^ISLA AGOW pUSTX TEPERX (4.1) SODERVIT n BULEWYH PEREMENNYH WYDA 1). wSE DIZ_@NKTY IZ SOWOKUPNOSTI LA A TAWTOLOGIEJ, ILI NET. oCENITX ^ISLO \TIH (4.3) MOVNO RAZDELITX NA SLEDU@]IE 3 GRUPPY: AGOW W ZAWISIMOSTI OT ^ISLA PEREMENNYH, WHODQ]H W A. 1 1 p1 _ D1 ::: p1 _ Ds 2 2 2. rE ITX METODOM REZOL@CIJ WSE ZADA^I IZ GLAWY p1 _ D1 ::: p1 _ Dq 2, W KOTORYH TRE BUETSQ PROWERITX, QWLQETSQ LI 3 3 D1 ::: Dr NEKOTORAQ FORMULA lw TAWTOLOGIEJ ILI WYPOLNIMOJFORMULOJ. (i) GDE WSE PODDIZ_@NKTY WIDA Dj NESODERVAT p1 .
4.2.3

kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ

zADA^I

20


lEKCIQ 5

wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
eSLI MNOVESTWO M QWLQETSQ KONE^NYM, I SOSTOIT IZ \LEMENTOW a1, a2 :::, an , TO DANNYJ FAKT OBOZNA^AETSQ pOD MNOVESTWOM PONIMAETSQ PROIZWOLXNAQ SOWOKUP- ZNAKOSO^ETANIEM NOSTX KAKIH-LIBO OB_EKTOW, NAPRIMER M = fa1 a2 ::: ang: (5.1) SOWOKUPNOSTX WSEHMATEMATIKOW W rOSSII, ILI pORQDOK PERE^ISLENIQ \LEMENTOW MNOVESTWA M W ZASOWOKUPNOSTX WSEH ZW
5.1

pONQTIE MNOVESTWA

sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW

21


5.3
5.3.1

pODMNOVESTWA

mNOVESTWO A NAZYWAETSQ PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B , ESLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A QWLQETSQ \LEMENTOMMNOVESTWA B . eSLI A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM B , TO \TOT FAKT ZAPISYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIEM A B . eSLI IMEET MESTO A B , TOGOWORQT TAKVE, ^TO A SODERVITSQ (ILI WKL@^AETSQ) W B, A B SODERVIT (ILI WKL@^AET) A. mNOVESTWO A NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B, ESLI A B I A = B. 6 mY BUDEM S^ITATX MNOVESTWA A I B ODINAKOWYMI (I OBOZNA^ATX \TOT FAKT ZNAKOSO^ETANIEM A = B ), ESLI IME@T MESTO SOOTNO ENIQ A BIB A (5.3) T.E. ESLI A I B SOSTOQT IZ ODNIHITEHVE\LEMENTOW. nAPRIMER, SLEDU@]IE MNOVESTWA A I B QWLQ@TSQ ODINAKOWYMI: A def fx 2 R j sin(x)= 1g = I B def fx 2 R j x = 2 +2k k 2 Zg = GDE R { MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, I Z { MNOVESTWO WSEHCELYH ^ISEL. mY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO SU]ESTWUET EDINSTWENNOE MNOVESTWO, TAKOE, ^TO NIKAKOJ OB_EKT NE QWLQETSQ EGO\LEMENTOM. dANNOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ PUSTYM MNOVESTWOM, I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM . iZ OPREDELENIQ OTNO ENIQ WKL@^ENIQ WYTEKAET, ^TO DLQ KAVDOGOMNOVESTWA A IMEET MESTOSOOTNO ENIE
A
5.3.2

pONQTIE PODMNOVESTWA

5.4
5.4.1

oPERACII NAD MNOVESTWAMI
oPERACII NAD PAROJMNOVESTW
B.

pUSTX ZADANA PARA MNOVESTW A pERESE^ENIE MNOVESTW A OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM SLEDU@]IM OBRAZOM: A \ B def fx j x 2 A = oB_EDINENIE MNOVESTW A OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM SLEDU@]IM OBRAZOM: A B def fx j x 2 A = rAZNOSTX MNOVESTW A I B ZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM A n DU@]IM OBRAZOM: A n B def fx j x 2 A =
5.4.2

I B { \TO MNOVESTWO, A \ B , I OPREDELQEMOE I x 2 B g: I B { \TO MNOVESTWO, A B , I OPREDELQEMOE ILI x 2 B g: { \TO MNOVESTWO, OBOB , IOPREDELQEMOE SLEI x 62 B g:
-

pUSTOE MNOVESTWO

oB_EDINENIEM SEMEJSTWA (5.5) NAZYWAETSQ MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM S Ai , IOPREDELQEMOE i pUSTX ZADANONEKOTOROE MNOVESTWO A. SLEDU@]IM OBRAZOM: mNOVESTWO fB j B Ag (5.4) Ai def fx j SU]ESTWUET i 2= TAKOJ, ^TO x 2 Aig: = i \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ PODMNOVESTWA MNOVESTWA A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM 2A . wTOM SLU^AE, KOGDA MNOVESTWO INDEKSOW = QWLQETSQ nAPRIMER, ESLI A = f1 2 3g TO KONE^NYM I IMEET WID f1 2 ::: ng, MNOVESTWA T Ai I S A MOGUT OBOZNA^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI i 2A = f f1g f2g f3g f1 2g f1 3g f2 3g f1 2 3gg i i nETRUDNODOKAZATX, ^TO ESLI MNOVESTWO A QWLQETSQ A1 \ ::: \ An I A1 ::: An KONE^NYM I SOSTOIT IZ n \LEMENTOW, TOMNOVESTWO 2A TOVE QWLQETSQ KONE^NYM I SOSTOIT IZ 2n \LEMENTOW. SOOTWETSTWENNO.
5.3.3

zAMETIM, ^TO MNOVESTWO f g NE QWLQETSQ PUSTYM, T.K. ONOSODERVIT ODIN \LEMENT. dANNYJ \LEMENT QWLQETSQ PUSTYM MNOVESTWOM.

pUSTX = { NEKOTOROE MNOVESTWO, \LEMENTY KOTOROGONAZYWA@TSQ INDEKSAMI. ={INDEKSIROWANNOE SEMEJSTWO MNOVESTW { \TO NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX MNOVESTW, TAKAQ, ^TO S KAVDYM INDEKSOM i 2 = SWQZANO NEKOTOROE MNOVESTWO Ai IZ DANNOJSOWOKUPNOSTI. dOPUSKAETSQ, ^TO DLQ RAZNYH INDEKSOW i j 2= MNOVESTWA Ai I Aj IZ SEMEJSTWA (5.5) MOGUT SOWPADATX. ={INDEKSIROWANNOE SEMEJSTWO MNOVESTW OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM WIDA (Ai j i 2=) (5.5) pERESE^ENIEM SEMEJSTWA (5.5) NAZYWAETSQ MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM T Ai , IOPREDELQEMOE i SLEDU@]IM OBRAZOM: \ def Ai = fx j DLQ L@BOGO i 2= x 2 Ai g:
2=

oPERACII NAD SEMEJSTWAMI MNO VESTW

i

2=

mNOVESTWO WSEHPODMNOVESTW

2=

2=

2=

2=

22


5.5
1.

2. 3. 4.

5. 6. 7.

8.

9.

A n (A n B )= A \ B A n B = A n (A \ B ) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH MNOVESTW A B C A \ (B n C )= (A \ B ) n (A \ C ) (a) A A A \ (B n C )= (A \ B ) n C (b) ESLI A B I B C , TO A C (A n B ) n C =(A n C ) n (B n C ) (c) A \ B A A B = A (B n A) (d) A \ B B A \ (B n A)= (e) A A B (A B ) n C =(A n C ) (B n C ) (f ) B A B A n (B n C )= (A n B ) (A \ C ) (A n B ) n C = A n (B C ) (g) A n B A 10. dOKAZATX, ^TO dOKAZATX, ^TO 6= f g. (a) A B C , A C I B C dOKAZATX, ^TO ff1 2g f2 3gg 6= f1 2 3g. (b) A B \ C , A B I A C dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGOMNOVESTWA A (c) (A n B ) B = A , B A (a) ESLI A , TO A = (d) (A \ B ) C = A \ (B C ) , C A (b) A \ = (e) A B ) (A C ) (B C ) (c) A = A (f ) A B ) (A \ C ) (B \ C ) (g) A B ) (A n C ) (B n C ) dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET LI X ODNOMNOVESTWO, NEIME@]EE \LEMENTOW. (h) A B ) (C n B ) (C n A) (i) A B = A \ B , A = B sU]ESTWU@T LI MNOVESTWA A B C , TAKIE ^TO (j) A = B , (A n B ) (B n A)= A \ B 6= A\C = (A \ B ) n C = 11. dOKAZATX, ^TOMNOVESTWO IZ n \LEMENTOWIMEET 2n PODMNOVESTW. dOKAZATX, ^TOSLEDU@]IE SOOTNO ENIQ \KWIWALENTNY: 12. nAJTI WSE PODMNOVESTWA MNOVESTW (a) A B f g fxg f1 2g (b) A B = B 13. dOKAZATX, ^TO (c) A \ B = A (a) 2A B = 2A \ 2B (d) A n B = (b) 2A B = fA1 B1 j A1 2 2A B1 2 2B g dOKAZATX SLEDU@]IE TOVDESTWA: 14. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH MNOVESTW A1 ::: An (a) A A = A \ A = A ESLI A1 A2 ::: An A1 (b) A \ B = B \ A TO A1 = A2 = ::: = An (c) A B = B A 15. rE ITX SISTEMU URAWNENIJ (d) A \ (B \ C )= (A \ B ) \ C (e) A (B C )= (A B ) C A\X = B A X=C (f ) A \ (B C )= (A \ B ) (A \ C ) (g) A (B \ C )= (A B ) \ (A C ) GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I (h) (A \ B ) (C \ D)= BAAC (A C ) \ (B C ) \ (A D) \ (B D) 16. rE ITX SISTEMU URAWNENIJ (i) A (A \ B )= A (j) A \ (A B )= A AnX =B X nA =C dOKAZATX SLEDU@]IE TOVDESTWA: GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I (a) A n (B C )= (A n B ) \ (A n C ) B A A\C = (b) A n (B \ C )= (A n B ) (A n C ) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j) (k) (l)
\

zADA^I

23


17. rE ITX SISTEMU URAWNENIJ AnX = B A X=C GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I BA AC 18. rE ITX SISTEMY URAWNENIJ X (a) A \ X = B \ X A X=C nB (b) A n X = X n X X nA= C (c) A \ X = B n X C X =X nA pRI KAKIH A B C \TI SISTEMY IME@T RE ENIE? 19. dOKAZATX, ^TODLQ SEMEJSTWA (Ai j i 2=) IPROIZWOLXNOGOMNOVESTWA B IMEET MESTO SOOTNO ENIE

DLQ KAVDOGO i 2= A

i

B

,

i

Ai B
2=

20. dOKAZATX, ^TODLQ SEMEJSTWA (Ai j i 2=) IPROIZWOLXNOGOMNOVESTWA B IMEET MESTO SOOTNO ENIE

DLQ KAVDOGO i 2= B A

i

,B

\

i

Ai

2=

21. eSLI SEMEJSTWA (Ai j i 2=) I (Bi j i 2=) TAKOWY, ^TO DLQ KAVDOGO i 2= Ai Bi , TO

\

i

Ai

\

2=

i2=

Bi I

i

Ai
2=

i

Bi
2=

24


lEKCIQ 6

oTNO ENIQ I FUNKCII
6.1
(6.1) pUSTX ZADANONEKOTOROE MNOVESTWO A. bINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE A (NAZYWAPRI^ 0 0 0

sPISKOM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQSOWOKUPNOSTX OB_
EKTOW

sPISKI

6.3
- 6.3.1

bINARNYE OTNO ENIQ

pONQTIE BINARNOGOOTNO ENIQ

dEKARTOWY PROIZWEDENIQ

A

1

::: An

I SOSTOQ]EE IZ WSEH SPISKOW WIDA (a1 ::: an), GDE DLQ dLQ KAVDOJPARY OTNO ENIJ R1 R2 KAVDOGO i =1 ::: n ai 2 Ai . PERESE^ENIE R1 \ R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b), nAPRIMER, ESLI n =2 A1 = f1 2g A2 = f3 4g, TO KOTORYE PRINADLEVAT ODNOWREMENNO R1 I R2 MNOVESTWO A1 A2 IMEET WID OB_EDINENIE R1 R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b), f(1 3) (2 3) (1 4) (2 4)g KAVDAQIZ KOTORYH PRINADLEVIT R1 ILI R2 eSLI WSE MNOVESTWA W SPISKE (6.2) SOWPADA@T, T.E. PROIZWEDENIE R1 R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b), A1 = ::: = An = A, TOMNOVESTWO (6.3) MOVNO OBOZNADLQ KAVDOJIZ KOTORYH SU]ESTWUET \LEMENT c, TA^ATX SIMWOLOM An . KOJ, ^TO (a c) 2 R1 I (c b) 2 R2. eSLI HOTQ BYODNOIZ MNOVESTW, WHODQ]IH W SPISOK dLQ KAVDOGOOTNO ENIQ R (6.2), QWLQETSQ PUSTYM, TODEKARTOWO PROIZWEDENIE (6.3) POOPREDELENI@ QWLQETSQ ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM EGO DOPOLNENIE R SOSTOIT IZ WSEH PAR IZ A2 , NE f1g. aNALOGI^NYJ WID IMEET DEKARTOWO PROIZWEDENIE PRINADLEVA]IH R PUSTOGO SPISKA MNOVESTW. OBRATNYM K R NAZYWAETSQ OTNO ENIE R 1, SOoTNO ENIEM NA (6.2) NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE PODSTOQ]EE IZ WSEHPAR (a b), TAKIH, ^TO (b a) 2 R. MNOVESTWO R DEKARTOWA PROIZWEDENIQ (6.3).
;

(6.3) 6.3.2

oPERACII NA OTNO ENIQH

25


6.3.3

oTNO ENIE R A NAZYWAETSQ REFLEKSIWNYM, ESLI idA R, T.E. DLQ KAVDOGO a 2 A (a a) 2 R IRREFLEKSIWNYM, ESLI idA \ R = , T.E. DLQ KAVDOGO a 2 A (a a) 62 R SIMMETRI^NYM, ESLI R 1 = R, T.E. ESLI (a b) 2 R, TO (b a) 2 R ANTISIMMETRI^NYM, ESLI R \ R 1 idA, T.E. ESLI (a b) 2 R I (b a) 2 R, TO a = b TRANZITIWNYM, ESLI R R R, T.E. ESLI (a b) 2 R I (b c) 2 R, TO (a c) 2 R
2
; ;

sPECIALXNYE BINARNYE OTNO ENIQ

sOWOKUPNOSTX WSEH KLASSOW RAZBIENIQ MNOVESTWA A, POROVDAEMOGO \KWIWALENTNOSTX@ R, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM A=R, I NAZYWAETSQ FAKTOR-MNOVESTWOM MNOVESTWA A OTNOSITELXNO \KWIWALENTNOSTI R. dLQ KAVDOGO\LEMENTA a 2 A SIMWOL a] OBOZNA^AET TOT KLASS IZ A=R, KOTOROMU PRINADLEVIT a. |LEMENT a NAZYWAETSQ PREDSTAWITELEM \TOGO KLASSA. bINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ KWAZIPORQDKOM, ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNOREFLEKSIWNYM, I TRANZITIWNYM ^ASTI^NYM PORQDKOM (ILI PROSTO PORQDKOM), ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNO REFLEKSIWNYM, ANTISIMMETRI^NYM, I TRANZITIWNYM. pORQDOKOBY^NO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM . mY BUDEM PISATX a< b, ESLI a b I a = b. 6 oTNO ENIE 1 OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM . oNOTOVE QWLQETSQ PORQDKOM, I NAZYWAETSQ DWOJSTWENNYM K PORQDKU . pORQDOK NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ LINEJNYM, ESLI DLQ L@BYH a b 2 A LIBO a b, LIBO b a. mNOVESTWO A, NA KOTOROM ZADAN ^ASTI^NYJ PORQDOK, NAZYWAETSQ ^ASTI^NOUPORQDO^ENNYM (OTNOSITELXNO DANNOGO ^ASTI^NOGOPORQDKA). eSLI DANNYJ ^ASTI^NYJ PORQDOK QWLQETSQ LINEJNYM, TO A NAZYWAETSQ LINEJNOUPORQDO^ENNYM (OTNOSITELXNO DANNOGOLINEJNOGOPORQDKA). pUSTX NA MNOVESTWE A ZADAN ^ASTI^NYJ PORQDOK A2 . kAVDOE PODMNOVESTWO A A MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, PORQDOK NA KOTOROM INDUCIROWAN PORQDKOM NA A, T.E. DLQ KAVDOJ PARY a b \LEMENTOW PODMNOVESTWA A MY POLAGAEM, ^TO a b, ESLI PARA (a b) PRINADLEVIT OTNO ENI@ ^ASTI^NOGO PORQDKA NA A. pODMNOVESTWO A NAZYWAETSQ CEPX@ W A, ESLI ONO QWLQETSQ LINEJNOUPORQDO^ENNYM OTNOSITELXNO\TOGO INDUCIROWANNOGOPORQDKA. |LEMENT a ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A IZ TOGO, ^TO a b SLEDUET, ^TO a = b MINIMALXNYM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A IZ TOGO, ^TO b a SLEDUET, ^TO b = a NAIBOLX IM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A b a NAIMENX IM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A a b. pUSTX A { PODMNOVESTWO ^ASTI^NOUPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA A. nIVNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ PROIZWOLXNYJ \LEMENT a 2 A, TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 A IMEET MESTONERAWENSTWO a b.
; 0 0 0 0 0 0

6.3.5

~ASTI^NYE PORQDKI

SIMMETRI^NYM, I TRANZITIWNYM. kAVDAQ \KWIWALENTNOSTX R A2 POROVDAET NEKOTOROE RAZBIENIE MNOVESTWA A, GDE POD RAZBIENIEM A PONIMAETSQ SEMEJSTWO S = fAi j i 2=g (6.4) NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA A (NAZYWAEMYH KLASSAMI RAZBIENIQ), TAKOE, ^TO KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT ROWNOODNOMU IZ \TIH KLASSOW. kAVDYJ KLASS RAZBIENIQ, KOTOROE SOOTWETSTWUET OTNO ENI@ \KWIWALENTNOSTI R, IMEET WID R(a), GDE a { PROIZWOLXNYJ \LEMENT MNOVESTWA A. dOKAVEM, ^TOSEMEJSTWO PODMNOVESTW WIDA R(a) DEJSTWITELXNOOBRAZUET RAZBIENIE. kAVDYJ \LEMENT a 2 A PRINADLEVIT NEKOTOROMU IZ \TIH PODMNOVESTW, AIMENNO - R(a), POTOMU ^TO R { REFLEKSIWNO. |LEMENT a 2 A NEMOVET PRINADLEVATX DWUM RAZLI^NYM PODMNOVESTWAM R(b) I R(c), POTOMU ^TO ESLI a 2 R(b) I a 2 R(c), T.E.(b a) 2 R I (c a) 2 R, TO (a b) 2 R (T.K. R { SIMMETRI^NO), I, SLEDOWATELXNO,(c b) 2 R (T.K. R { TRANZITIWNO). pO\TOMU, ESLI d 2 R(b), T.E. (b d) 2 R, TO IZ TRANZITIWNOSTI R SLEDUET, ^TO (c d) 2 R, T.E. d 2 R(c). tAKIM OBRAZOM, R(b) R(c), IANALOGI^NODOKAZYWAETSQ, ^TO R(c) R(b). sLEDOWATELXNO, PODMNOVESTWA R(b) I R(c) SOWPADA@T. oBRATNO, KAVDOE RAZBIENIE S WIDA (6.4) POROVDAET \KWIWALENTNOSTX NA A, PRI KOTOROJ\LEMENTY \KWIWALENTNY, ESLI ONI PRINADLEVAT ODNOMU I TOMU VE KLASSU RAZBIENIQ S . nETRUDNO WIDETX, ^TO DANNYE PEREHODY (OT \KWIWALENTNOSTI K RAZBIENI@ I OT RAZBIENIQ K \KWIWALENTNOSTI) QWLQ@TSQ WZAIMNOOBRATNYMI.

OTNO ENIEM \KWIWALENTNOSTI (ILI PROSTO \KWIWALENTNOSTX@), ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNO REFLEKSIWNYM,
bINARNOE OTNO ENIE R
A2 NAZYWAETSQ

6.3.4

|KWIWALENTNOSTI

26


zNAKOSO^ETANIE a A WYRAVAET TOT FAKT, ^TO a { NIVNQQ GRANX A . tO^NOJ NIVNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ \LEMENT inf (A ), OBLADA@]IJ SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO b 2 A b A , b inf (A ) wERHNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ PROIZWOLXNYJ \LEMENT a 2 A, TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 A IMEET MESTONERAWENSTWO b a. zNAKOSO^ETANIE A a WYRAVAET TOT FAKT, ^TO a { WERHNQQ GRANX A . tO^NOJ WERHNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ \LEMENT sup(A ), OBLADA@]IJ SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO b 2 A A b , sup(A ) b oTMETIM, ^TO\LEMENTY inf (A ) I sup(A ) MOGUT NE PRINADLEVATX PODMNOVESTWU A (IMOGUT WOOB]ENESU]ESTWOWATX). eSLI MNOVESTWO A QWLQETSQ KONE^NYM I IMEET WID fa1 ::: ang, TO \LEMENTY inf (A ) I sup(A ) (ESLI ONI SU]ESTWU@T) OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNOZNAKOSO^ETANIQMI a1 ^ ::: ^ an I a1 _ ::: _ an ~ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ WPOLNEUPORQDO^ENNYM, ESLI DLQ KAVDOGONEPUSTOGO PODMNOVESTWA A A SU]ESTWUET \LEMENT inf (A ), I \TOT \LEMENT PRINADLEVIT A . ~ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ RE 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.4
6.4.1

fUNKCII

SQ PROIZWOLXNOE SOOTWETSTWIE f , KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU a MNOVESTWA A NEKOTORYJ \LEMENT f (a) MNOVESTWA B . fUNKCIQ f IZ A W B OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM f : A ! B ILI f eSLI \LEMENT ZNA^ENII eSLI FAKT OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM a 7! b pUSTX ZADANY FUNKCII f I g WIDA
A
f

fUNKCIEJ IZ MNOVESTWA A W MNOVESTWO B NAZYWAET

pONQTIE FUNKCII

-

B (6.7) f { FUNKCIQ IZ A W B , TO DLQ KAVDOGO a 2 A f (a) NAZYWAETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f PRI ARGUMENTA a (ILI PROSTOZNA^ENIEM f NA a). \LEMENT b QWLQETSQ ZNA^ENIEM f NA a, TO\TOT

A

-

-C B B kOMPOZICIEJ f I g NAZYWAETSQ FUNKCIQ gf WIDA A gf - C KOTORAQSOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU a MNOVESTWA A \LEMENT g(f (a)) MNOVESTWA C . dLQ KAVDOGO MNOVESTWA A SIMWOL idA OBOZNA^AET
g

-

FUNKCI@ WIDA

KOTORAQSOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU a 2 A TOT VE \LEMENT a, T.E. mNOVESTWO WSEH FUNKCIJ IZ A W B OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM B A . pUSTX f { FUNKCIQ WIDA (6.7). eSLI DLQ PARY \LEMENTOW a 2 A b 2 B IMEET MESTO SOOTNO ENIE b = f (a), TO b NAZYWAETSQ OBRAZOM \LEMENTA a OTNOSITELXNO FUNKCII f , I a NAZYWAETSQ PROOBRAZOM \LEMENTA b OTNOSITELXNO FUNKCII f . dLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA A A SIMWOL f (A ) OBOZNA^AET MNOVESTWO, NAZYWAEMOE OBRAZOM PODMNOVESTWA A OTNOSITELXNO FUNKCII f , I SOSTOQ]EE IZ WSEH \LEMENTOW WIDA f (a), GDE a { PROIZWOLXNYJ \LEMENT MNOVESTWA A . mNOVESTWO f (A) OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Im(f ). dLQ KAVDOGOPODMNOVESTWA B B SIMWOL f 1 (B ) OBOZNA^AET MNOVESTWO, NAZYWAEMOE PROOBRAZOM PODMNOVESTWA B OTNOSITELXNO FUNKCII f , ISOSTOQ]EE IZ WSEH \LEMENTOW a MNOVESTWA A, TAKIH, ^TO f (a) 2 B . eSLI MNOVESTWO B SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA b, TO WMESTO f 1 (fbg) PI UT PROSTO f 1 (b).
0 0 0 0 0 ; 0 0 0 ; ;

A id

A

-

A

idA (a) def a =

6.4.2

oBRAZY I PROOBRAZY

27


6.4.3

fUNKCIQ f WIDA (6.7) NAZYWAETSQ C) C) IN_EKTIWNOJ, ESLI DLQ KAVDOJ PARY a a 2 A IMEET MESTOSOOTNO ENIE (B D) a = a ) f (a) = f (a ) 6 6 C) 1 (b) ILI C) T.E. ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESTWO f PUSTO, ILI SOSTOIT IZ ODNOGO\LEMENTA S@R_EKTIWNOJ, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESC B) TWO f 1 (b) NEPUSTO , ^T I MN BIEKTIWNOJ (ILI BIEKCIEJ), ESLI f QWLQETSQ 5. dOKAZATXSOOTOESLENI@ OVESTWA A B C D UDOWLETWORQ@T NO ODNOWREMENNO IN_EKTIWNOJ I S@R_EKTIWNOJ, T.E. ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESTWO f 1 (b) SOSTOIT (A B ) (B A)= C D IZ ODNOGO\LEMENTA. TO A = B = C = D zAMETIM, ^TO ESLI f : A ! B { BIEKCIQ, TO FUNKCIQ f 1 : B ! A, SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOMU b 2 B EDINSTWENNYJ \LEMENT MNOVESTWA f 1 (b), OBLADAET SLEDU@- 6.5.2 bINARNYE OTNO ENIQ ]IM SWOJSTWOM: 1. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH BINARNYH OTNO ENIJ
0 0 0 ; ; ; ; ;

kLASSY FUNKCIJ

4. dOKAZATX, ^TO (a) (A B ) C =(A C ) (B (b) A (B C )= (A B ) (A (c) (A B ) (C D)= (A C ) (B C ) (A D ) (d) (A n B ) C =(A C ) n (B (e) A (B n C )= (A B ) n (A (f ) ESLI A C I B D, TO A B =(A D) \ (

f 1 f = idA
;

ff

;

1

= idB

6.4.4

f (a) f (b). eSLI f : A ! B { BIEKCIQ, I f I f 1 { MONOTONNYE FUNKCII, TO f NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW A I B , A MNOVESTWA A I B NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI.
;

pUSTX A I B { ^ASTI^NOUPORQDO^ENNYE MNOVESTWA, I f { FUNKCIQ IZ A W B . fUNKCIQ f NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI DLQ L@BYH a b 2 A IZ a b SLEDUET

mONOTONNYE FUNKCII

6.5
6.5.1

zADA^I

1. pUSTX ZADANY DWA OTREZKA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ: a b] I c d]. nAJTI GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ SLEDU@]IH MNOVESTW: (a) a b] c d] (b) a b]2 (c) a b]3 2. dOKAZATX, ^TO (A B ) \ (C D)=(A \ C ) (B \ D) 3. dOKAZATX, ^TO (A B ) (C D) (A C ) (B D) pRI KAKIH USLOWIQH NA A B C D DANNOE WKL@^ENIE QWLQETSQ RAWENSTWOM? 28

dEKARTOWY PROIZWEDENIQ

(R 1 ) 1 = R (R1 \ R2) 1 =(R1 1 ) \ (R2 1 ) (R1 R2) 1 =(R1 1 ) (R2 1 ) R 1 =(R) 1 2. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH BINARNYH OTNO ENIJ (a) R1 (R2 R3 )= (R1 R2) R3 (b) (R1 R2) 1 = R2 1 R1 1 (c) (R1 R2) R3 =(R1 R3 ) (R2 R3) (d) R1 (R2 R3)=(R1 R2 ) (R1 R3) (e) (R1 \ R2) R3 (R1 R3 ) \ (R2 R3) (f ) R1 (R2 \ R3) (R1 R2 ) \ (R1 R3) 3. pOSTROITX PRIMER BINARNYH OTNO ENIJ R1 R2 R3,
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

(a) (b) (c) (d)

TAKIH ^TO (R1 \ R2) R3 6=(R1 R3) \ (R2 R3)

4. dOKAZATX, ^TOESLI R1 R2, TO (a) R R1 R R2 (b) R1 R R2 R (c) R1 1 R2 1 5. pUSTX SIMWOLY R1 I R2 OBOZNA^A@T BINARNYE OTNO ENIQ NA MNOVESTWE N = f0 1 2 3 : ::g WSEHNATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM:
; ;

R1 def f(a b) j a b 2 N a< bg = def R2 = f(a b) j a b 2 N a bg dOKAZATX, ^TO


(a) R1 R1 6= R1 6.5.3 |KWIWALENTNOSTI (b) R2 R1 = R1 1. pUSTX n { NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO, 1 2 I R { BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE Z WSEH (c) R2 R2 = N CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM: 6. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNO ENIQ R1 I R2 REFLEKSIWNY, TOREFLEKSIWNY OTNO ENIQ R def f(a b) j a ; b DELITSQ NA ng = R1 R2 R1 \ R2 R1 1 R1 R2 dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
; ;

7. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNO ENIQ R1 I R2 IRREFLEKSIWNY, TO IRREFLEKSIWNY OTNO ENIQ R1 R
2

R1 \ R

2

R1

;

1

2. pUSTX R { BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE Z2 WSEH PAR CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM: R def f((a b) (c d)) j a + d = b + cg =

pOKAZATX, NYH OTNO 8. dOKAZATX, RI^NY, TO

^TOPROIZWEDENIE R1 R2 IRREFLEKSIWENIJ MOVET NEBYTX IRREFLEKSIWNYM. ^TO ESLI OTNO ENIQ R1 I R2 SIMMETSIMMETRI^NY OTNO ENIQ R1 R2 R1 \ R2 R1 1 R1 R1 1
; ;

9. dOKAZATX, ^TO PROIZWEDENIE R1 R2 SIMMETRI^NYH OTNO ENIJ R1 I R2 QWLQETSQ SIMMETRI^NYM

TOGDA I TOLXKOTOGDA KOGDA

dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX. 3. pUSTX R { BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE Z2 WSEH PAR CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM: 9 8 ad = bc b =0 d =0 = 6 6 < def R = :((a b) (c d)) ILI

R1 R2 = R2 R1 10. pUSTX R1 I R2 NA MNOVESTWE A dOKAZATX, ^TO (a) OTNO ENIQ (b) OTNO ENIE { ANTISIMMETRI^NYE OTNO ENIQ . R1 \ R2 I R1 1 ANTISIMMETRI^NY R1 R2 QWLQETSQ ANTISIMMETRI^;

NYM TOGDA I TOLXKOTOGDA KOGDA
R1 R2
;

1

idA

a = c b =0 d =0 dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX. 4. pUSTX A { MNOVESTWO WSEH PRQMYH NA PLOSKOSTI. qWLQ@TSQ LI \KWIWALENTNOSTQMI SLEDU@]IE OTNO ENIQ R1 I R2 NA A: (a) (a b) 2 R1 , a I b PARALLELXNY (b) (a b) 2 R2 , a I b PERPENDIKULQRNY 5. pUSTX R { BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE R WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM: R def f(a b) j a ; b { RACIONALXNOE ^ISLOg =

TIWNO (c) REFLEKSIWNO, NE SIMMETRI^NO, TRANZITIWNO (d) NE REFLEKSIWNO, ANTISIMMETRI^NO, TRANZITIWNO (e) NE REFLEKSIWNO, SIMMETRI^NO, TRANZITIWNO 12. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNO ENIE R ODNOWREMENNO SIMMETRI^NO I ANTISIMMETRI^NO, TOONO TRANZITIWNO.

11. pOSTROITX BINARNOE OTNO ENIE, KOTOROE (a) REFLEKSIWNO, SIMMETRI^NO, NE TRANZITIWNO (b) REFLEKSIWNO, ANTISIMMETRI^NO, NE TRANZI-

dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX. 6. dOKAZATX, ^TO ESLI R { \KWIWALENTNOSTX, TO R 1 { TOVE \KWIWALENTNOSTX. 7. pUSTX R { NEKOTOROE BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE A. dOKAZATX, ^TO R QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDAITOLXKOTOGDA, KOGDA
;

(R R 1) idA = R
;

8. pUSTX R1 I R2 { \KWIWALENTNOSTI NA NEKOTOROM MNOVESTWE A. dOKAZATX, ^TO (a) R1 R1 = A2 , R1 = A2 (b) R1 R2 = A2 , R2 R1 = A2

29


9. pUSTX f : A ! B { PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ. oPREDELIM OTNO ENIE R NA MNOVESTWE A SLEDU@]IM OBRAZOM: R def f(a1 a2) j f (a1 )= f (a2 )g = dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX. 10. pUSTX R1 I R2 { \KWIWALENTNOSTX NA NEKOTOROM MNOVESTWE A. dOKAZATX, ^TO (a) R1 \ R2 TOVE QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ (b) R1 R2 QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA R1 R2 = R1 R2 (c) R1 R2 QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA R1 R2 = R2 R1 (d) ESLI R1 R2 = R2 R1, TO R1 + R2 = R1 R2 GDE R1 + R2 { \TO NAIMENX AQ \KWIWALENTNOSTX, SODERVA]AQ R1 I R2. 11. pUSTX p0 p1 p2 ::: { POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMAQ INDUKTIWNOSLEDU@]IM OBRAZOM: (a) p0 def 1 = n Pi (b) pn+1 def Cnpi =

VESTWO SODERVIT (a) NEBOLEE ODNOGO NAIBOLX EGO\LEMENTA I (b) NEBOLEE ODNOGO NAIMENX EGO\LEMENTA. 6. dOKAZATX, ^TO (a) NAIBOLX IJ \LEMENT ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA (ESLI ON SU]ESTWUET) QWLQETSQ EDINSTWENNYM MAKSIMALXNYM \LEMENTOM \TOGOMNOVESTWA, I (b) NAIMENX IJ \LEMENT ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA (ESLI ON SU]ESTWUET) QWLQETSQ EDINSTWENNYM MINIMALXNYM \LEMENTOM \TOGOMNOVESTWA. 7. pOSTROITX PRIMER ^ASTI^NOUPORQDO^ENNOGOMNOVESTWA, IME@]EGO ROWNOODIN MINIMALXNYJ \LEMENT, NONEIME@]EGO NAIMENX EGO\LEMENTA. 8. dOKAZATX, ^TOOTNO ENIE R NA MNOVESTWE A QWLQETSQ KWAZIPORQDKOMTOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA
R =(R R) idA

5. dOKAZATX, ^TOWSQKOE ^ASTI^NOUPORQDO^ENNOE MNO-

dOKAZATX, ^TODLQ KAVDOGO n 1 ^ISLO pn RAWNO ^ISLU OTNO ENIJ \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE IZ n \LEMENTOW.
6.5.4

i

=0

9. pUSTX R { KWAZIPORQDOKNA A. oPREDELIM OTNO ENIE Q NA A SLEDU@]IM OBRAZOM: Q def R \ R 1 = dOKAZATX, ^TO Q { \KWIWALENTNOSTX NA A. oPREDELIM OTNO ENIE S NA FAKTOR-MNOVESTWE A=Q (GDE Q = R \ R 1 ) SLEDU@]IM OBRAZOM:
; ;

S def f( a1] a2]) j (a1 a2) 2 Rg =

1. dOKAZATX, ^TO ESLI R { ^ASTI^NYJ PORQDOK, TO R 1 TOVE ^ASTI^NYJ PORQDOK. 2. dOKAZATX, ^TO ESLI R1 I R2 { ^ASTI^NYE PORQDKI NA MNOVESTWE A, TO R1 \ R2 TOVE ^ASTI^NYJ PORQDOKNAMNOVESTWE A. 3. dOKAZATX, ^TO OTNO ENIQ WKL@^ENIQ NA MNO;

~ASTI^NYE PORQDKI

VESTWE WSEH PODMNOVESTW NEKOTOROGO MNOVESTWA QWLQETSQ ^ASTI^NYM PORQDKOM. 4. pUSTX R { BINARNOE OTNO ENIE NA MNOVESTWE N = f0 1 2 3 :: :g WSEH NATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM: = R def f(a b) j a b 2 N a DELITSQ NA bg (MY S^ITAEM, ^TO 0 DELITSQ NA 0). dOKAZATX, ^TO R { ^ASTI^NYJ PORQDOK.

dOKAZATX, ^TO S { ^ASTI^NYJ PORQDOK. 10. dOKAZATX, ^TO ESLI R { ^ASTI^NYJ (LINEJNYJ, POLNYJ) PORQDOK NA MNOVESTWE A, I B A, TO R \ B 2 ESTX ^ASTI^NYJ (LINEJNYJ, POLNYJ) PORQDOKNA MNOVESTWE B . 11. pUSTX { ^ASTI^NYJ PORQDOK NA A. dOKAZATX, ^TOOTNO ENIE < def f(a1 a2) 2 A2 j a1 a2 I a1 = a2 g = 6 IRREFLEKSIWNO I TRANZITIWNO. 12. dOKAZATX, ^TO ESLI NEKOTOROE OTNO ENIE < NA A IRREFLEKSIWNO I TRANZITIWNO, TOOTNO ENIE
def

= f(a1 a2) 2 A2 j a1
ESTX ^ASTI^NYJ PORQDOKNA A.

30


13. pOKAZATX, ^TO ESLI A ^ENNYE MNOVESTWA, I FUNKCIQ, QWLQ@]AQSQ BYTX MONOTONNOJ. 14. dOKAZATX, ^TODLQ KAV
6.5.5

I B { ^ASTI^NO UPORQDOf : A ! B { MONOTONNAQ BIEKCIEJ, TO f 1 MOVET NE
;

DOGO^ASTI^NOGOPORQDKA R NA KONE^NOM MNOVESTWE A SU]ESTWUET LINEJNYJ PORQDOK Q NA MNOVESTWE A, TAKOJ^TO R Q.

B2 , TO f 1 (B1 ) f 1 (B2 ) f 1 (B1 B2 )= f 1 (B1 ) f 1 (B2 ) f 1 (B1 \ B2 )= f 1 (B1 ) \ f 1 (B2 ) f 1 (B1 n B2 )= f 1 (B1 ) n f 1 (B2 ) 8. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I L@BOGOPODMNOVESTWA B B (a) (b) (c) (d)
1
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0

ESLI B

1. eSLI FUNKCIQ gf { IN_EKTIWNAQ, TO FUNKCIQ f { IN_EKTIWNAQ. 2. eSLI FUNKCIQ gf { S@R_EKTIWNAQ, TO FUNKCIQ g { S@R_EKTIWNAQ. 3. dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET BIEKTIWNAQ FUNKCIQ (a) IZ A B W B A (b) IZ A (B C ) W (A B ) C (c) IZ (A B )C W (AC ) (B C ) (d) IZ (AB )C W A(B C ) (e) IZ AB C W (AB ) (AC ), ESLI B \ C = . 4. pUSTX ZADANA FUNKCIQ f : A ! B: oBOZNA^IM SIMWOLOM Rf SLEDU@]EE BINARNOE OTNO ENIE: Rf def f(a f (a)) j a 2 Ag A B: = dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f QWLQETSQ IN_EKTIWNOJTOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA Rf Rf 1 = idA
;

fUNKCII

f 1 (B )=
; 0

, B \ Im(f )=
0 0 0

9. dOKAZATX, ^TODLQ KAVDOJ FUNKCII f : A ! B I KAVDOJPARYPODMNOVESTW A A B Im(f ), (a) A f 1 (f (A )) (b) f (f 1 (B )) = B (c) f (A ) \ B = f (A \ f 1 (B )) (d) f (A ) \ B = , A \ f 1 (B )= (e) f (A ) B , A f 1 (B )
0 ; 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 ; 0 0 0 ; 0

S@R_EKTIWNOJTOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA
Rf
;

1

Rf = idB

5. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I L@BOJ PARY PODMNOVESTW A1 A2 A (a) ESLI A1 A2 , TO f (A1 ) f (A2 ) (b) f (A1 A2)= f (A1 ) f (A2 ) (c) f (A1 \ A2) f (A1 ) \ f (A2 ) (d) f (A1 ) n f (A2 ) f (A1 n A2 ) (e) ESLI f { IN_EKTIWNA, TO f (A1 \ A2 )= f (A1 ) \ f (A2 ) f (A1 ) n f (A2 )= f (A1 n A2) 6. pOSTROITX PRIMER FUNKCII f : A ! B IPODMNOVESTW A1 A2 A, TAKIH, ^TO f (A1 \ A2) 6= f (A1 ) \ f (A2 ) 7. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I L@BOJ PARY PODMNOVESTW B1 B2 B 31


oSNOWNYE REZULXTATY TEORII MNOVESTW
7.1
dLQ PROIZWOLXNOGO KONE^NOGO MNOVESTWA A ^ISLO jAj EGO\LEMENTOW NAZYWAETSQ MO]NOSTX@ MNOVESTWA A. pUSTX ZADANA PARA KONE^NYH MNOVESTW A B . nETRUDNODOKAZATX, ^TO 1. jAj jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B 2. jAj jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B . oTS@DA W ^ASTNOSTI SLEDUET, ^TO jAj = jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B . pONQTIE MO]NOSTI MOVNOOBOB]ITX NA WSE MNOVESTWA. dLQ PROIZWOLXNOGOMNOVESTWA A EGOMO]NOSTX OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM jAj. oTNO ENIE SRAWNENIQ MO]NOSTEJ OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ PROIZWOLXNOJ PARY A B MNOVESTW 1. jAj jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B 2. jAj jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B 3. jAj = jB j TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B zNAKOSO^ETANIE jAj < jB j (7.1) OZNA^AET, ^TO jAj jB j I jAj = jB j 6 mOVNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ PARY MNOVESTW A B WERNOODNOITOLXKOODNOIZSOOTNO ENIJ: jAj < jB j jAj = jB j jB j < jAj:

lEKCIQ 7

mO]NOSTX MNOVESTWA

7.2

tEOREMA kANTORA UTWERVDAET, ^TO DLQ KAVDOGO MNOVESTWA A IMEET MESTO SOOTNO ENIE jAj < j2A j (7.2) pOSKOLXKU SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f WIDA f
A

tEOREMA kANTORA

dOKAZATELXSTWO.

KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU a 2 A ODNO\LEMENTNOE PODMNOVESTWO fag2 2A TO, SLEDOWATELXNO, IMEET MESTOSOOTNO ENIE jAj j2A j sLEDOWATELXNO, DLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (7.2) DOSTATO^NODOKAZATX, ^TO jAj = j2A j 6 (7.4) pREDPOLOVIM, ^TO (11.7) NEWERNO, T.E. jAj = j2A j (7.5) sOGLASNOOPREDELENI@ RAWENSTWA MO]NOSTEJ, SOOTNO ENIE (7.5) \KWIWALENTNOSU]ESTWOWANI@ BIEKTIWNOGOOTOBRAVENIQ f WIDA (7.3). dLQ KAVDOGO \LEMENTA a 2 A WERNO ODNO I TOLXKO ODNOIZ SLEDU@]IH DWUH SOOTNO ENIJ a 2 f (a) (7.6) a 62 f (a) (7.7) oBOZNA^IM SIMWOLOM B SOWOKUPNOSTX WSEH \LEMENTOW MNOVESTWA A, DLQ KOTORYH IMEET MESTO SOOTNO ENIE
(7.7). B QWLQETSQ PODMNOVESTWOMMNOVESTWA A, T.E. B 2 2A

-

2

A

(7.3)

32


pOSKOLXKUOTOBRAVENIE f QWLQETSQ BIEKTIWNYM, TOONO W ^ASTNOSTI S@R_EKTIWNO, T.E. SU]ESTWUET \LEMENT b MNOVESTWA A, TAKOJ, ^TO
f (b)= B

SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f WIDA
0 1]
f

-

0 1] 0 1]

(7.11)

KOTOROE MOVNOOPREDELITX TAK: DLQ KAVDOGO a 2 0 1] f (a) def (a 0) = SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE g WIDA
0 1] 0 1]
g

|LEMENT b I PODMNOVESTWO B A UDOWLETWORQ@T ODNOMU I TOLXKOODNOMU IZ SLEDU@]IH SOOTNO ENIJ: b2B (7.8) b 62 B (7.9) 1. eSLI WERNO (7.8), TOIZ OPREDELENIQ PODMNOVESTWA B SLEDUET, ^TO b 62 f (b) T.E. b 62 B 2. eSLI WERNO (7.9), TOIZ OPREDELENIQ PODMNOVESTWA B SLEDUET, ^TO b 2 f (b) T.E. b2B w OBOIH SLU^AQH POLU^AEM PROTIWORE^IE. tAKIM OBRAZOM, NA E PREDPOLOVENIE O TOM, ^TOSU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f WIDA (7.3), QWLQETSQ O IBO^NYM. sLEDOWATELXNO, IMEET MESTO SOOTNO ENIE (11.7).

-

0 1]

(7.12)

KOTOROE MOVNOOPREDELITX TAK: POSKOLXKUKAVDOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO a IZ OTREZKA 0 1] MOVNO PREDSTAWITX W WIDE BESKONE^NOJDESQTI^NOJ DROBI
a = a0 :a1 a2 a3 :::

GDE

{ a0 =0 ILI 1, I { DLQ KAVDOGO i 1 ai 2f0 ::: 9g

TO KAVDU@ TO^KU KWADRATA 0 1] 0 1], T.E. PARU (a b) 2 0 1] 0 1] MOVNOPREDSTAWITX PAROJDESQTI^NYH DROBEJ
(a0 :a1 a2 a3 ::: b0 :b1 b2 b3 :::) (7.13)

7.3

tEOREMA kANTORA{bERN TEJNA UTWERVDAET, ^TODLQ KA0 :a0 b0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ::: VDOJ PARY A B MNOVESTW, TAKOJ, ^TO nETRUDNODOKAZATX, ^TOOTOBRAVENIE g IN_EKTIWSU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ A W B I NO. SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ B W A IMEET MESTO SOOTNO ENIE 7.4 jAj = jB j (7.10) dANNU@ TEOREMU MOVNOPRIMENITX DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TOMO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK EDINI^NOGO 7.6 OTREZKA RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA TO^EK EDINI^NOGO KWADRATA
0 1] 0 1] 0 1]

tEOREMA kANTORA-bERN TEJ NA

-

oPREDELIM OTOBRAVENIE g SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOJ PARY (7.13) E< OBRAZ OTNOSITELXNO g RAWEN DROBI

dOKAZATELXSTWO:

...

7.5

7.7

aKSIOMA WYBORA I LEMMA cOR NA tEOREMA cERMELO tRIHOTOMIQ KARDINALXNYH ^I SEL tRANSFINITNAQ INDUKCIQ

-

dEJSTWITELXNO,

33


lEKCIQ 8

lOGIKA PREDIKATOW
8.1
8.1.1

wYRAVENIQ
tIPY

mY PREDPOLAGAEM, ^TOZADANOMNOVESTWO Types TIPOW. s KAVDYM TIPOM 2 Types MOVET BYTX SWQZANONEKOTOROE MNOVESTWO D ZNA^ENIJ DANNOGO TIPA, NO \TA SWQZX NEFIKSIROWANA, T.E. W RAZNYH SITUACIQH S ODNIM ITEM VE TIPOMMOGUT BYTX SWQZANY RAZNYE MNOVESTWA ZNA^ENIJ. nAPRIMER, Types MOVET SODERVATX TIP int, I W ODNOJ SITUACII S DANNYM TIPOM SWQZYWAETSQ MNOVESTWO WSEHCELYH ^ISEL, A W DRUGOJ SITUACII - MNOVESTWO CELYH ^ISEL W DIAPAZONEOT ;32767 DO +32767.
8.1.2

pREDPOLAGAETSQ, ^TO ZADANY MNOVESTWO Var PEREMENNYH, PRI^ 1

pEREMENNYE, KONSTANTY, FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, PREDIKATY

I , SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU TIPU 2 Types { MNOVESTWO DI ZNA^ENIJ TIPA (SOWOKUPNOSTX WSEHZNA^ENIJ WSEH TIPOW OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM DI I NAZYWAETSQ OBLASTX@ INTERPRETACII I ) KAVDOJ KONSTANTE c 2 Con { NEKOTOROE ZNA^ENIE cI 2DI TIPA (c) KAVDOMU FUNKCIONALXNOMU SIMWOLU f TIPA (8.1) { NEKOTORU@ FUNKCI@ f I WIDA f I : DI1 ::: DIn !DI KAVDOMU PREDIKATU R TIPA (8.2) { NEKOTORU@ FUNKCI@ RI WIDA RI : DI1 ::: DIn !f0 1g nIVE W \TOJ GLAWE SIMWOL I OBOZNA^AET NEKOTORU@ FIKSIROWANNU@ INTERPRETACI@.
8.1.4

8.1.3

iNTERPRETACIEJ NAZYWAETSQ SOOTWETSTWIE

iNTERPRETACII

(R) = ( 1 ::: n) ::: n 2 Types.

CIONALXNYH SIMWOLOW. kAVDOMU WYRAVENI@ e SOPOSTAWLQETSQ NEKOTORYJ TIP (e). mNOVESTWO WYRAVENIJ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Expr I OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. 1. kAVDAQPEREMENNAQ x 2 Var QWLQETSQ WYRAVENIEM TIPA (x). 2. kAVDAQKONSTANTA c 2 Con QWLQETSQ WYRAVENIEM TIPA (c). 3. dLQ KAVDOGO FUNKCIONALXNOGO SIMWOLA f TIPA (8.1), I KAVDOGO SPISKA WYRAVENIJ e1 ::: en , TAKOGO, ^TO (e1) = 1 ::: (en) = n , ZNAKOSO^ETA(8.2) NIE f (e1 ::: en ) QWLQETSQ WYRAVENIEM TIPA . wYRAVENIQ WIDA f (e1 e2) ^ASTO ZAPISYWA@T W WIDE e1 fe2 . sOWOKUPNOSTX WSEH PEREMENNYH, WHODQ]IH W WYRAVENIE e, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Var(e).
34

wYRAVENIQ STROQTSQ IZ PEREMENNYH, KONSTANT I FUNK

wYRAVENIQ

-


8.1.5

pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOKOSO^ETANIE WIDA
x1 ::: xk { SPISOK RAZLI^NYH PEREMENNYH, I e1 ::: ek { SPISOK WYRAVENIJ, PRI^ 8.1.6
12

pODSTANOWKI

8.2
8.2.1

fORMULY LOGIKI PREDIKATOW
pONQTIE FORMULY

GDE

= x1 := e1 ::: xk := ek ]

(8.3)

DELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM. 1. dLQ KAVDOGOPREDIKATA R TIPA (8.2), I KAVDOGO SPISKA WYRAVENIJ e1 ::: en , TAKOGO, ^TO (e1 )= 1 ::: (en)= n ZNAKOSO^ETANIE R(e1 ::: en) QWLQETSQ FORMULOJ. fORMULY TAKOGO WIDA NAZYWA@TSQ ATOMARNYMI. fORMULY WIDA R(e1 e2) ^ASTO ZAPISYWA@T W WIDE
e1 Re2 . 2. eSLI A I B { FORMULY, TOZNAKOSO^ETANIQ A A^B A_B A!B A$B QWLQ@TSQ FORMULAMI. 3. eSLI A { FORMULA, I x { PEREMENNAQ, TO ZNAKOSO^ETANIQ 8xA I 9xA QWLQ@TSQ FORMULAMI. zNAKOSO^ETANIE 8x NAZYWAETSQ KWANTOROM WSEOB]NOSTI, A 9x { KWANTOROM SU]ESTWOWANIQ. fORMULA A, WHODQ]AQW FORMULY 9xA I 8xA, NAZYWAETSQ OBLASTX@ DEJSTWIQ KWANTOROW, NAHODQ]IHSQ W NA^ALE DANNYH FORMUL. sOWOKUPNOSTX WSEHPEREMENNYH, WHODQ]IH W FORMULU A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Var(A). dLQ KAVDOJFORMULY A FORMULA :A MOVET TAKVE OBOZNA^ATXSQ SIMWOLOM A. dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 ::: Ak FORMULZNAKO-

fORMULY LOGIKI PREDIKATOW (lp) (NAZYWAEMYE NIVE PROSTO FORMULAMI){ \TO ZNAKOSO^ETANIQ, OPRE-

)(e) def =

1

( 2 (e))

(e1 )= (e2 ) zNAKOSO^ETANIE e1 = e2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO e1 I e2 \KWIWALENTNY. dLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : X !DI , KAVDOJ PEREMENNOJ x 2 X I KAVDOGO ZNA^ENIQ d 2DI (x) ZNAKOSO^ETANIE x := d] OBOZNA^AET OZNA^IWANIE PEREMENNYH IZ X , KOTOROE OTLI^AETSQ OT TOLXKO ZNA^ENIEM NA x: 8y 2 X x := d](y) def d(y) ESLI y 6= x = ESLI y = x

pUSTX X { NEKOTOROE MNOVESTWO PEREMENNYH IZ Var. oZNA^IWANIEM PEREMENNYH IZ X NAZYWAETSQ FUNKCIQ : X !DI , KOTORAQSOPOSTAWLQET KAVDOJPEREMENNOJ x 2 X NEKOTOROE ZNA^ENIE (x) 2DI TIPA (x). dLQ KAVDOGO WYRAVENIQ e, TAKOGO, ^TO Var(e) X , ZNA^ENIE (e) WYRAVENIQ e NA OZNA^IWANII OPREDELQETSQ REKURSIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM: SO^ETANIQ ESLI e = x 2 X , TO (e) UVEOPREDELENO A1 ^ A2 ^ ::: ^ Ak I A1 _ A2 _ ::: _ Ak ESLI e = S 2 Con, TO (e) def cI = QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL ESLI e = f (e1 ::: ek ) TO A1 ^ (A2 ^ (::: ^ An) :::) I A1 _ (A2 _ (::: _ An) :::) (e) def f I ( (e1 ) ::: (ek )) = SOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVEBUDUT OBOZNAwYRAVENIQ e1 I e2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI 8A 9 2A 3 ESLI DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ WHODQ]IH W NIH PERE< 1= 1 MENNYH IMEET MESTO RAWENSTWO ::: I 4 ::: 5 :
Ak Ak

oZNA^IWANIQ

SOOTWETSTWENNO. wFORMULAH lp MOVNOOPUSKATX SKOBKI, ANALOGI^NOTOMU, KAK \TODELALOSX W FORMULAH lw. pRI WOSSTANOWLENII SKOBOKISPOLXZU@TSQ TEVE PRAWILA, ^TOIW PUNKTE 2.1.4, IKROMETOGO, PREDPOLAGAETSQ ^TOKWANTORY SWQZYWA@T SILXNEE OTRICANIJ, T.E. PRI WOSSTANOWLENII SKOBOK W PERWU@ O^EREDX RASSMATRIWA@TSQ WSE WHOVDENIQ KWANTOROW, I DLQ KAVDOGO KWANTORA I]ETSQ MINIMALXNOE ZNAKOSO^ETANIE SPRAWA OT NEGO, QWLQ@]EESQ FORMULOJ.

35


pUSTX ZADANONEKOTOROE OZNA^IWANIE : X !D . dLQ KAVDOJ FORMULY A, TAKOJ, ^TO Var(A) X ZNA^ENIE (A) 2f0 1g FORMULY A NA OZNA^IWANII OPREDELQETSQ REKURSIWNOSLEDU@]IM OBRAZOM. 1. eSLI A = R(e1 ::: en ){ ATOMARNAQFORMULA, TO
I

8.2.2

zNA^ENIQ FORMULlp

8.2.4

, pUSTX A { NEKOTORAQ FORMULA, I x { NEKOTORAQ PEREMENNAQ, WHODQ]AQW A. pEREMENNAQ x MOVET WHODITX W A NESKOLXKORAZ. nAPRIMER, ESLI A IMEET WID 8y (R(x y) !8xQ(x)) (A) def RI ( (e1 ) ::: (en )) = TO x IMEET TRI WHOVDENIQ W A. = 2. (A) def (A) kAVDOE WHOVDENIE PEREMENNOJ x W A QWLQETSQ LIBO SWOBODNYM, LIBO SWQZANNYM. def 3. (A ^ B ) = (A) ^ (B ) wHOVDENIE PEREMENNOJ x W A NAZYWAETSQ def 4. (A _ B ) = (A) _ (B ) SWQZANNYM, ESLI \TOWHOVDENIE SODERVITSQ W NEKOTOROJPODFORMULEWIDA 8xB ILI 9xB , I 5. (A ! B )= 1, ESLI (A) (B ) SWOBODNYM { ESLI DANNOE WHOVDENIE NE QWLQETSQ 6. (A $ B )= 1, ESLI (A)= (B ) SWQZANNYM. 7. (8x A) = 1, ESLI DLQ L@BOGO d 2 DI (x) IMEET nAPRIMER, RASSMOTRIM SLEDU@]IE FORMULY: MESTO RAWENSTWO ( x := d])(A)= 1 R(x y) (8.5) 8. (9xA)= 1, ESLI SU]ESTWUET ZNA^ENIE d 2DI (x) , DLQ KOTOROGO ( x := d])(A)= 1 R(x y) !8xS (x) (8.6) eSLI (A)=1, TO A NAZYWAETSQ ISTINNOJ NA OZNA8x (R(x y) !8xR(x)) (8.7) ^IWANII , INA^E A NAZYWAETSQ LOVNOJ NA . eSLI DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : X ! DI IMEET 1. wHOVDENIE PEREMENNOJ x W (8.5) SWOBODNO. MESTO RAWENSTWO (A)= 1, TO A NAZYWAETSQ ISTINNOJ 2. pERWOE WHOVDENIE PEREMENNOJ x W (8.6) SWOBODNO, W INTERPRETACII I . AWTOROE I TRETXE { SWQZANNYE. fORMULA A NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA ISTINNA W L@BOJINTER- 3. wSE WHOVDENIQ x W (8.7) QWLQ@TSQ SWQZANNYMI. PRETACII 4. kAVDOE WHOVDENIE PEREMENNOJ y WO WSEH TR
sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH W FORMULY


8.3

dLQ KAVDOJ INTERPRETACII I I KAVDOJ FORMULY A, TAKOJ, ^TOMNOVESTWO FV (A) NEPUSTOIIMEET WID FV (A)= fx1 ::: xng FORMULA A WYRAVAET NEKOTOROE SWOJSTWO n{\LEMENTNYH KORTEVEJ ZNA^ENIJ SOOTWETSTWU@]IH TIPOW, T.E. OPREDELQET NEKOTOROE PODMNOVESTWO AI DI (x1 ) ::: DI (xn ) NAZYWAEMOE OTNO ENIEM, KOTOROE SOSTOIT IZ WSEHSPISKOW (d1 ::: dn), TAKIH, ^TO A ISTINNA NA OZNA^IWANII
x1 := d1 ::: xn := dn]

oTNO ENIQ, OPREDELQEMYE FORMULAMI

3. fORMULA 8 :(x = c) < : 8y (9z (x = y z) ! y = x ) y=c

9 =

(8.11)

BUDET OPREDELQTX MNOVESTWO WSEH PROSTYH ^ISEL, ESLI PREDIKAT \=" TIPA (nat nat), I FUNKCIONALXNYJ SIMWOL \ " TIPA (nat nat) ! nat INTERPRETIRU@TSQ KAK RAWENSTWO I OBY^NOE UMNOVENIE ^ISEL, A KONSTANTA c INTERPRETIRUETSQ KAK NATURALXNOE ^ISLO 1.

rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW OTNO ENIJ, OPRE- 8.4 DELQEMYH FORMULAMI. fORMULY A1 I A2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI WPROIZWOLXNOJINTERPRETACII I IH ZNA^ENIQ SOWPADA1. pUSTX W FORMULAH @T NA KAVDOM OZNA^IWANII WHODQ]IH W NIH PEREMENR(x y) (8.8) NYH. zNAKOSO^ETANIE A1 A2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO A I A2 \KWIWALENTNY. 8yR(x y) (8.9) 1 nETRUDNODOKAZATX, ^TO { OTNO ENIE \KWIWALENT9x 8yR(x y) (8.10) NOSTI I KONGRU\NCIQ OTNOSITELXNO WSEH OPERACIJ NA FORMULAH, T.E. ESLI A1 A2 , TO PREDIKAT R IMEET TIP (nat nat), GDE MNOVESTWO I A1 A2 Dnat SOSTOIT IZ WSEH NATURALXNYH ^ISEL, I A1 ^ B A2 ^ B B ^ A1 B ^ A2 RI (d1 d2)= 1 , d1 d2 A1 _ B A2 _ B B _ A1 B _ A2 w DANNOM SLU^AE A1 ! B A2 ! B B ! A1 B ! A2 (8.8) OPREDELQET OTNO ENIE, KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH PAR (d1 d2) NATURALXNYH ^ISEL, TAA1 $ B A2 $ B B $ A1 B $ A2 KIH, ^TO d1 d2 8xA1 8xA2 9xA1 9xA2 (8.9) OPREDELQET OTNO ENIE, KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH NATURALXNYH ^ISEL d1, OBLADA@]IH |TI SOOTNO ENIQ POZWOLQ@T DOKAZATX TEOREMU OB \KSWOJSTWOM WIWALENTNOJZAMENE, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO d d1 d FORMULA A SODERVIT NEKOTORU@ PODFORMULU B , NETRUDNO WIDETX, ^TO DANNOE OTNO ENIE SOB \KWIWALENTNA NEKOTOROJFORMULE C , I STOIT LI X IZ ^ISLA 1 FORMULA A POLU^AETSQ IZ A ZAMENOJ B NA C (8.10) QWLQETSQ ISTINNYM WYSKAZYWANIEM, UTWERVDA@]IM SU]ESTWOWANIE NAIMENX EGONA- TO A \KWIWALENTNA A . TURALXNOGO ^ISLA. dEJSTWITELXNO, A I A MOVNO RASSMATRIWATX KAK 2. pUSTX OBOZNA^AET TIP, ZNA^ENIQMI KOTOROGOQW- REZULXTAT NESKOLXKIH PRIPISYWANIJ SLEWA ILI SPRAWA LQ@TSQ WSE L@DI, A R(x y) I S (x y) (GDE PREDI- K B I C ODNIH I TEH VE ZNAKOSO^ETANIJ (KAVDOE IZ KATY R I S IME@T TIP ( )) INTERPRETIRU@TSQ KOTORYH QWLQETSQ LIBO ZNAKOM OTRICANIQ, LIBO FORSOOTWETSTWENNOKAK \x ESTX BRAT y" I \x ESTX RO- MULOJSOSWQZKOJ, LIBO KWANTOROM). sOGLASNO PRIWED 0 0 0 0 0

|KWIWALENTNOSTX FORMUL

37


8.5

wO WSEHZADA^AH \TOJ GLAWY PREDPOLAGAETSQ, ^TO TIPY WSEH WYRAVENIJ WO WSEHFORMULAH ODINAKOWY.
8.5.1

zADA^I

pEREWESTI SLEDU@]IE PREDLOVENIQ NA QZYK FORMUL. 1. nE WSE PTICY MOGUT LETATX. 2. tY MOVE X OBMANYWATX KOE-KOGO WS< WREMQ, TY 8.5.4 tAWTOLOGII MOVE X OBMANYWATX WSEHNEKOTOROE WREMQ, NOTY 1. qWLQ@TSQ LI SLEDU@]IE FORMULY TAWTOLOGIQMI? NEMOVE X OBMANYWATX WSEH WS< WREMQ. (a) 9xP (x) !8xP (x) 3. nI ODIN POLITIK NE^ESTEN. (b) 9xP (x) !8xP (x) 4. eSLI KTO-NIBUDX MOVET SDELATX \TO, TO I pETQ (c) 9x 8yR(x y) !8y 9xR(x y) MOVET. (d) 8x 9yR(x y) !9y 8xR(x y) 5. wSQKIJ, WKOMESTX UPORSTWO, MOVET IZU^ITX LO(e) 9x 8yR(x y) !9y 8xR(x y) GIKU. (f ) 8x 8yR(x y) !8xR(x x) (g) 9xR(x x) !9x 9yR(x y) 8.5.2 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ (h) (8xA !9xB ) $ (9x (A ! B )) PEREMENNYH uKAZATX SWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH 2. dOKAZATX, ^TOSLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWWSLEDU@]IE FORMULY TOLOGIQMI: 1. 8z (8xR(x y) ! R(z x)) (a) 8xA $9x A (b) 9xA $8x A 2. 8yR(z y) !8zR(z y) (c) 8x (A ^ B ) $ (8xA ^ 8xB ) 3. (8y 9xR(x y f (x y))) _ 8xS (y g(x)) (d) 9x (A _ B ) $ (9xA _9xB ) 4. 8x (R(x y) !8yQ(y)) (e) (8xA _8xB ) !8x (A _ B ) (f ) 9x (A ^ B ) ! (9xA ^ 9xB ) 5. 8xR(x y) !8yQ(x y) (g) 8x (A ! B ) ! (8xA !8xB ) 6. 9yQ(y y) ^ R(f (x y)) (h) 8x (A ! B ) ! (9xA !9xB ) (i) (8xA !8xB ) !9x (A ! B ) 8.5.3 wYPOLNIMOSTX (j) (9xA !9xB ) !9x (A ! B ) 1. wYPOLNIMY LI FORMULY (k) (9xA !8xB ) !8x (A ! B ) (a) 9xP (x) (l) 8x (A _ B ) ! (9xA _8xB ) (b) 8xP (x) (m) 8x (A ^ B ) ! (8xA ^ 9xB ) (c) 9x 8y (Q(x x) ^ Q(x y)) (n) 8x 8yA !8y 8xA (d) 9x 9y (P (x) ^ P (y)) (o) 9x 9yA !9y 9xA (e) 9x 8y (Q(x y) !8zR(x y z )) (p) 9x 8yA !8y 9xA (f ) P (x) !8yP (y) (q) (8x (A $ B )) ! ((8xA) $ (8xB )) (g) 8x 9y (P (x) $ P (y)) (r) (8x (A $ B )) ! ((9xA) $ (9xB )) (h) 9y 8x (P (x) $ P (y)) (s) (9x A ! C ) ! (8x (A ! C ) ! B ) (i) 9x 8y 9z (R(x) $ (S (y) _ T (z ))) B ! GDE x NEWHODIT W FORMULU B Q(x (j) 8x P (x) !8y P (y) ! 8zP)(! Q(y) (t) (8x (A ! B )) ! 9xA ^ 8xB z) (u) (8x (A ! B )) ! 8xA ^ 9xB
38

fORMALIZACIQ PREDLOVENIJ ESTESTWENNOGO QZYKA

8x 9z 8y (l) (( P (y) ! P (x) ) ! (Q(x) $ Q(y))) Q(z ) R(z ) 2. dOKAZATX, ^TOFORMULA A WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA WYPOLNIMA FORMULA 9xA, GDE x { PROIZWOLXNAQPEREMENNAQ.

8 P (y ) 9 < = (k) 8x 9y : P (x) ! Q(x) ! R(y) Q(x) ! R(x)


3. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY NE QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI. (a) (9xA ^ 9xB ) !9x (A ^ B ) (b) 8x (A _ B ) ! (8xA _8xB ) (c) (8xA !8xB ) !8x (A ! B ) (d) 8y 9xR(x y) !9x 8yR(x y) y (e) 9x 8y ( R(x x) ! (R(x x) $ R(y y))) R(y )

!9y 8zR(y z ) 4. dOKAZATX, ^TO A { TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA 8xA { TAWTOLOGIQ. 5. pUSTX KAVDAQPEREMENNAQ WYRAVENIQ e NE IMEET SWQZANNYH WHOVDENIJ W FORMULU A. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI: (a) 8xA ! x := e]A (b) x := e]A !9xA 6. pUSTX FORMULA A NESODERVIT KWANTOROW. dOKAZATX, ^TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA A IMEET WID (B ), GDE B { NEKOTORAQ TAWTOLOGIQ lw, I { NEKOTORAQ PODSTANOWKA.
8.5.5

8 R(x y) < (f ) : 8x 8y 8z ( R(y z ) ! R(x z )) 8x R(x x) !9x 8y R(x y) 8 R(x x) 9 < = (g) 8x 8y 8z : R(x z ) ! R(x y) R(y z )

9 =

2. nAPISATX FORMULU S ODNOARGUMENTNYMI PREDIKATAMI, ISTINNU@ LI X W TAKIH INTERPRETACIQH, OBLASTX KOTORYH SODERVIT NEMENEE 5 \LEMENTOW. 3. dOKAZATX, ^TOFORMULA y 9x 8y ( R(x x) ! (R(x x) $ R(y y))) R(y ) ISTINNA W L@BOJINTERPRETACII, OBLASTX KOTOROJ

!

!

SOSTOIT NEBOLEE ^EM IZ TR
! 9y 8xR(y x)

8 R(x x) 9 < = 8x 8y 8z : (R(x y) ^ R(y z )) ! R(x z ) ! R(x y) _ R(y x) 9 > = >

5. dOKAZATX, ^TOFORMULA 8 8x 9yP (x y) > < 8x 8y (P (x y) ! P (y x)) > 8x 8y 8z (P (x y) ^ P (y z)) ! P (x z) :

1. rASSMOTRIM SLEDU@]IE FORMULY R(f (x y) a) R(x y) ! R(y x) 8x 8y 8z (R(x y) ! (R(y z ) ! R(x z )))

iSTINNOSTX FORMUL W INTERPRETACIQH

ISTINNA W NEKOTOROJ INTERPRETACII S BESKONE^NOJ OBLASTX@ I LOVNA WO WSEHINTERPRETACIQH S KONE^NOJ OBLASTX@. 6. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY ISTINNY WO WSQKOJINTERPRETACII S KONE^NOJ OBLASTX@, NONE QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI: R(y z ) ! R(x z ) ! R(y x) (a) 9x 8y 9z

dLQ SLEDU@]IH INTERPRETACIJ I DLQ KAVDOJ IZ \TIH FORMUL UKAZATX, PRI KAKIH OZNA^IWANIQH SWO- 8.5.6 sWOJSTWA, WYRAVAEMYE FORMULABODNYH PEREMENNYH \TI FORMULY ISTINNY. MI (a) w KA^ESTWE OBLASTI BER 39

!9y 8zR(y z ) 7. nAJTI INTERPRETACI@, WKOTOROJ ISTINNA FORMULA 9x 9yR(x y) ILOVNA FORMULA 8x 9yR(x y).

8 R(x x) 9 < R(x x) = 8x 8y 8z : R(x z ) ! R(x y) ! (b) R(y z )


(b) nAPISATX FORMULU S DWUMQ SWOBODNYMI PEREMENNYMI x I y, ISTINNU@ W I TOGDA I TOLXKO

i. ii. iii. iv. v. vi.

x x x x x x

=0 =1 =2 { ^
TOGDA KOGDA
i. ii. iii. iv. v.

(c)

(d)

(e)

(f ) (g)

NECAMI nAPISATX FORMULU S TREMQ SWOBODNYMI PEREMENNYMI x y I z , ISTINNU@ W I TOGDA I TOLXKOTOGDA KOGDA i. z { NAIMENX EE OB]EE KRATNOE x I y ii. z { NAIBOLX IJ OB]IJ DELITELX x I y nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE W INTERPRETACII I SLEDU@]IE SWOJSTWA: i. KOMMUTATIWNOSTXSLOVENIQ ii. ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ iii. KOMMUTATIWNOSTXUMNOVENIQ iv. ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ v. DISTRIBUTIWNOSTX SLOVENIQ OTNOSITELXNO UMNOVENIQ vi. BESKONE^NOSTX MNOVESTWA PROSTYH ^ISEL vii. UTWERVDENIE O TOM, ^TOKAVDOE ^ISLO ESTX SUMMA ^ETYR x + y =1 40

x=y xy x
PRQMAQEDINSTWENNA (b) ^EREZ KAVDYE TRI TO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX (c) AKSIOMU eWKLIDA O PARALLELXNYH PRQMYH nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJSTWA: (a) SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PRQMYH (b) SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PLOSKOSTEJ 3. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ, WKOTOROJINTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R. nAPISATX FORMULU, WYRAVA@]U@ SLEDU@]IE SWOJSTWA R: (a) R REFLEKSIWEN (b) R SIMMETRI^EN (c) R TRANZITIWEN (d) R QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ 4. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ, W KOTOROJ INTERPRETIROWANY DWUHARGUMENTNYE PREDIKATY \ " I \=". nAPISATX S ISPOLXZOWANIEM DANNYH PREDIKATOW FORMULY, WYRAVA@]IE AKSIOMY (a) ^ASTI^NOUPORQDO^ENNOGOMNOVESTWA (b) LINEJNOUPORQDO^ENNOGOMNOVESTWA 5. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ S OBLASTX@, QWLQ@]EJSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM, IW I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM: R(x y)=1 , x y nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJSTWA: (a) x ESTX NAIMENX IJ \LEMENT

2. pUSTX I { INTERPRETACIQ, OBLASTX@ KOTOROJ QWLQETSQ MNOVESTWO WSEHTO^EK, PRQMYHIPLOSKOSTEJ 3-MERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, I PREDIKATY tO^KA, pRQMAQ, pLOSKOSTX I lEVIT INTERPRETIRU@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: tO^KA(x)=1 , x { TO^KA pRQMAQ(x)=1 , x { PRQMAQ pLOSKOSTX(x)= 1 , x { PLOSKOSTX lEVIT(x y)=1 , x LEVIT NA y nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: (a) ^EREZ KAVDYE DWE TO^KI MOVNO PROWESTI PRQMU@, I ESLI \TI TO^KI RAZLI^NY, TO TAKAQ


1. pUSTX PEREMENNAQ y NE WHODIT W FORMULU A. dOKAZATX, ^TO (a) 8xA 8y x := y]A (b) 9xA 9y x := y]A (c) 8yA A (d) 9yA A RI (x y)= 1 , x y EREM nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJ- 2. pUSTX ,P^TOWENNAQ y NE WHODITPW FORMULUOA. dOKAZATX \TOM SLU^AE DLQ ROIZWOLXN JFORSTWA: MULY B IME@T MESTOSOOTNO ENIQ (a) x ESTX PERESE^ENIE y I z (a) A ^ (8yB ) 8y (A ^ B ) (b) x ESTX OB_EDINENIE y I z (b) A _ (8yB ) 8y (A _ B ) (c) x = (c) A ^ (9yB ) 9y (A ^ B ) (d) x = A (d) A _ (9yB ) 9y (A _ B ) (e) x ESTX DOPOLNENIE y (e) A ! (8yB ) 8y (A ! B ) 7. pUSTX (f ) A ! (9yB ) 9y (A ! B ) (g) (8yB ) ! A 9y (B ! A) I { INTERPRETACIQ S OBLASTX@ 2A, GDE A { NEKOTOROE MNOVESTWO, (h) (9yB ) ! A 8y (B ! A) W I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PRE- 3. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH FORMUL A B IME@T MESDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM: TO SOOTNO ENIQ: I (x y)=1 , x = y R (a) 8x 8yA 8y 8xA (b) 9x 9yA 9y 9xA W I INTERPRETIROWANY DWUHARGUMENTNYE FUNK(c) 8xA 9x A CIONALXNYE SIMWOLY f I g SLEDU@]IM OBRAZOM: (d) 9xA 8x A f I (x y) def x \ y = (e) (8xA) ^ (8xB ) 8x (A ^ B ) gI (x y) def x y = (f ) (9xA) _ (9xB ) 9x (A _ B ) nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJ(g) 9x (A ! B ) (8xA) ! (9xB ) STWA: (a) x y (b) x { ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO 8. pUSTX I { INTERPRETACIQ S OBLASTX@ N, W I INTERPRETIROWANA KONSTANTA c : cI def 1 = W I INTERPRETIROWAN ODNOARGUMENTNYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL s : sI (x) def x +1 = W I INTERPRETIROWAN NEKOTORYJ ODNOARGUMENTNYJ PREDIKAT P nAPISATX AKSIOMU INDUKCII DLQ P . 6. pUSTX I { NEKOTORAQINTERPRETACIQ S OBLASTX@ 2A GDE A { NEKOTOROE MNOVESTWO, I W I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM:

(b) x ESTX MINIMALXNYJ \LEMENT

8.5.7

|KWIWALENTNOSTX FORMUL

41


lEKCIQ 9

tEOREMA |RBRANA
9.1

lITERALOM NAZYWAETSQ FORMULA lp WIDA A ILI A, GDE A { ATOMARNAQFORMULA. dIZ_@NKTOM NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ NEKOTOROGO MNOVESTWA LITERALOW. eSLI \TO MNOVESTWO PUSTO, TO SOOTWETSTWU@]IJ EMU DIZ_@NKT NAZYWAETSQ PUSTYM. fORMULA lp NAZYWAETSQ SKOLEMOWSKOJNORMALXNOJFORMOJ (snf), ESLI ONA ZAMKNUTA I IMEET WID 8X (D1 ^ ::: ^ Dk ) (9.1) GDE D1 ::: Dk { DIZ_@NKTY, I 8X QWLQETSQ SOKRA]ENIEM ZNAKOSO^ETANIQ 8x1 ::: 8xn , GDE X = fx1 ::: xng. dLQ KAVDOJ FORMULY SU]ESTWUET snf , OBLADA@]AQSLEDU@]IM SWOJSTWOM: WYPOLNIMA , WYPOLNIMA snf MOVET BYTX POSTROENA PRI POMO]I ALGORITMA, SOSTOQ]EGO IZ PERE^ISLENNYH NIVE \TAPOW. kAVDYJ \TAP ZAKL@^AETSQ W CIKLI^ESKOMWYPOLNENII SWQZANNYH S NIM DEJSTWIJ, KOTORYE WYPOLNQ@TSQ DO TEH POR, POKA IH BUDET WOZMOVNO WYPOLNQTX. kOGDA WYPOLNENIE NI ODNOGOIZ DEJSTWIJ TEKU]EGO \TAPA NEWOZMOVNO, PROISHODIT PEREHODK SLEDU@]EMU \TAPU.
1.

sKOLEMOWSKAQ NORMALXNAQ FORMA

4.

pEREDWIVENIE KWANTOROW NAPRAWO.

(c) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A _ B ZAMENQETSQ NA A ^ B . (d) kAVDAQ PODFORMULA WIDA 8XB ZAMENQETSQ NA 9X B . (e) kAVDAQ PODFORMULA WIDA 9XB ZAMENQETSQ NA 8X B .

5.

uDALENIE KWANTOROW SU]ESTWOWANIQ.

(a) pODFORMULY WIDA 8x(A ^ B ) ILI 9x(A _ B ), GDE x 2 FV (A) \ FV (B ), ZAMENQ@TSQ SOOTWETSTWENNONA 8xA ^ 8xB I 9xA _ 9xB (b) pODFORMULY WIDA 8x(A B ) ILI 9x(A B ) (WMESTO A B MOVET BYTX B A), GDE x 62 FV (B ), I \ " OBOZNA^AET \^" ILI \_", ZAMENQ@TSQ SOOTWETSTWENNONA 8xA B I 9xA B

zAMYKANIE.

eSLI MNOVESTWO FV ( ) NEPUSTO, TO K SPEREDI PRIPISYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE 9x1 ::: 9xn , GDE fx1 ::: xng = FV ( ).

eSLI W FORMULU WHODIT HOTQ BYODIN KWANTORWIDA 9x, I ZA SAMYM LEWYM WHOVDENIEM \TOGO KWANTORA SLEDUET PODFORMULA A, TO\TOWHOVDENIE KWANTORA UDALQETSQ, I (a) ESLI FV (A)= fxg, TO A ZAMENQETSQ NA FORMULU x := c]A, GDE c { NOWAQKONSTANTA (b) ESLI FV (A) = fx x1 ::: xng (n 1), TO A ZAMENQETSQ NA FORMULU x := f (x1 ::: xn)]A, GDE f { NOWYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL

6.

pEREIMENOWANIE SWQZANNYH PEREMENNYH. pEREME]ENIE KWANTOROWNALEWO.

2.

uDALENIE STRELOK.

eSLI ESTX DWE PODFORMULY S ODINAKOWYMI KWANTORAMI: 8xA I 8xB , TOPODFORMULA 8xB ZAMENQETSQ NA 8y x := y]B , GDE y { NOWAQPEREMENNAQ wSE KWANTORY PEREME]A@TSQ W NA^ALOFORMULY.

3.

pRONESENIE OTRICANIJ WNIZ.

(a) kAVDAQPODFORMULA WIDA A $ B ZAMENQETSQ NA (A ^ B ) _ (A ^ B ). (b) kAVDAQPODFORMULA WIDA A ! B ZAMENQETSQ NA A _ B .

7. 8. 9.

wYNESENIE KON_@NKCIJ NARUVU. uDALENIELI NIHSKOBOK.

pODFORMULY WIDA (A ^ B ) _ C ILI C _ (A ^ B ) ZAMENQ@TSQ NA (A _ C ) ^ (B _ C ). pODFORMULY WIDA (A ^ B ) ^ C ILI A ^ (B ^ C ) PEREPISYWA@TSQ W WIDE A ^ B ^ C , APODFORMULY WIDA (A _ B ) _ C ILI A _ (B _ C ){ W WIDE A _ B _ C .

(a) kAVDAQPODFORMULA WIDA A ZAMENQETSQ NA A. (b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ^ B ZAMENQETSQ NA A _ B . 42


dLQ KAVDOGOOZNA^IWANIQ : X ! H (S ) OBOZNA^IM SIMWOLOM I OZNA^IWANIE I - DI X 9.2.1 pONQTIE \RBRANOWSKOJ INTERPRETACII KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU x 2 X ZNA^ENIE ( (x))I . kAVDOE OZNA^IWANIE : X ! H (S ) MOVNO RASSMApUSTX ;{ NEKOTOROE MNOVESTWO FORMUL. TRAIWATX I KAK PODSTANOWKU, KOTORAQDEJSTWUET NA KAVmY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: DOE WYRAVENIE PUT 9.2.2

9.2

|RBRANOWSKIE INTERPRETA CII

-

pUSTX I { NEKOTORAQINTERPRETACIQ, WKOTOROJ ISTINNA snf S WIDA (9.1). pOSTROIM |i H (I ) DLQ S , WKOTOROJ S TAKVEBUDET ISTINNA. dLQ KAVDOGO WYRAVENIQ h 2 H (S ) MOVNO WY^ISLITX EGO ZNA^ENIE W INTERPRETACII I , KOTOROE MY BUDEM OBOZNA^ATX SIMWOLOM hI : ESLI h = c 2 Con(S ), TO hI QWLQETSQ INTERPRETACIEJ cI KONSTANTY c W I I ESLI h = f (h1 ::: hn), TO hI def f I (hI ::: hn) = 1

sWQZX PROIZWOLXNYH INTERPRETACIJS|i

aNALOGI^NYM OBRAZOMDOKAZYWAETSQ RAWENSTWO
I

(L)=0

DLQ OTRICATELXNYH (T.E. SODERVA]IH OTRICANIE) LITERALOWIZ Di . tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO SOOTNO ENIE
I

(Di )=0

KOTOROE PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO S ISTINNA W I .

43


9.3
9.3.1

sEMANTI^ESKIE DEREWXQ
lEMMA k
tAKIM OBRAZOM, T IMEET WID
A ;; @@@ ; R A ; @A A ; @A ; @ @ ; R @ ::: ;; R @

nAPOMNIM, ^TO DEREWOM NAZYWAETSQ GRAF T W KOTOROM WYDELENA WER INA Root(T ), NAZYWAEMAQ KORNEM, I DLQ KAVDOJ WER INY n KOTOROGOSU]ESTWUET EDINSTWENNYJ PUTX IZ Root(T ) W n (KOTORYJ QWLQETSQ PUSTYM, ESLI n = Root(T )). dLQ KAVDOJ WER INY n 2 T E< GLUBINOJ NAZYWAETSQ KOLI^ESTWO Ri.
9.3.2

t

A

0

t

0

t

1

1

1

1

:::

:::

dLQ KAVDOGOMAKSIMALXNOGO PUTI W T , I KAVDOGO LITERALA Ai IZ A(S ), LIBO Ai LIBO Ai QWLQETSQ METKOJ NEKOTOROGORE BRA NA PUTI . wPERWOM SLU^AE MY BUDEM PISATX Ai 2 , AWO WTOROM { Ai 2 . pO KAVDOJ|i I DLQ S MOVNOPOSTROITX MAKSIMALXNYJ PUTX (I ) W T , TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO Ai 2 A(S ) AI =1 , Ai 2 (I ) (9.3) i sOGLASNOOPREDELENI@ ZNA^ENIQ FORMULY W INTERPRETACII, SOOTNO ENIE S I =0 \KWIWALENTNO USLOWI@ 9 SU]ESTWU@T OZNA^IWANIE : X ! H (S ) = I DIZ_@NKT Di IZ S , TAKIE, ^TO (9.4) DLQ KAVDOGOLITERALA L IZ Di (L)= 0 sOGLASNO WYBORU PUTI (I ), SOOTNO ENIE (L) = 0 \KWIWALENTNO SOOTNO ENI@ (L) 2 (I ), WKOTOROM RASSMATRIWAETSQ KAK PODSTANOWKA, I ESLI LITERAL L { OTRICATELXNYJ, TO (L){ POLOVITELXNYJ LITERAL, POLU^AEMYJ IZ (L) UDALENIEM OTRICANIQ. dEJSTWITELXNO, PUSTX, NAPRIMER, L { POLOVITELXNYJ LITERAL WIDA R(e1 ::: en). sOOTNO ENIE (L)=0 OZNA^AET, ^TO
RI ( (e1 ) ::: (en))=0 T.E. W|i I LITERAL R( (e1 ) ::: (en )) IMEET ZNA^ENIE 0, PO\TOMU LITERAL

sEMANTI^ESKIE DEREWXQ

(L) = R( (e1 ) ::: (en)) IMEET W I ZNA^ENIE 1, ISLEDOWATELXNO, POOPREDELENI@ PUTI (I ), (L) 2 (I ). aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA L { OTRICATELXNYJ LITERAL. oBOZNA^IM SIMWOLOM n(I ) WER INU NA PUTI (I ), TAKU@, ^TO WSE LITERALY WIDA (L), GDE L 2 Di , SODERVATSQ NA U^ASTKE PUTI (I ) OT KORNQ DO n(I ). sISPOLXZOWANIEM WWED = I DIZ_@NKT Di IZ S , TAKIE, ^TO DLQ KAVDOGOLITERALA L IZ Di > (9.5) (L) PRINADLEVIT PUTI IZ KORNQ W n(I )

44


tEOREMA |RBRANA UTWERVDAET, ^TONEWYPOLNIMOSTX snf S WIDA (9.1) \KWIWALENTNA SLEDU@]EMU USLOWI@: SU]ESTWU@T PODSTANOWKI 1 ::: p : X ! H (S ), ISOOTWETSTWU@]IE IM DIZ_@NKTY Dj1 ::: Djp IZ S , TAKIE, ^TOFORMULA (9.6) 1 (Dj1 ) ^ ::: ^ p (Djp ) IMEET WID (F ), GDE sLEDSTWIE. F { NEKOTORAQNEWYPOLNIMAQFORMULA lw, I fORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I TOLXKO { PODSTANOWKA LITERALOW IZ A(S ) WMESTO BULE- TOGDA, KOGDA snf S DLQ A UDOWLETWORQET USLOWI@, IZWYH PEREMENNYH, WHODQ]IH W F . LOVENNOMU W FORMULIROWKETEOREMY |RBRANA. dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO IZ NEWYPOLNIMOSTI S SLEDUET DANNOE USLOWIE, UDALIM IZ SEMANTI^ESKOGO 9.5 DEREWA T DLQ S WSE WER INY (IWHODQ]IE W NIH R = I DIZ_@NKT Dji IZ S , TAKIE, ^TO DLQ KAVDOGO LITERALA L IZ Dji > (9.7) i (L) PRINADLEVIT PUTI IZ KORNQ W n(Ii ) iSKOMAQ FORMULA (9.6) STROITSQ IZ \TIH DIZ_@NKTOW I OZNA^IWANIJ. dOKAVEM, ^TOONA NEWYPOLNIMA. eSLI BY ONA BYLA WYPOLNIMA, TO ONA BYLA BY ISTINNA W NEKOTOROJ|i I . pUTX (I ) WDEREWE T PROHODIT ^EREZ NEKOTORU@ WER INU ni IZ SPISKA (n1 ::: np), I, SLEDOWATELXNO, EGO U^ASTOKOTKORNQ DO ni SODERVIT WSE LITERALY WIDA i (L), GDE L 2 Dji . pO OPREDELENI@ PUTI (I ), KAVDYJ LITERAL, PRINADLEVA]IJ (I ), QWLQETSQ ISTINNYM W I , I, SLEDOWATELXNO, WSE LITERALY WIDA i (L), GDE L 2 Dji , LOVNY W I . pO\TOMU FORMULA i (Dji ) LOVNA W I , I, SLEDOWATELXNO, WSQ FORMULA (9.6) LOVNA W I . fORMULA F , UPOMQNUTAQW FORMULIROWKE TEOREMY, POLU^AETSQ IZ (9.6) ZAMENOJ KAVDOGO WHODQ]EGO W NE< LITERALA WIDA Ai IZ A(S ) NA SOOTWETSTWU@]U@ EMU BULEWU PEREMENNU@ pi .

9.4

tEOREMA |RBRANA

dLQ OBRATNOGODOKAZATELXSTWA (^TO IZ USLOWIQ W FORMULIROWKE TEOREMY SLEDUET NEWYPOLNIMOSTX S ) PREDPOLOVIM, ^TO S WYPOLNIMA. tOGDA ONA ISTINNA W NEKOTOROJ|i I . sLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOGO i =1 ::: p FORMULA 8XDji ISTINNA W I , PO\TOMU FORMULA i (Dji ) TOVE ISTINNA W I . tAKIM OBRAZOM, (9.6) ISTINNA W I . nO, POSKOLXKU (9.6) IMEET WID (F ), GDE F { NEWYPOLNIMAQ FORMULA lw, TOONA NEMOVET BYTX ISTINNOJ NI W KAKOJ INTERPRETACII.

zADA^I

0

0

0

0

0

0

45


lEKCIQ 10

mETOD REZOL@CIJ DLQ lp
10.1
kAK I W SLU^AE lw, METOD REZOL@CIJ DLQ lp PREDNAZNA^EN DLQ POISKA OTWETA NA WOPROS, QWLQETSQ LI ANALIZIRUEMAQFORMULA lp TAWTOLOGIEJ. pRIMENENIE METODA REZOL@CIJ K FORMULE A ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO A PRIWODITSQ K snf S , I SOSTAWLQETSQ NABOR DIZ_@NKTOW, KOTORYJ SNA^ALA SOSTOIT IZ WSEH DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W S , AZATEMKNEMU DOBAWLQ@TSQ REZOLXWENTY PROIZWOLXNYH PAR DIZ_@NKTOW, I SKLEJKI PROIZWOLXNYH DIZ_@NKTOW IZ TEKU]EGO NABORA. eSLI K TEKU]EMU NABORU W NEKOTORYJ MOMENT DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. dLQ OPREDELENIQ PONQTIQ REZOLXWENTY I SKLEJKI DIZ_@NKTOW MY WWED 10.1.1

oPISANIE METODA REZOL@CIJ

10.1.2

rASSMOTRIM SISTEMU FORMALXNYH RAWENSTW WIDA

sISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW

8 u =v <1 1 (10.2) : ::: = vm um GDE u1 v1 ::: um vm { WYRAVENIQ. pODSTANOWKA NAZYWAETSQ RE ENIEM SISTEMY (10.2),
ESLI DLQ KAVDOGO i =1 ::: m (ui )= (vi ). o^EWIDNO, ^TO PODSTANOWKA UDOWLETWORQET USLOWI@ (10.1) TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA ONA QWLQETSQ REENIEM SISTEMY, SOSTOQ]EJ IZ FORMALXNYH RAWENSTW WIDA e1 = ej , GDE i =1 ::: n I j =2 ::: k. tAKIM OBRAi i ZOM, ZADA^A NAHOVDENIQ UNIFIKATORA SWODITSQ K ZADA^E NAHOVDENIQ RE ENIQ SISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW. zAMETIM, ^TO ESLI QWLQETSQ RE ENIEM SISTEMY (10.2), TODLQ KAVDOJPODSTANOWKI PODSTANOWKA TOVE QWLQETSQ RE ENIEM SISTEMY (10.2). NAZYWAETSQ NAIBOLEE OB]IM RE ENIEM (nor) SISTEMY (10.2), ESLI KAVDOE RE ENIE DANNOJ SISTEMY IMEET WID , GDE { PROIZWOLXNAQPODSTANOWKA. mY BUDEM GOWORITX, ^TO SISTEMA (10.2) NAHODITSQ W NORMALXNOJFORME (nf), ESLI SPISOK u1 ::: um PREDSTAWLQET SOBOJ SPISOK x1 ::: xm RAZLI^NYH PEREMENNYH, KAVDAQ IZ KOTORYH NE WHODIT NI W ODNO IZ WYRAVENIJ v1 ::: vm . nETRUDNO DOKAZATX, ^TO W \TOM SLU^AE PODSTANOWKA def x1 := v1 ::: xm := vm ] QWLQ= ETSQ RE ENIEM SISTEMY (10.2). dOKAVEM, ^TODANNAQPODSTANOWKA QWLQETSQ norSISTEMY (10.2). pUSTX { RE ENIE SISTEMY (10.2), T.E. DLQ KAVDOGO i =1 ::: m (xi )= (vi ). dLQ KAVDOJ PEREMENNOJ xi , WHODQ]EJ W SPISOK (x1 ::: xm) IMEET MESTO RAWENSTWO (xi )= vi , PO\TOMU ( )(xi )= (xi ). dLQ KAVDOJPEREMENNOJ x, NE WHODQ]EJ W SPISOK (x1 ::: xm) IMEET MESTO RAWENSTWO (x)= x, PO\TOMU DLQ KAVDOJTAKOJPEREMENNOJ IMEET MESTO RAWENSTWO ( )(x)= (x). sLEDOWATELXNO, RAWENSTWO ( )(x)= (x) IMEET MESTO DLQ L@BOJ PEREMENNOJ x, T.E. PODSTANOWKI I SOWPADA@T. tAKIM OBRAZOM, QWLQETSQ nor SISTEMY (10.2).
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

pUSTX ZADANONEKOTOROE MNOVESTWO L LITERALOW. dLQ KAVDOJPODSTANOWKI SIMWOL (L) OBOZNA^AET MNOVESTWO LITERALOWWIDA (L), GDE L 2L. mNOVESTWO L NAZYWAETSQ UNIFICIRUEMYM, ESLI SU]ESTWUET PODSTANOWKA (NAZYWAEMAQ UNIFIKATOROM MNOVESTWA L), TAKAQ, ^TOMNOVESTWO (L) SOSTOIT IZ ODNOGO LITERALA. o^EWIDNO, ^TO L UNIFICIRUEMOTOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ: LIBO WSE LITERALY W L POLOVITELXNY, LIBO WSE ONI OTRICATELXNY PREDIKATY WO WSEHLITERALAH IZ L SOWPADA@T PUSTX MNOVESTWO SPISKOW WYRAVENIJ W LITERALAH IZ L IMEET WID
(e1 ::: e1 ) ::: (ek ::: ek ) 1 n 1 n TOGDA SU]ESTWUET PODSTANOWKA , TAKAQ, ^TO 8 (e1)= ::: = (ek ) <1 1 ::: (10.1) : (e1 )= ::: = (ek ) n n

pONQTIE UNIFIKATORA

46


nAHOVDENIE RE ENIQ SISTEMY (10.2) PROIZWODITSQ PUT
dOKAVEM, ^TO DANNYJ ALGORITM WSEGDA ZAWER AET sISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI MNOVESTWA IH RE ENIJ SOWPADA@T. SWO@ RABOTU. pREDPOLOVIM, ^TO ON DOPUSKAET BESKO-

NE^NOE WY^ISLENIE, I POSLEDOWATELXNOSTX SISTEM, POLU^A@]IHSQ NA KAVDOM AGE\TOGO WY^ISLENIQ, IMEET WID (Si j i 0). dLQ KAVDOGO i 0 PRI PEREHODE OT Si K Si+1 MOGUT PRIMENQTXSQ TOLXKO PRAWILA WIDA 1, 2, 3. kOLI^ESTWO PRIMENENIJ PRAWILA 3 W\TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NEMOVET BYTX BESKONE^NYM. dEJSTWITELXNO, KAVDOE PRIMENENIE PRAWILA 3 UWELI^IWAET KOLI^ESTWO RAWENSTW WIDA x = v (ILI v = x), GDE x { PEREMENNAQ, IME@]AQTOLXKOODNOWHOVDENIE W TEKU]U@ SISTEMU. rAWENSTWA TAKOGO WIDA NEMOGUT UDALITXSQ POSLEDU@]IMI PRIMENENIQMI PRAWIL WIDA 1 I 2, HOTQ MOGUT IZMENQTXSQ POSLEDU@]IMI PRIMENENIQMI PRAWIf (u1 ::: um )= f (v1 ::: vm ) LA 3. kOLI^ESTWO RAWENSTW TAKOGOWIDA NEMOVET BYTX BOLX E, ^EM KOLI^ESTWO RAZLI^NYH PEREMENNYH W ISTOONO ZAMENQETSQ NA SOWOKUPNOSTX RAWENSTW HODNOJSISTEME. u1 = v1 ::: um = vm tAKIM OBRAZOM, NA^INAQS NEKOTOROGOMOMENTA, PEREHODY OT Si K Si+1 PROISHODQT TOLXKOPO PRAWILAM 1 I 3. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA x = v (ILI 2, KOTORYE UMENX A@T KOLI^ESTWO SIMWOLOWW SISTEME, v = x), GDE x { PEREMENNAQ, NE WHODQ]AQ W v, NO IPO\TOMU TOVENEMOGUT PRIMENQTXSQ BESKONE^NO. WHODQ]AQ W KAKOE-LIBO DRUGOE RAWENSTWO, TO WO WSEH DRUGIH RAWENSTWAH x ZAMENQETSQ NA v. uNIFIKATOR DLQ MNOVESTWA LITERALOW L NAZYWAETSQ NAIBOLEE OB]IM (I OBOZNA^AETSQ ABBREWIATUROJ 4. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA x = v (ILI v = x), GDE x { PEREMENNAQ, WHODQ]AQW v, I x = v, nou), ESLI QWLQETSQ nor SISTEMY FORMALXNYH RA6 WENSTW, SOOTWETSTWU@]EJ USLOWI@ (10.1). TO ALGORITM ZAKAN^IWAETSQ NEUDA^EJ. 5. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO u = v, GDE LI- 10.1.3 pONQTIE REZOLXWENTY BO u I v { RAZLI^NYE KONSTANTY, LIBO ODNO IZ \TIH WYRAVENIJ IMEET WID f (u1 ::: um ) ADRUGOE pUSTX D1 D2 { PARA DIZ_@NKTOW, TAKAQ, ^TO - LIBO KONSTANTA, LIBO IMEET WID g(v1 ::: vk ), GDE FV (D1 ) \ FV (D2 )= , I f 6= g, TO ALGORITM ZAKAN^IWAETSQ NEUDA^EJ. D1 SODERVIT LITERAL L1 , D2 { LITERAL L2, PRIo^EWIDNO, ^TODEJSTWIQ 1,2,3 PREOBRAZU@T SISTEMU ^ 47


10.2

sWOJSTWO KORREKTNOSTI METODA REZOL@CIJ ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ESLI W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO ANALIZIRUEMAQ FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO SWOJSTWA PREDPOLOVIM, ^TO A { NE TAWTOLOGIQ, T.E. A WYPOLNIMA. sLEDOWATELXNO, snf S ISTINNA W NEKOTOROJ INTERPRETACII I , T.E. KAVDYJ DIZ_@NKT IZ S QWLQETSQ ISTINNYM W I . eSLI DIZ_@NKT D QWLQETSQ ISTINNYM W I , TO DLQ KAVDOJ PODSTANOWKI DIZ_@NKT (D) TOVE QWLQETSQ ISTINNYM W I , POTOMU ^TO DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : Y !DI (GDE Y { MNOVESTWO PEREMENNYH, SODERVA]EE WSE PEREMENNYE IZ D I ) IMEET MESTO RAWENSTWO ( (D)) = ( )(D)= 1, GDEOZNA^IWANIE : Y !DI SOPOSTAWLQET KAVDOJPEREMENNOJ y 2 Y ZNA^ENIE ( (y)). oTMETIM TAKVE, ^TOOPERACI@ ZAMENY PEREMENNYH, ISPOLXZUEMU@ PRI POSTROENII REZOLXWENTY (KOGDA D1 I D2 SODERVAT OB]IE PEREMENNYE) MOVNO RASSMATRIWATX KAK PRIMENENIE NEKOTOROJPODSTANOWKI K D2 . tAKIM OBRAZOM, REZOLXWENTY I SKLEJKI DIZ_@NKTOW, KOTORYE ISTINNY W I , TOVE QWLQ@TSQ ISTINNYMI W I . sLEDOWATELXNO, WSE DIZ_@NKTY, KOTORYE BYLI DOBAWLENY K ISHODNOMU NABORU, QWLQ@TSQ ISTINNYMI W I . pO PREDPOLOVENI@, WNEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT. pUSTOJ DIZ_@NKT MOVET BYTX POLU^EN TOLXKO KAK REZOLXWENTA PARY LITERALOW WIDA L1 L2, GDEMNOVESTWO fL1 L2g UNIFICIRUEMO. oBOZNA^IM EGOnou SIMWOLOM . eSLI LITERALY L1 I L2 ISTINNY W I , TO (L1 ) I (L2 ) TOVE ISTINNY W I . nO DANNYE LITERALY QWLQ@TSQ PROTIWOPOLOVNYMI, I, SLEDOWATELXNO, NE MOGUT BYTX ODNOWREMENNO ISTINNYMI W I . sLEDOWATELXNO, NA EPREDPOLOVENIE O TOM, ^TO A { NETAWTOLOGIQ, QWLQETSQ O IBO^NYM.

kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ

10.3

dOKAVEM, ^TOMETOD REZOL@CIJ OBLADAET SWOJSTWOM POLNOTY, KOTORAQ ZAKL@^AETSQWTOM, ^TO ESLI ANALIZIRUEMAQFORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO IZ NABORA DIZ_@NKTOW D1 ::: Dk , WHODQ]IH W snf S DLQ A, METODOM REZOL@CIJ MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. sOGLASNO SLEDSTWI@ IZ TEOREMY |RBRANA, SU]ESTWU@T PODSTANOWKI 1 ::: p : X ! H (S ), I SOOTWETSTWU@]IE IM DIZ_@NKTY Dj1 ::: Djp IZ S , TAKIE, ^TO FORMULA 1(Dj1 ) ^ ::: ^ p (Djp ) IMEET WID (F ), GDE F { NEWYPOLNIMAQFORMULA lw, I { PODSTANOWKA, ZAMENQ@]AQ KAVDU@ BULEWU PEREMENNU@ pi W F NA SOOTWETSTWU@]IJ EJ LITERAL Ai 2 A(S ). eSLI (F ) IMEET WID KON_@NKCII DIZ_@NKTOW, TO, ZNA^IT, FORMULA F IMEET WID knf, IPOSKOLXKUONA NEWYPOLNIMA, TO, POTEOREMEO POLNOTEMETODA REZOL@CIJ DLQ lw, IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W F , MOVNO WYWESTI

pOLNOTA METODA REZOL@CIJ

PUSTOJ DIZ_@NKT, T.E. SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX DIZ_@NKTOW, KAVDYJ IZ KOTORYH LIBO QWLQETSQ DIZ_@NKTOM, WHODQ]IM W F , LIBO QWLQETSQ REZOLXWENTOJ DWUH DIZ_@NKTOW, RASPOLOVENNYH LEWEE W \TOJPOSLEDOWATELXNOSTI IPOSLEDNIJ DIZ_@NKT W NEJ QWLQETSQ PUSTYM. nETRUDNOWIDETX, ^TO, ZAMENIW W \TOJPOSLEDOWATELXNOSTI KAVDU@ BULEWU PEREMENNU@ pi NA SOOTWETSTWU@]U@ EJ ATOMARNU@ FORMULU Ai 2 A(S ), MY POLU^IM WYWOD PUSTOGO DIZ_@NKTA IZ NABORA 1 (Dj1 ) ::: p(Djp ). |TOT WYWOD MOVNO \PODNQTX" DO WYWODA PUSTOGO DIZ_@NKTA IZ NABORA DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W S . |TO WOZMOVNOBLAGODARQ LEMMEO POD_ 0 0 0 0 0 0 00 00 00 0 00 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10.4

rE ITX METODOM REZOL@CIJ WSE ZADA^I IZ GLAWY 8, W KOTORYH TRE BUETSQ PROWERITX, QWLQETSQ LI NEKOTORAQ FORMULA lp TAWTOLOGIEJ ILI WYPOLNIMOJFORMULOJ.

zADA^I

48


L1
0

D

1

L1
1
0

L

D
2 2
0

2

L2
0

1

0

(L1)
0

1

? SS w S
1

s s

1

00

? SS S'S D w S2/ ? SS SS w/ S2?
0

'

s s
0

?

2

0

(L2 )
0

?

2

00

/
2

2

?

1

(L1)
0

(D1 ) L
1

SS w S

? L

(D2 )
2

2

(L2 )
0

?

/

D

0

49


lEKCIQ 11

sEMANTI^ESKIJ WYWOD
11.1
11.1.1

sEMANTI^ESKIJ WYWODWlw
sEMANTI^ESKIE TABLICY

11.1.2

wSE FORMULY W \TOM PUNKTE QWLQ@TSQ FORMULAMI lw. sEMANTI^ESKOJ TABLICEJ (st) NAZYWAETSQ PARA (; j ), GDE ; I { NEKOTORYE MNOVESTWA FORMUL. st (; j ) PROTIWORE^IWA, ESLI ; \ = . 6 st (; j ) WYPOLNIMA, ESLI DLQ NEKOTOROJOCENKI PEREMENNYH IZ ; I 8A 2 ; (A)=1 8B 2 (B )= 0 (11.1) pRAWILA WYWODA st POZWOLQ@T POLU^ATX IZ ODNIH st DRUGIE st, IIME@T SLEDU@]IJ WID: (A ^ B ; j ) (; j A ^ B ) (A B ; j ) (; j A ) (; j B ) (; j A _ B ) (A _ B ; j ) (; j A B ) (A ; j ) (B ; j ) (A ! B ; j ) (; j A ! B ) (A ; j B ) (; j A ) (B ; j )
(A ; j ) (; j A ) (; j A ) (A ; j ) GDE A B { FORMULY,; { MNOVESTWA FORMUL, I DLQ KAVDOGO MNOVESTWA FORMUL M I KAVDOJ FORMULY ZNAKOSO^ETANIE M OBOZNA^AET MNOVESTWO f g M . w KAVDOM PRAWILE NAD ^ERTOJ IZOBRAVENA ISHODNAQst, A PODNEJ - ODNA ILI DWE st, KOTORYE WYWODQTSQ IZ ISHODNOJ. kAVDOE PRAWILO WYWODA ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TOW ISHODNOJ st WYDELQETSQ NEATOMARNAQ FORMULA, KOTORAQ ZAMENQETSQ NA ODNU ILI DWE PODFORMULY \TOJFORMULY. pRO WYDELENNU@ FORMULU MY BUDEM GOWORITX, ^TOONA RASKRYWAETSQ W\TOM PRAWILE WYWODA. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE IZ PRAWIL WYWODA OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM:

ISHODNAQst , HOTQ BYODNA IZ WYWEDENNYH WYPOLNIMA IZ NE< st WYPOLNIMA

oTMETIM, ^TO ESLI st PROTIWORE^IWA, TO ONA NE MOVET BYTX WYPOLNIMOJ.

(11.2)

dEREWO SEMANTI^ESKOGOWYWODA (dsw) DLQ { \TODEREWO D, WER INAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ st, I 1. KORNEWAQ WER INA IMEET WID ( j ), 2. KAVDAQTERMINALXNAQ WER INA PROTIWORE^IWA, I 3. S KAVDOJ NETERMINALXNOJ WER INOJ N SWQZANO NEKOTOROE PRAWILOWYWODA, ISHODNOJstKOTOROGO QWLQETSQ N , IKONCAMI R
pUSTX { NEKOTORAQFORMULA.

dEREWO SEMANTI^ESKOGOWYWODA

50


dOKAVEM, ^TO D NEMOVET BYTX BESKONE^NYM. pREDPOLOVIM, ^TO D BESKONE^NO. tOGDA, PO LEMME k 51

11.2

sEMANTI^ESKIJ WYWODWlp


lEKCIQ 12

tEOREMA g 12.1
sOGLASNO OB]EPRINQTOMU MNENI@, NAIBOLEE PRAWILXNYJ SPOSOB ORGANIZACII NAU^NYH ZNANIJ ZAKL@^AETSQ WPREDSTAWLENII IH W WIDELOGI^ESKIH SLEDSTWIJ, WYWEDENNYH NA OSNOWE FORMALXNYH PRAWIL WYWODA IZ NEKOTORYH ISHODNYH UTWERVDENIJ, ISTINNOSTX KOTORYH NE PODWERGAETSQ SOMNENI@. dANNYJ SPOSOB ORGANIZACII ZNANIJ NAIBOLEE PREDPO^TITELEN POSLEDU@]IM PRI^INAM. 1. nALI^IE U NEKOTOROJ SOWOKUPNOSTI ZNANIJ HOROEJ LOGI^ESKOJ STRUKTURY SU]ESTWENNOUPRO]AET OWLADENIE \TIMI ZNANIQMI. 2. fORMALIZACIQ ZNANIJ OBLEG^AET IH OBRABOTKU I SU]ESTWENNO POWY AET E< OB_EKTIWNOSTX I NAD
aKSIOMATI^ESKIJ METOD

nAIBOLEE PLODOTWORNYE REZULXTATY REALIZACIQ DANNOJ TO^KI ZRENIQ PRINESLA W MATEMATIKE, W KOTOROJ UDALOSX PREDSTAWITX WSE USTANOWLENNYE MATEMATI^ESKIE UTWERVDENIQ W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ NEKOTOROGO NE BOLX OGO ^ISLA ISHODNYH PROSTYH UTWERVDENIJ, NAZYWAEMYH AKSIOMAMI. mETODORGANIZACII MATEMATI^ESKIH ZNANIJ W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ IZ AKSIOM POLU^IL NAZWANIE AKSIOMATI^ESKOGOMETODA. aKSIOMATI^ESKIJ METOD STAL ISTO^NIKOM BURNOGO RAZWITIQ WSEH OBLASTEJ MATEMATIKI, I OBOGATIL IH GLUBOKIMI I PLODOTWORNYMI REZULXTATAMI. nAIBOLEE QRKO \TO PROQWILOSX W ABSTRAKTNOJ ALGEBRE, KOTORAQ, BLAGODARQ ISPOLXZOWANI@ W NEJ AKSIOMATI^ESKOGOMETODA, ZANQLA CENTRALXNOE POLOVENIE W MATEMATIKE. nEKOTOROE WREMQ SU]ESTWOWALO UBEVDENIE, ^TO NA BAZE AKSIOMATI^ESKOGO METODA MOVNO POSTROITX WS@ MATEMATIKU, TO ESTX WS@ SOWOKUPNOSTX ISTINNYH MATEMATI^ESKIH UTWERVDENIJ MOVNOPREDSTAWITX W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ NEKOTORYH AKSIOM, ^TOPOZWOLIT SWESTI ZADA^U POLU^ENIQ NOWYH MATEMATI^ESKIH ZNANIJ K WYPOLNENI@ FORMALXNYH OPERACIJ NAD SIMWOLXNYMI STROKAMI PO ZARANEE ZADANNYM PRAWILAM. oDNAKO, KAK BYLO USTANOWLENO W 1932 GODU g
52


12.2
12.2.1

sTROKI I FUNKCII NA NIH
sIMWOLXNYE STROKI

wSE OB_EKTY, RASSMATRIWAEMYE W MATEMATIKE, MOVNO IZOBRAZITX SIMWOLXNYMI STROKAMI (KOTORYEMYNIVE BUDEM NAZYWATX PROSTO STROKAMI), IOPERACII NA OB_EKTAH MOVNO PREDSTAWITX W WIDE FUNKCIJ NA STROKAH, IZOBRAVA@]IH \TI OB_EKTY. sOWOKUPNOSTX WSEH STROK OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM S. kAVDAQ STROKA PREDSTAWLQET SOBOJPOSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOWNEKOTOROGOKONE^NOGOALFAWITA, SODERVA]EGO BUKWY, CIFRY, SKOBKI, IT.D. sU]ESTWUET PUSTAQSTROKA, ONA NESODERVIT NI ODNOGO SIMWOLA, I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM ". eSLI STROKA u PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW a1 ::: an , TOMY BUDEM ZAPISYWATX \TOT FAKT ZNAKOSO^ETANIEM u = "a1 ::: an". fUNKCII NA STROKAH MY BUDEM IZOBRAVATX W WIDE FUNKCIONALXNYH PROGRAMM. fUNKCIONALXNYE PROGRAMMY POZWOLQ@T OPREDELQTX NOWYE FUNKCII NA STROKAH PRI POMO]I BAZOWYH FUNKCIJ I FUNKCIJ, UVEOPREDEL 12.2.2

pRI POSTROENII FUNKCIONALXNYH PROGRAMM MY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE FUNKCII NA STROKAH (NAZYWAEMYE BAZOWYMI FUNKCIQMI). 1. if then else : S3 ! S |TA FUNKCIQ IMEET 3 ARGUMENTA, ISOPOSTAWLQET KAVDOJTROJKE (u v w) 2 S3 STROKU v, ESLI u = "1" STROKU w, W PROTIWNOM SLU^AE. dLQ KAVDOJ TROJKI (u v w) 2 S3 ZNAKOSO^ETANIE if then else(u v w) BUDET SOKRA]
4. conc : S2 ! S

fUNKCIONALXNAQ PROGRAMMA (fp) PREDSTAWLQET SO
8 f (x ::: x )= F < 1 11 1k 1 ::: : fn(xn1 ::: xnkn )= Fn
1

12.2.3

fUNKCIONALXNYE PROGRAMMY

BOJOPREDELENIE NEKOTOROGOMNOVESTWA f1 ::: fn NOWYH FUNKCIJ NA STROKAH, IIMEET WID SISTEMY URAWNENIJ

-

(12.1)

GDE

f1 ::: fn { FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IMENAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ, xij { PEREMENNYE, QWLQ@]IESQ FORMALXNYMI PARAMETRAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ, I

53


xi1 := u1 ::: xiki := uki ]F wY^ISLENIE ZNA^ENIQ WYRAVENIQ (12.2) SLEDU@]EJ SHEME:

NAMI BAZOWYH ILI UVEPOSTROENNYH FUNKCIJ { FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IMENAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ (f1 ::: fn) mY PREDPOLAGAEM, ^TO WSE WYRAVENIQ W FUNKCIONALXNYH PROGRAMMAH IME@T ODIN I TOT VETIP, ZNA^ENIQMI KOTOROGO QWLQ@TSQ STROKI. kAVDOMU FUNKCIONALXNOMU SIMWOLU f SOPOSTAWLENO ^ISLO ar(f ), RAWNOE KOLI^ESTWU ARGUMENTOWU f . fUNKCII, OPREDELQEMYE FUNKCIONALXNYMI PROGRAMMAMI, WY^ISLQ@TSQ STANDARTNOJREKURSIEJ: ESLI TREBUETSQ WY^ISLITX ZNA^ENIE FUNKCII fi , KOTORAQOPREDELQETSQ SISTEMOJ URAWNENIJ (12.1), NA SPISKE ARGUMENTOW (u1 ::: uki ), TO DLQ \TOGO WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE WYRAVENIQ

F1 ::: Fn { WYRAVENIQ, OBLADA@]IE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: DLQ KAVDOGO i =1 ::: n WYRAVENIE Fi SODERVIT { PEREMENNYE xi1 ::: xiki , { KONSTANTY (IMI MOGUT BYTX L@BYE STROKI) { FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IME-

ESLI DANNOE WYRAVENIE IMEET WID
f (e1 ::: en)

( ) con(IMQ) fun(IMQ) rel(IMQ) GDE IMQ { L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW, NE SODERVA]AQ KRUGLYH SKOBOK, PRI^
12.2.4

sTROKOWOE PREDSTAWLENIE FORMUL

GDE f { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, QWLQ@]IJSQ IMENEM NEKOTOROJ BAZOWOJ ILI UVEPOSTROENNOJ FUNK- 12.2.5 nEKOTORYE fp CII, ISPOLXZUEMOJ W SISTEME (12.1), TO WY^ISLQ- ~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX fp @TSQ ZNA^ENIQ WYRAVENIJ e1 ::: en, POSLE ^EGO WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE FUNKCII f NA SPISKE ZNA- Check var Check con Check fun Check rel Check expr Check fm ^ENIJ e1 ::: en OPREDELQ@]IE FUNKCII S ODNIM ARGUMENTOM, KOTORYE ESLI DANNOE WYRAVENIE IMEET WID WYDA@T W KA^ESTWE ZNA^ENIQ fj (e1 ::: en ) "1", ESLI IH ARGUMENT QWLQETSQ SOOTWETSTWENNO GDE fj { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, QWLQ@]IJSQ IMEPEREMENNOJ, KONSTANTOJ, FUNKCIONALXNYM SIMWONEM ODNOJ IZ OPREDELQEMYH FUNKCIJ W SISTEME LOM, PREDIKATOM, WYRAVENIEM, FORMULOJ (12.1), TO EGO ZNA^ENIE RAWNO ZNA^ENI@ WYRAVE"0", WPROTIWNOMSLU^AE. NIQ KOTOROE WY^ISLQETSQ POTOJVESHEME, POKOTOROJ WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE WYRAVENIQ (12.2). pRIWED (x)= (x = ")? " : reverse(x ) x ^ 2. sORTIROWKA WSTAWKOJ: 8 sort(x)= (x = ")? " : insert(^ sort(x )) x < insert(a y)=(y = ")? " : : ;(a< y)? a y :^ insert(a y ) ^ y
reverse
0 0 0

nIVE MY BUDEM OTOVDESTWLQTX KAVDU@ FORMULU S E< STROKOWYM PREDSTAWLENIEM.

xj 1 := e1 ::: xjkj := ekj ]Fj

(12.3)

"an ::: a1 "):

nIVE WSE RASSMATRIWAEMYE FORMULY BUDUT INTERPRETIROWATXSQ TOLXKOW ODNOJINTERPRETACII (NAZYWAEMOJ STROKOWOJINTERPRETACIEJ), OBLASTX@ KOTOROJQWLQETSQ MNOVESTWO S WSEHSTROK, I KAVDAQKONSTANTA (KOTOROJMOVET BYTX L@BAQ STROKA) INTERPRETIRUETSQ RAWNOJ EJ STROKOJ KAVDYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, SOOTWETSTWU@]IJ NEKOTOROJ BAZOWOJ FUNKCII, ILI FUNKCII, OPREDELQEMOJ PRI POMO]I fp, INTERPRETIRUETSQ TOJ FUNKCIEJ, KOTOROJON SOOTWETSTWUET, PREDIKAT \=" INTERPRETIRUETSQ OTNO ENIEM idS

12.2.6

sTROKOWAQ INTERPRETACIQ

54


nIVEPOD FORMULAMI PONIMA@TSQ FORMULY lp, WKOTORYH WSE PEREMENNYE I KONSTANTY IME@T ODIN I TOT VE TIP, I ZNA^ENIQMI \TOGO TIPA QWLQ@TSQ STROKI. pRI ZAPISI FORMUL MY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE SOGLA ENIE. eSLI NEKOTORAQ FORMULA A IMEET TOLXKOODNU SWOBODNU@ PEREMENNU@ x, TO\TOT FAKT MOVET WYRAVATXSQ DOBAWLENIEM SPRAWA K A ZNAKOSO^ETANIQ (x), I, KROMETOGO, W\TOM SLU^AE DLQ KAVDOGOWYRAVENIQ e, WKOTOROE NEWHODQT PEREMENNYE, OTLI^NYE OT x, ZNAKOSO^ETANIE A(e) OBOZNA^AET FORMULU x := e]A.
12.3.1

12.3

fORMALXNYE SISTEMY

fORMALXNAQSISTEMA SOSTOIT IZ AKSIOM I PRAWIL WY
WODA.

pONQTIE FORMALXNOJ SISTEMY

-

aKSIOMY

aKSIOMY - \TOFORMULY SLEDU@]IH WIDOW: 1. LOGI^ESKIE AKSIOMY: A ! (B ! A) (A ! B ) ! ((A ! (B ! C )) ! (A ! C )) (A ^ B ) ! A (A ^ B ) ! B (A ! B ) ! ((A ! C ) ! (A ! (B ^ C ))) A ! (A _ B ) B ! (A _ B ) (A ! C ) ! ((B ! C ) ! ((A _ B ) ! C )) (A ! B ) ! ((A ! B ) ! A) A!A 8xA(x) ! A(e) A(e) !9xA(x) 8x(B ! A) ! (B !8xA) 8x(A ! B ) ! (9xA ! B ) GDE A B C { PROIZWOLXNYE FORMULY, PRI^ x=x (x = y) ! (y = x) (x = y) ! ((y = z ) ! (x = z )) 3. AKSIOMY INDUKCII: A(0) 8x (A(x ) ! A(x)) !8xA(x) GDE A { PROIZWOLXNAQFORMULA S ODNOJ SWOBODNOJ PEREMENNOJ x
0

4. AKSIOMY DLQ BAZOWYH FUNKCIJ NA STROKAH ("1" ? x : y)= x ("0" ? x : y)= y (x = y) $ (x z = y z ) (x = y ) $ (z x = z y ) (x y = ") ! (x = ") ^ (y = ") (^ = ") ! (x = ") x x =^ x x (^) = " x (x y) z = x (y z ) " x=x x "=x 5. WSE URAWNENIQ, WHODQ]IE WO WSE fp 6. DRUGIE AKSIOMY, ZADAWAEMYE KAK MNOVESTWO ZNA^ENIJ NEKOTOROJFUNKCII f , OPREDELQEMOJ PRI POMO]I fp: DLQ KAVDOGOZNA^ENIQ ARGUMENTA u STROKA f (u) QWLQETSQ AKSIOMOJ, PRI^ 0 0

AKSIOMY IZ ESTOJ GRUPPY TOVE ISTINNY W STROKOWOJ INTERPRETACII.

pRAWILA WYWODA pRAWILA WYWODA POZWOLQ@T POLU^ATX IZ ODNIH FOR
1. modus ponens 2. generalization 3. 4. A A!B B

MUL DRUGIE FORMULY, IIME@T SLEDU@]IJ WID: (W DANNYH PRAWILAH SIMWOLY A B OBOZNA^A@T FORMULY, A SIMWOLY e e1 e2 { WYRAVENIQ)

-

8xA
e1 = e2 x := e1 ]e = x := e2 ]e e1 = e2 x := e1 ]A $ x := e2 ]A (12.4)

A

GDE e1 I e2 NE SODERVAT PEREMENNYH, IME@]IH SWQZANNYE WHOVDENIQ W A w KAVDOM PRAWILE WYWODA NAD ^ERTOJ IZOBRAVENY ODNA ILI DWE FORMULY (NAZYWAEMYE POSYLKAMI), IZ KOTORYH WYWODITSQ FORMULA, RASPOLOVENNAQ POD ^ERTOJ (NAZYWAEMAQ ZAKL@^ENIEM). nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE IZ PRAWIL WYWODA OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: ESLI POSYLKI \TOGO PRAWILA WYWODA ISTINNY W STROKOWOJINTERPRETACII, TO ZAKL@^ENIE \TOGO PRAWILA TOVE ISTINNO W STROKOWOJ INTERPRETACII

55


pONQTIE DOKAZATELXSTWA

pUSTX A { NEKOTORAQFORMULA. dOKAZATELXSTWOM FORMULY A NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX FORMUL OBLADA@]AQSLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
A1 ::: An

~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX fp, KOTORAQ OPREDELQET FUNKCI@ Proof S TREMQ ARCheck_axiom, OPREDELQ@]U@ FUNKCI@ S ODNIM AR- GUMENTAMI: GUMENTOM u, KOTORAQ WYDA 56

1. An = A 2. DLQ KAVDOGO i =1 ::: n FORMULA Ai { LIBO AKSIOMA, LIBO QWLQETSQ ZAKL@^ENIEM NEKOTOROGOPRAWILA WYWODA, POSYLKI KOTOROGOSODERVATSQ W MNOVESTWE fA1 ::: Ai 1g. fORMULA NAZYWAETSQ DOKAZUEMOJ, ESLI SU]ESTWUET DOKAZATELXSTWO \TOJFORMULY. iZ WY ESKAZANNOGOSLEDUf (u1 ::: un)= v (12.6) ET, ^TO WSE DOKAZUEMYE FORMULY ISTINNY W STROKOWOJ TOFORMULA (12.6) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ. INTERPRETACII. o^EWIDN , ^TO EDURA POSTROENIQ DOKAZATELXSTkAVDOE DOKAZATELXSTWO MOVNO IZOBRAZITX W WIDE WA FORMULYO(12.6) PROCET PROIZWODITXSQ POODNOJI TOJ MOV STROKI, ISPOLXZUQ SPECIALXNYJ SIMWOL (NAPRIMER,\ ") VESHEME, NEZAWISIMO OT WIDA fp, OPREDELQ@]EJ FUNKDLQ RAZDELENIQ WHODQ]IH W NEGOFORMUL. ~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX CI@ f IZNA^ENIJ u1 ::: un v.
; ;

eSLI WY EUPOMQNUTAQPOSLEDOWATELXNOSTX e1 ::: KONE^NA I IMEET WID e1 ::: ek , GDE ek { WYRAVENIE, NE SODERVA]EE FUNKCIONALXNYH SIMWOLOW (T.E. KONSTANTA), TO, SOGLASNO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ FUNKCII, WY^ISLQEMOJ FUNKCIONALXNOJ PROGRAMMOJ, DANNAQ KONSTANTA QWLQETSQ ZNA^ENIEM WYRAVENIQ (12.5). pOSKOLXKU DLQ KAVDOGO URAWNENIQ t = s W KAVDOJ fp FORMULA t = s QWLQETSQ AKSIOMOJ, TO, SLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOJ PODSTANOWKI FORMULA (s) = (s) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ, PO\TOMU DOKAZUEMYMI QWLQ@TSQ RAWENSTWA e1 = e2 , e2 = e3 : : : ek 1 = ek , OTKUDA, WWIDU NALI^IQ AKSIOMY TRANZITIWNOSTI RAWENSTWA, POLU^AEM, ^TORAWENSTWO e1 = ek QWLQETSQ DOKAZUEMYM. tAKIM OBRAZOM, ESLI DLQ STROK u1 ::: un v IMEET MESTO RAWENSTWO


12.4

dLQ L@BOGO WYRAVENIQ A ZNAKOSO^ETANIE 2A QWLQETSQ SOKRA]
oPERATORDOKAZUEMOSTI

eSLI FORMULA A DOKAZUEMA, TO SU]ESTWUET STROKA u, TAKAQ, ^TOFORMULA 2uA QWLQETSQ ISTINNOJ. pOSKOLXKU KAVDAQ ISTINNAQFORMULA WIDA (12.6) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ, TOFORMULA 2u A DOKAZUEMA. iZ DANNOJFORMULY IAKSIOMY 2u A !9x2x A PO PRAWILU modus ponens POLU^AEM FORMULU 9x2xA, KOTORAQRAWNA 2A. MULA

lEMMA 1. eSLI DOKAZUEMA FORMULA A, TODOKAZUEMA dOKAZATELXSTWO.

lEMMA 2. dLQ L@BYH FORMUL A I B DOKAZUEMA FOR-

2A ! (2(A ! B ) ! 2B ) (12.9) dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ AKSIOMY (12.7) I 2x y B B ! 9z 2z B , A TAKVENEKOTORYE TAWTOLOGII I PRAWILO modus ponens, NETRUDNO WYWESTI FORMULU 2x A ! (2y (A ! B ) ! 2B ) IZ KOTOROJ, S ISPOLXZOWANIEM PRAWIL generalization I modus ponens, ATAKVEAKSIOM 8z (C ! D) ! (C !8zD) 8z (D ! C ) ! (9zD ! C ) (GDE z NE WHODIT SWOBODNO W C ), I NEKOTORYH TAWTOLOGIJ, NETRUDNO WYWESTI ISKOMU@ FORMULU.

~ASTNYM SLU^AEM AKSIOM WIDA A(e) !9zA(z ) QWLQETSQ FORMULA 2Proof(2x A) 2x A ! 22x A (12.12) iZ DOKAZUEMOSTI FORMUL (12.11) I (12.12) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 2x A ! 22x A (12.13) ~ASTNYM SLU^AEM AKSIOM WIDA A(e) !9zA(z ) QWLQETSQ FORMULA 2x A ! 2A (12.14) pO LEMME 3, IZ DOKAZUEMOSTI (12.14) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 22x A ! 22A (12.15) iZ DOKAZUEMOSTI FORMUL (12.13) I (12.15) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 2x A ! 22A (12.16) pRIMENQQ K (12.16) PRAWILO generalization, I, ZATEM, PRIMENQQ K POLU^IW EJSQ FORMULEIAKSIOME WIDA 8x(C ! D) ! (9xC ! D) (GDE x 62 D) PRAWILO modus ponens, POLU^AEM FORMULU 2A ! 22A.

12.5

lEMMA O NEPODWIVNOJTO^KE UTWERVDAET, ^TODLQ

lEMMA O NEPODWIVNOJTO^ KE

-

pO LEMME 1, IZ DOKAZUEMOSTI A ! B SLEDUET DOKAZUEMOSTX 2(A ! B ), OTKUDA NA OSNOWANII DOKAZUEMOSTI FORMULY (12.9), KOTORAQ \KWIWALENTNA FORMULE 2(A ! B ) ! (2A ! 2B ) (12.10) PO PRAWILU modus ponens POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU 2A ! 2B .

ELXSTWO. lEMMA 3. eSLI DOKAZUEMA FORMULA A ! B, TODO- dOKAZATEM PREDPOLAGATX, ^TO WSE WHOVDENIQ x W A mY MOV KAZUEMA FORMULA 2A ! 2B . QWLQ@TSQ SWOBODNYMI. dOKAZATELXSTWO. pUSTX Subst { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, KOTOROMU
SOOTWETSTWUET FUNKCIQ
Subst

KAVDOJFORMULY A SODNOJSWOBODNOJPEREMENNOJ x SU]ESTWUET ZAMKNUTAQFORMULA ', TAKAQ, ^TODOKAZUEMA FORMULA (12.17) ' $ x := ']A

(u v)= x := v]u oBOZNA^IM SIMWOLOM B FORMULU x := Subst(x x)]A. iSKOMAQFORMULA ' IMEET WID x := B ]B . pOSKOLXKUEDINSTWENNOJSWOBODNOJPEREMENNOJW B BYLA x, WSE WHOVDENIQ KOTOROJZAMENILISX NA STROKU, RAWNU@ FORE B , TO ' ES ERVIT PEREM lEMMA 4. dLQ L@BOJFORMULY A DOKAZUEMA FORMU- MULsOGLASNO NPREODDELENI@ SWOBODNYH Subst,ENNYH. O FUNKCII DOKAZUEMA LA FORMULA Subst(B B )= x := B ]B , T.E. DOKAZUEMA FOR2A ! 22A MULA Subst(B B ) = '. pO PRAWILU WYWODA (12.4), POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY dOKAZATELXSTWO. kAKSIOMAM WIDA (12.8) OTNOSITSQ FORMULA x := Subst(B B )]A $ x := ']A 2x A ! 2Proof(2xA) 2xA (12.11) lEWAQ ^ASTX W POSLEDNEJ FORMULESOWPADAET S '. tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTOVELAEMOE SOOTNO ENIE (12.17). 57


12.6

pUSTX FORMULA A(x) IMEET WID 2x0. pUSTX FORMULA A IMEET WID 2x. pO LEMMEO NEPODWIViMEEM: DLQ KAVDOJSTROKI u FORMULA A(u) DOKAZUNOJ TO^KE, SU]ESTWUET ZAMKNUTAQ FORMULA ', TAKAQ, EMA, NOFORMULA 8xA(x) NEDOKAZUEMA, TAK KAK ONA SOW^TODOKAZUEMA FORMULA PADAET S C onsis. ' $ x := ']2x T.E. DOKAZUEMA FORMULA (12.18) ' $ 2' oBOZNA^IM ZNAKOSO^ETANIEM C onsis FORMULU 20, GDE 0 { WSEGDA LOVNAQFORMULA (OTRICANIE TAWTOLOGII). dOKAVEM, ^TO ESLI NA A FORMALXNAQ SISTEMA NEPROTIWORE^IWA, TO OBE FORMULY ' I ' NEDOKAZUEMY. 1. eSLI DOKAZUEMA ', TO PO LEMME 1 DOKAZUEMA 2', ^TO, W SO^ETANII S (12.18), PRIWODIT K DOKAZUEMOSTI ', ^TONEWOZMOVNO, ESLI NA A FORMALXNAQ SISTEMA NEPROTIWORE^IWA. 2. eSLI DOKAZUEMA ', TOIZ (12.18) SLEDUET, ^TODOKAZUEMA 2', T.E. DOKAZUEMA FORMULA 9x 2x '. pOSKOLXKUKAVDAQDOKAZUEMAQFORMULA QWLQETSQ ISTINNOJ W STROKOWOJINTERPRETACII, TO, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET STROKA u, UDOWLETWORQ@]AQ SOOTNO ENI@ 2u ', T.E. SU]ESTWUET STROKA u, QWLQ@]AQSQ DOKAZATELXSTWOM ', T.E. DOKAZUEMA FORMULA ', ^TO NEWOZMOVNO, ESLI NA A FORMALXNAQ SISTEMA NEPROTIWORE^IWA. dOKAVEM, ^TODOKAZUEMA \KWIWALENCIQ ' $ C onsis (IZ ^EGOSLEDUET, ^TOFORMULA C onsis NEDOKAZUEMA). 1. fORMULA 0 ! ' QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, T.E. ONA DOKAZUEMA, PO\TOMU, PO LEMME 3, DOKAZUEMA FORMULA 20 ! 2'. sLEDOWATELXNO, DOKAZUEMA FORMULA 2' ! 20. iSPOLXZUQ (12.18), POLU^AEM DOKAZUEMOSTX ' ! 20. 2. dOKAVEM DOKAZUEMOSTX OBRATNOJ IMPLIKACII, T.E. FORMULY 20 ! '. dLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX DOKAZUEMOSTX FORMULY ' ! 20, ^TO, WWIDU (12.18), \KWIWALENTNO DOKAZUEMOSTI FORMULY 2' ! 20. fORMULA ' ! (' ! 0) QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, T.E. ONA DOKAZUEMA, PO\TOMU, PRIMENQQ DWA RAZA LEMMU 3 I PRAWILO modus ponens, POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY 2' ! (2' ! 20) (12.19) iZ (12.18) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 2' ! ', OTKUDA, POLEMME 3, SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 22' ! 2'. pO LEMME 4 POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY (12.20) 2' ! 2' iZ (12.19) I (12.20), ISPOLXZUQ SAMU@ PERWU@ AKSIOMU I PRAWILO modus ponens, NETRUDNO WYWESTI DOKAZUEMOSTX FORMULY 2' ! 20.
58

tEOREMA g
zAME^ANIE.


lEKCIQ 13

mODALXNAQ LOGIKA
13.1
LOGI^ESKIH SISTEM, PREDNAZNA^ENNYH DLQ FORMALIZACII cUVDENIJ, W KOTORYH PRISUTSTWU@T KOLI^ESTWENNYE ILI KA^ESTWENNYE PARAMETRY, WYRAVA@]IE NEKOTORU@ OCENKU SUVDENIJ. w KA^ESTWE TAKIH OCENOK MOGUT WYSTUPATX, NAPRIMER, MERA PRAWDOPODOBIQ SUVDENIQ WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SUVDENIE ISTINNO STOIMOSTX OBOSNOWANIQ DANNOGOSUVDENIQ OTNO ENIE GOWORQ]EGO K SUVDENI@ (NAPRIMER MERA EGO UWERENNOSTI W ISTINNOSTI SUVDENIQ) MERA POLEZNOSTI FAKTA, WYRAVAEMOGOSUVDENIEM, DLQ DOSTIVENIQ ZADANNOJCELI MERA U]ERBA, MOGU]EGO WOZNIKNUTX IZ-ZA TOGO, ^TO DANNOE SUVDENIE NEBUDET WSEGDA ISTINNYM MERA DOWERIQ K FAKTU, WYRAVAEMOMU SUVDENIEM, ILI K LICU, WYSKAZAW EMU SUVDENIE KONTEKST (ILI SITUACIQ), WKOTOROM WYSKAZANOSUVDENIE mY RASSMOTRIM PROSTEJ IJ WID SUVDENIJ TAKOGO WIDA, W KOTORYH MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY ODNOARGUMENTNYE OPERATORY 2 I 3, NAZYWAEMYE MODALXNYMI OPERATORAMI. |TI OPERATORY MOGUT BYTX INTERPRETIROWANY KAK SAMYE RAZNOOBRAZNYE HARAKTERISTIKI UTWERVDENIJ, PEREDKOTORYMI ONI STOQT, NAPRIMER: DOKAZUEMO , NEOBHODIMO , WOZMOVNO , OB]EPRINQTO , VELATELXNO , SKOREE WSEGO , TRE BUETSQ , DOLVNO BYTX , MALOWEROQTNO , PRAWDOPODOBNO , SOMNITELXNO , PREDPOLOVITELXNO , INTERESNO , AKTUALXNO , IZWESTNO , CELESOOBRAZNO , IT.D. mODALXNYE OPERATORY MOGUT BYTX SNABVENY INDEKSAMI (T.E. IMETX WID 2a I 3a , GDE a { NEKOTORYJ KOLI^ESTWENNYJ ILI KA^ESTWENNYJ PARAMETR, WYRAVA@]IJ, NAPRIMER, SILU MODALXNOGOOPERATORA), NO W DANNOJ GLAWE MY RASSMATRIWAEM TOLXKOMODALXNYE OPERATORY BEZ INDEKSOW.

mODALXNAQLOGIKA QWLQETSQ OSNOWOJ DLQ POSTROENIQ

pONQTIE O MODALXNOJLOGIKE

13.2

w MODALXNOJ LOGIKE SUVDENIQ FORMALIZU@TSQ W WIDE MODALXNYH FORMUL, KOTORYE MY BUDEM NAZYWATX W DANNOJ GLAWE PROSTO FORMULAMI. oSNOWNYMI STRUKTURNYMI \LEMENTAMI W FORMULAH QWLQ@TSQ UTWERVDENIQ, KOTORYE IME@T TOT VE SMYSL, ^TOIBULEWY PEREMENNYE W LOGIKE WYSKAZYWANIJ. mNOVESTWO WSEHUTWERVDENIJ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM P . sOWOKUPNOSTX WSEH FORMUL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM IOPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. 1. kAVDOE UTWERVDENIE p 2P QWLQETSQ FORMULOJ. 2. sIMWOLY 1 I 0 QWLQ@TSQ FORMULAMI. 3. eSLI A I B { FORMULY, TOZNAKOSO^ETANIQ :A A ^ B A _ B A ! B A $ B (13.1) TOVE QWLQ@TSQ FORMULAMI. 4. dLQ KAVDOJFORMULY A ZNAKOSO^ETANIQ 2A I 3A QWLQ@TSQ FORMULAMI. fORMULY (13.1) NAZYWA@TSQ BULEWYMI KOMBINACIQMI FORMUL A I B. sWQZKI 2 I 3 NAZYWA@TSQ MODALXNYMI OPERATORAMI. oPERATOR 2 ^ITAETSQ KAK NEOBHODIMO , AOPERATOR 3 - KAK WOZMOVNO . eSLI FORMULA NESODERVIT MODALXNYH OPERATOROW, TOONA PREDSTAWLQET SOBOJFORMULU lw ILI IMEET WID 1 ILI 0. fORMULA BEZ MODALXNYH OPERATOROW NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ KAK FORMULA lw ILI IMEET WID 1. pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA GDE
= p1 := A1 ::: pk := Ak ] (13.2) p1 ::: pk { SPISOK RAZLI^NYH UTWERVDENIJ IZ P ,

mODALXNYE FORMULY

A1 ::: Ak { SPISOKMODALXNYH FORMUL. kAK I W lw, PODSTANOWKA (13.2) DEJSTWUET NA KAVDU@ FORMULU A PUT
I

59


13.3

pRI PROWEDENII RASSUVDENIJ O MODALXNYH FORMULAH INOGDA RASSMATRIWA@TSQ NE WSEWOZMOVNYE FORMULY, A TOLXKOFORMULY IZ NEKOTOROGO OGRANI^ENNOGO KLASSA. kLASSY MODALXNYH FORMUL PRINQTO NAZYWATX MODALXNYMI LOGIKAMI, ILI PROSTO LOGIKAMI, T.E. SLOWOSO^ETANIE \MODALXNAQ LOGIKA" IMEET DWA ZNA^ENIQ: W PERWOM ZNA^ENII { \TOODNA IZ OBLASTEJ MATEMATI^ESKOJLOGIKI, AWO WTOROM { NEKOTORYJ KLASS MODALXNYH FORMUL. kAVDAQMODALXNAQLOGIKA L DOLVNA UDOWLETWORQTX SLEDU@]IM USLOWIQM. 1. L SODERVIT WSE TAWTOLOGII. 2. L SODERVIT FORMULU 2(p ^ q) $ (2p ^ 2q), GDE p q 2P . 3. L SODERVIT FORMULU 21. 4. eSLI A 2 L I A ! B 2 L, TO B 2 L. 5. eSLI A 2 L, I - PODSTANOWKA, TO (A) 2 L. 6. eSLI L SODERVIT FORMULU A $ B , TO L TAKVE SODERVIT FORMULU 2A $ 2B . iZ DANNOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO KAVDAQ MODALXNAQLOGIKA L OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1. L SODERVIT FORMULU A1 ^ ::: ^ An TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L SODERVIT WSE FORMULY A1 , :::, An, 2. ESLI L SODERVIT FORMULU A, TO DLQ L@BOJ FORMULY B L SODERVIT A _ B I B ! A fORMULA A NAZYWAETSQ ^ASTNYM SLU^AEM TAWTOLOGII, ESLI ONA IMEET WID (B), GDE B { TAWTOLOGIQ, I { NEKOTORAQPODSTANOWKA. nETRUDNODOKAZATX, ^TOESLI A $ B { ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII, TO DLQ L@BOJ LOGIKI L A 2 L , B 2 L. kAVDAQMODALXNAQLOGIKA L POROVDAET OTNO ENIE \KWIWALENTNOSTI L NA , KOTOROE SOSTOIT IZ WSEHPAR (A B ), OBLADA@]IH SWOJSTWOM A $ B 2 L. oBOZNA^IM SIMWOLOM =L SOWOKUPNOSTX KLASSOWRAZBIENIQ MNOVESTWA , KOTOROE SOOTWETSTWUET OTNO ENI@ \KWIWALENTNOSTI L . nA MNOVESTWE =L MOVNOOPREDELITX OTNO ENIE ^ASTI^NOGOPORQDKA: A] B ], ESLI A ! B 2 L. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO =L QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ OTNOSITELXNO\TOGO ^ASTI^NOGOPORQDKA, I DLQ L@BYH FORMUL A B WERNY RAWENSTWA 1= 1] 0= 0] A] B ]= A B ], GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW: ^ _ ! $. kROMETOGO, IMEET MESTO IMPLIKACIQ A L B ) 2A L 2B (13.3) PO\TOMU NA =L MOVNO OPREDELITX ODNOARGUMENTNU@ OPERACI@ 2, SOPOSTAWLQ@]U@ KLASSU A] KLASS 2A]. iZ (13.3) SLEDUET, ^TO\TA OPERACIQ OPREDELENA KORREKTNO, T.E. ESLI A]= B ], TO 2A]= 2B ].

mODALXNYE LOGIKI

mODALXNOJALGEBROJ NAZYWAETSQ BULEWA ALGEBRA A

13.4

mODALXNYE ALGEBRY

NA KOTOROJ ZADANA ODNOARGUMENTNAQOPERACIQ 2, UDOWLETWORQ@]AQUSLOWIQM: DLQ WSEH a b 2A 2(a ^ b)= 2(a) ^ 2(b), I 2(1)=1. nETRUDNODOKAZATX, ^TODLQ KAVDOJLOGIKI L MNOVESTWO =L QWLQETSQ MODALXNOJALGEBROJ. oCENKOJ WMODALXNOJ ALGEBRE A NAZYWAETSQ PROIZWOLXNAQFUNKCIQ IZ P W A. dLQ KAVDOJOCENKI W A I KAVDOJ FORMULY A 2 ZNA^ENIE (A) FORMULY A NA OCENKE OPREDELQETSQ REKURSIWNO: ESLI A = p 2P , TO (A) UVE ZADANO

,

^_!$

(1)=1 (0)= 0 (A)= (A) (A B )= (A) (B ), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW (2A)= 2( (A))

L(A) WSEHFORMUL A 2 , TAKIH, ^TO DLQ KAVDOJOCENKI : P! A IMEET MESTO RAWENSTWO (A)=1. dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJLOGIKI L WERNO RAWENSTWO L = L( =L ) T.E. DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 L USLOWIE A 2 L \KWIWALENTNO TOMU, ^TO DLQ KAVDOJ OCENKI : P ! =L IMEET MESTO RAWENSTWO (A)=1. dLQ \TOGO SNA^ALA DOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJFORMULY A IMEET MESTO \KWIWALENCIQ A 2 L , A]= 1. eSLI A 2 L, TO 1 ! A 2 L (POTOMU ^TOFORMULA A ! (1 ! A){ ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII). kROME TOGO, FORMULA A ! 1 - ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII, I, SLEDOWATELXNO, PRINADLEVIT L. tAKIM OBRAZOM, L SODERVIT 1 ! A I A ! 1, T.E. L SODERVIT FORMULU 1 $ A, PO\TOMU A]= 1]= 1. eSLI A] = 1 = 1], TO 1 $ A 2 L, PO\TOMU, W ^ASTNOSTI, 1 ! A 2 L, I, SLEDOWATELXNO, A 2 L. pUSTX A 2 L, I { OCENKA WIDA P! =L. dLQ KAVDOGO p 2P OBOZNA^IM SIMWOLOM Ap KAKU@-LIBO FORMULU IZ KLASSA (p). nETRUDNODOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJFORMULY B 2 IMEET MESTO RAWENSTWO (B ) = (B )], GDE PODSTANOWKA ZAMENQET KAVDOE UTWERVDENIE p W B NA FORMULU Ap (\TODOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ POSTRUKTURE FORMULY B ). tAK KAK A 2 L, TO (A) 2 L, OTKUDA, PODOKAZANNOMU WY E, SLEDUET, ^TO (A)] = 1, T.E. (A)=1. eSLI A 62 L, TO A $ 1 62 L, PO\TOMU A] 6= 1]= 1. w\TOM SLU^AE DLQ OCENKI , SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOMU UTWERVDENI@ p 2P KLASS p], IMEET MESTO SOOTNO ENIE (A)= (A)] = A] 6=1.

lOGIKOJ MODALXNOJALGEBRY A NAZYWAETSQ MNOVESTWO

60


13.5

f ( 1 (q)) = 2 (f (q)) (13.4) q(A)= q(A) q(A B )= q(A) q(B ), GDE { L@BOJIZ SIMWOLOW IDLQ KAVDOGO p 2P IKAVDOGO q 2 Q1 ^_!$ q(p)= f (q)(p) V q(2A)= q Q (q q ) ! q (A) , T.E. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI f - MORFIZM IZ S W S , q(2A)=1, ESLI DLQ KAVDOGO q 2 (q) q (A)=1 TO DLQ KAVDOJFORMULY A IKAVDOGO q 2 Q1 1 2 W q(3A)= q Q (q q ) ^ q (A) , T.E. q(A)= f (q)(A) q(3A)=1, ESLI SU]ESTWUET q 2 (q): q (A)=1 mORFIZMU f IZ S1 W S2 SOOTWETSTWUET FUNKCIQ kAVDOJmk S SOOTWETSTWUET MODALXNAQ ALGEBpA S + f 1 : 2Q2 ! 2Q1 SMNOVESTWOM\LEMENTOW 2Q , NA KOTOROJ BULEWSKIE OPERACII SOWPADA@T S SOOTWETSTWU@- KOTORAQSOHRANQET WSE BULEWY OPERACII. ]IMI TEORETIKO-MNOVESTWENNYMI OPERACIQMI, T.E. iSTINNOSTX USLOWIQ (13.4) DLQ KAVDOGO q 2 Q1 \KWIWALENTNA TOMU, ^TO f 1 SOHRANQET TAKVEIOPERACI@ ^ = \ _ = 1= Q 0= , I 2, POTOMU ^TO DLQ KAVDOGOPODMNOVESTWA V Q2 SOMODALXNAQ OPERACIQ 2 : 2Q ! 2Q SOPOSTAWLQET OTNO ENIE KAVDOMU MNOVESTWU V Q MNOVESTWO f 1 (2V )= 2f 1 (V ) \KWIWALENTNO USLOWI@: DLQ KAVDOGO q 2 Q1 2(V )= fq 2 Q j (q) V g f (q) 2 2V , 1 (q) f 1 (V ) nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OPEpACIQ 2 NA MODALXNOJ ALGEBRE S + SILXNO DISTpIBUTIWNA OTNOSITELXNO OPEpA- KOTOROE MOVNOPEREPISATX W WIDE CII ^, T.E. DLQ PpOIZWOLXNOJSOWOKUPNOSTI fVi j i 2=g V , f ( 1 (q)) V (13.5) \LEMENTOW ALGEBpY S + IMEET MESTO SOOTNO ENIE 2 (f (q)) ^ ^ iSTINNOSTX SOOTNO ENIQ (13.5) DLQ KAVDOGO V Q2 2( Vi )= 2(Vi ) \KWIWALENTNA USLOWI@ (13.4). i i
02

dLQ KAVDOJFORMULY A 2 SIMWOL QA OBOZNA^AET MNOVESTWO fq 2 Q j q(A)= 1g. 13.5.1 pONQTIE MODELI kRIPKE pUSTX L { NEKOTORAQ MODALXNAQ LOGIKA. nETRUDNO DOKAZATX, ^TOSLEDU@]IE SOOTNO ENIQ \KWIWALENTNY: mODELX kRIPKE (mk) { \TOPARA S =(Q ), GDE 1. DLQ KAVDOJFORMULY A 2 L QA =1 Q { MNOVESTWO, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ SOSTOQNIQMI, I 2. DLQ L@BYH FORMUL A B 2 IZ A L B SLEDUET, ^TO QA = QB Q2 - BINARNOE OTNO ENIE, NAZYWAEMOE OTNOENIEM PEREHODA 3. SU]ESTWUET FUNKCIQ POPOLNQ@]AQ DIAGRAMMU ]=L PRI^ 0 0 0 0 0

mODELI kRIPKE

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

;

;

;

;

;

2=

2=

61


13.6
13.6.1

hARAKTERIZACIQ OTNO ENIJ PEREHODA FORMULAMI
tRANZITIWNOSTX

eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE TRANZITIWNOI N 13.6.3

eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE TRANZITIWNO, TODLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q(2p ! 22p)= 1 (13.6) TAK KAK ESLI (13.6) NEWERNO, TO q(2p)= 1 I q(22p)=0, T.E. DLQ NEKOTOROGO q 2 (q) IMEET MESTO RAWENSTWO q (2p)=0, IZ KOTOROGOSLEDUET, ^TOSU]ESTWUET SOSTOQNIE q 2 (q ), TAKOE, ^TO q (p)= 0. pOSKOLXKU TRANZITIWNO, TO q 2 (q), PO\TOMU IZ q(2p) = 1 SLEDUET q (p)= 1, ^TO PROTIWORE^IT SOOTNO ENI@ q (p)= 0. 13.6.4 rEFLEKSIWNOSTX eSLI NETRANZITIWNO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ q 2 (q) I q 2 (q ), TAKIE, ^TO q 62 (q), TO (13.6) eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE REFLEKSIWNO, TO DLQ L@BUDET NEWERNO PRI TAKOJOCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO BOGO q 2 Q IMEET MESTORAWENSTWO q(2p ! p)= 1, A ESLI NEREFLEKSIWNO, T.E. SU]ESTWUET SOSTOQNIE q 62 (q), TO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q). q(2p ! p)= 1 BUDET NEWERNO PRI TAKOJOCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNOTOLXKOW SOSTOQNIQH IZ (q). 13.6.2 n 0 0 00 0 00 00 00 00 0 00 0 00

TAK KAK ESLI (13.8) NEWERNO, TO q(32p)=1 I q(23p)= 0, T.E. DLQ NEKOTOROGO q1 2 (q) q1(2p)=1 (13.9) INEKOTOROGO q2 2 (q) q2(3p)= 0 (13.10) wYBEREM PROIZWOLXNOE SOSTOQNIE q3 2 (q1) \ (q2). iZ (13.9) SLEDUET, ^TO q3(p) = 1, A IZ (13.10) { q3(p) = 0, ^TONEWOZMOVNO. eSLI NEKONFL@ENTNO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ q1 q2 2 (q), TAKIE, ^TO (q1 ) \ (q2) = , TO (13.8) BUDET NEWERNO PRI TAKOJOCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q1).

13.6.5

eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE SIMMETRI^NO, TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTORAWENSTWO q(32p ! p)= 1 (13.11) eSLI NESIMMETRI^NO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ q q , TAKIE, ^TO q 2 (q), NO q 62 (q ), TO (13.11) BUDET NEWERNO PRI TAKOJOCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q ).
0 0 0 0

sIMMETRI^NOSTX

eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE BOGO q 2 Q (q) = , TO DLQ 6 RAWENSTWO q(31)= 1, A ESLI WUET SOSTOQNIE q, TAKOE, ^TO NEWERNO PRI L@BOJOCENKE.
13.6.7

13.6.6

sERIALXNOSTX

SERIALXNO, T.E. DLQ L@L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO NESERIALXNO, T.E. SU]EST(q)= TO q(31)= 1 BUDET

kONFL@ENTNOSTX

.E. DLQ q2Q (13.8)

MESTO

eSLI W mk (Q ) OTNO ENIE DETERMINIROWANO, T.E. DLQ L@BOGO q 2 Q I L@BYH q1 q2 2 (q) LIBO q1 = q2, LIBO q2 2 (q1), LIBO q1 2 (q2) TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q 2(2p ^ p ! q) _ 2(2q ^ q ! p) =1 (13.12) eSLI NEDETERMINIROWANO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ q q1 2 (q) I q2 2 (q), TAKIE, ^TO q1 = q2, q2 2 (q1 ) I q1 62 (q2 ) 6 6 TO (13.12) BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNOTOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q1) fq1g, I q ISTINNOTOLXKOWSOSTOQNIQH IZ (q2) fq2g.

dETERMINIROWANNOSTX

62


13.7

13.7.1 L{

kANONI^ESKIE MODELI

pUSTX L { NEPROTIWORE^IWAQLOGIKA (T.E. L 6= ). mNOVESTWO FORMUL U NAZYWAETSQ L{NEPROTIWORE^IWYM, ESLI DLQ KAVDOGOEGOKONE^NOGO PODMNOVESTWA fA1 ::: Ang IMEET MESTO SOOTNO ENIE A1 ^ ::: ^ An 62 L L{POLNYM, ESLI ONO L{NEPROTIWORE^IWO, I DLQ KAVDOJFORMULY A LIBO A 2 U , LIBO A 2 U . oTMETIM, ^TOLOGIKA L QWLQETSQ L{NEPROTIWORE^IWYM MNOVESTWOM, POTOMU ^TO ESLI A1 ::: An 2 L, TO A1 ^ ::: ^ An 2 L PO\TOMU A1 ^ ::: ^ An 62 L. eSLI MNOVESTWO U L{POLNOE, TO L U , POTOMU, ^TO ESLI NEKOTORAQ FORMULA A IZ L NE SODERVITSQ W U , TO A 2 U , OTKUDA, WWIDU L{NEPROTIWORE^IWOSTI U , POLU^AEM: A 62 L, I, SLEDOWATELXNO, A 62 L, ^TO PROTIWORE^IT WYBORU A KAK FORMULY IZ L. eSLI MNOVESTWO U L{NEPROTIWORE^IWO, TODLQ L@BOJFORMULY A LIBO U fAg, LIBO U fAg L{NEPROTIWORE^IWO, POTOMU ^TO ESLI OBA \TIH MNOVESTWA L{PROTIWORE^IWY, TOSU]ESTWU@T MNOVESTWA fB1 ::: Bng U fAg fC1 ::: Cm g U fAg TAKIE, ^TO B1 ^ ::: ^ Bn 2 L C1 ^ ::: ^ Cm 2 L. pERWOE IZ \TIH MNOVESTW SODERVIT A, AWTOROE - A, TAK KAK INA^E U BUDET L{PROTIWORE^IWO. oBOZNA^IM SIMWOLOM B KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEHFORMULIZ SOWOKUPNOSTI fB1 ::: Bn g, KOTORYE NE SOWPADA@T S A, I SIMWOLOM C { KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEH FORMUL IZ SOWOKUPNOSTI fC1 ::: Cm g, KOTORYE NE SOWPADA@T S A (ESLI KAKOE-LIBO IZ \TIH MNOVESTW PUSTO, TO EGO KON_@NKCIQ POOPREDELENI@ RAWNA FORMULE 1). iZ SOOTNO ENIJ A ^ B 2 L, A ^ C 2 L, A ^ B ! (A ^ C ! B ^ C ) 2 L (POSLEDNQQ FORMULA PRINADLEVIT L POTOMU, ^TO ONA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ) SLEDUET, ^TO B ^ C 2 L, ^TO PROTIWORE^IT L-NEPROTIWORE^IWOSTI MNOVESTWA U . dLQ KAVDOGO L{NEPROTIWORE^IWOGOMNOVESTWA U SU]ESTWUET L{POLNOE MNOVESTWO U , TAKOE, ^TO U U . mNOVESTWO U MOVNOPOSTROITX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX (A1 A2 :::){ SPISOKWSEHFORMUL. oPREDELIM POSLEDOWATELXNOSTX U1 U2 ::: PODMNOVESTW MNOVESTWA SLEDU@]IM OBRAZOM: U1 def U , IDLQ KAVDOGO = n 1 Un+1 POLAGAEM RAWNYM MNOVESTWU Un fAng, ESLI ONO L-NEPROTIWORE^IWO, I Un fAn g { W PROTIWNOM SLU^AE (SOGLASNO DOKAZANNOMU WY E, W\TOM SLU^AE MNOVESTWO Un fAng BUDET L-NEPROTIWORE^IWO). iSKOMOE MNOVESTWO U IMEET WID S Un . eSLI BY ONO n1 BYLO L-PROTIWORE^IWO, TO DLQ NEKOTOROGO n 1 MNOVESTWO Un BYLO BY L-PROTIWORE^IWO, ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI (Un j n 1).
0 0 0 0

NEPROTIWORE^IWYE I L{POLNYE MNOVESTWA

13.7.2

dLQ KAVDOGO L-POLNOGO MNOVESTWA U I KAVDOJ FORMULY A ZNAKOSO^ETANIE U (A) OBOZNA^AET \LEMENT MNOVESTWA f0 1g, KOTORYJ RAWEN 1, ESLI A 2 U , I 0 - W PROTIWNOM SLU^AE. nETRUDNODOKAZATX, ^TO
U U U U ( ( ( (

pONQTIE KANONI^ESKOJMODELI

1)=1 U (0)=0 A) ^ U (A ! B ) U (B )

^_!$ kANONI^ESKOJMODELX@ NEPROTIWORE^IWOJLOGIKI L QWLQETSQ mk SL =(QL L ), GDE QL SOSTOIT IZ WSEH L-POLNYH MNOVESTW, def V U (2A) ! U (A) . L (U U ) = A DLQ L@BYH U 2 QL I p 2P OCENKA p W U SOWPADAET S U (p). dOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO U 2 QL I L@BOJ FORMULY A ZNA^ENIE A W U SOWPADAET S U (A). s U^ 0 0 2
02

A)= U (A) A B )= U (A) U (B ), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW

0

0

0

0

0

02

0

0

0

0

0

0

0

0

63


pOSKOLXKU A 2 hAi, TO IZ WY EDOKAZANNOGO SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q](A)= dLQ KAVDOJFORMULY A ZNAKOSO^ETANIE hAi OBOZNA^AET q(A). pO\TOMU ESLI RE AETSQ ZADA^A PROWERKI ISTINSOWOKUPNOSTX WSEHPODFORMULFORMULY A. NOSTI ZADANNOJ FORMULY A WO WSEH SOSTOQNIQH ZADANpUSTX (Q ){ NEKOTORAQmk. oPREDELIM OTNO ENIE NOJ mk (Q ) (IZWESTNAQ KAK ZADA^A Model Checking), \KWIWALENTNOSTI NA Q SLEDU@]IM OBRAZOM: TO DANNAQZADA^A MOVET BYTX SWEDENA K ANALOGI^NOJZADA^E MENX EJ SLOVNOSTI, WKOTOROJWMESTO mk (Q ) q q , 8B 2hAi q(B )= q (B ) RASSMATRIWAETSQ E< FILXTRACIQ POMNOVESTWU hAi. oTOBRAVENIE 13.9 q 7! (q(A1 ) ::: q(An )) (GDE fA1 ::: Ang = hAi) OWIQ, KOTORYM UDOWLESOPOSTAWLQET WSEM \LEMENTAM KAVDOGO KLASSA RAZBIE- 1. dOKAZATX,O^TO USLQLOGIKA, MOVNO DOLVNA ENTNYM TWORQTX M DALXNA \KWIWAL NIQ PO OTNO ENI@ ODIN I TOT VE WEKTORIZ f0 1gn, OBRAZOMSFORMULIROWATX TAK: PO\TOMU KLASSOWRAZBIENIQ POOTNO ENI@ NE MOVET BYTX BOLX E, ^EM WEKTOROW IZ f0 1gn, KOLI^ESTWO KO(a) L SODERVIT WSE TAWTOLOGII. TORYH RAWNO 2n . (b) L SODERVIT FORMULU 2(p ! q) ! (2p ! 2q), fILXTpACIEJ mk (Q ) PO MNOVESTWU hAi NAZYGDE p q 2P . WAETSQ mk (Q= ), (c) eSLI A 2 L I A ! B 2 L, TO B 2 L. OTNO ENIE PEREHODA WKOTOROJSOSTOIT IZ WSEH (d) eSLI A 2 L, I - PODSTANOWKA, TO (A) 2 L. PAR ( q] q ]) 2 (Q= )2 , TAKIH, ^TO (q q )= 1, I (e) eSLI A 2 L, TO 2A 2 L. DLQ WSEH q 2 Q I p 2hAi\ P q](p)= q(p). 2. dOKAZATX, ^TO S + QWLQETSQ MODALXNOJ ALGEBROJ. dOKAVEM, ^TO DLQ WSEH q 2 Q I B 2 hAi\ P IMEET MESTO RAWENSTWO q](B )= q(B ). dANNOE RAWENSTWO DOKA- 3. dOKAZATX, ^TO W KAVDOJMODELI kRIPKE (Q ) DLQ KAVDOJFORMULY A IMEET MESTO RAWENSTWO ZYWAETSQ INDUKCIEJ PO STRUKTURE B . eSLI B 2P , TO ONO WERNO PO OPREDELENI@. CLU^AJ, KOGDA B QWLQETSQ Q3A = Q2 A BULEWOJ KOMBINACIEJ, RAZBIRAETSQ BEZ OSOBOGO TRUDA. eSLI B = 2C , TO
0 0

13.8

fILXTRACII mk

zADA^I

0

0

0

0

q](B ) = =

q

02

]

V Q= V
0

0

( q] q ]) ! q ](C ) =
0 0

q 2Q

0

( q] q ]) ! q (C )
0 0

nAM NADODOKAZATX, ^TO (13.14) SOWPADAET S q(2C ), T.E. S ^ (q q ) ! q (C ) (13.15)
0 0

(13.14)

1. DLQ KAVDOGO q 2 Q IZ NERAWENSTWA
0

qQ
02

(q q )
0 0 0 0

0

( q] q ])
0 0 0

SLEDUET NERAWENSTWO ( q] q ]) ! q (C ) (q q ) ! q (C ) PO\TOMU (13:14) (13:15). 2. q(2C ) (13:14), TAK KAK DLQ KAVDOGO q 2 Q IMEET MESTO NERAWENSTWO q(2C ) ( q] q ]) ! q (C ), POTOMU, ^TO ESLI ( q] q ]) = 1, TO DLQ NEKOTORYH q1 q I q1 q (q1 q1) = 1, I ESLI, KROME TOGO, q(2C ) = q1(2C ) = 1, TO q (C ) =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

q1 (C )= 1.
0

64


lEKCIQ 14

nE^ETKIE LOGIKI
14.1
mATEMATI^ESKIE METODY ANALIZA SISTEM ZAKL@^A@TSQ W POSTROENII MATEMATI^ESKIH MODELEJ ISSLEDUEMYH SISTEM I FORMALXNOM ANALIZE \TIH MODELEJ. pOSKOLXKU MODELI SISTEM NE TOVDESTWENNY SAMIM SISTEMAM, I QWLQ@TSQ LI X IH APPROKSIMACIQMI, TO, SLEDOWATELXNO, SWOJSTWA ISSLEDUEMYH SISTEM I SWOJSTWA IH MODELEJ MOGUT RAZLI^ATXSQ. dANNAQ SITUACIQ PRIWODIT K SU]ESTWENNYM TRUDNOSTQM PRI PREDSKAZANII SWOJSTW REALXNYH SISTEM NA OSNOWE INFORMACII O SWOJSTWAH IH MODELEJ. oDIN SPOSOB NAHOVDENIQ TO^NYH SWOJSTW ANALIZIRUEMYH SISTEM ZAKL@^AETSQ W POSTROENII KAK MOVNO BOLEE TO^NYH I DETALXNYH IH MATEMATI^ESKIH MODELEJ. wO MNOGIH SITUACIQH DANNYJ PUTX PRIWODIT K BOLXIM TRUDNOSTQM, PO PRI^INETOGO, ^TO BOLX AQSLOVNOSTX DETALXNYH MODELEJ MOVET WYZYWATX SU]ESTWENNYE WY^ISLITELXNYE PROBLEMY PRI IH FORMALXNOMANALIZE. dRUGOJ PUTX ISSLEDOWANIQ SWOJSTW REALXNYH SISTEM ZAKL@^AETSQ W POSTROENII TAKIH IH PRIBLIVENNYH MATEMATI^ESKIH MODELEJ, KOTORYE, HOTQ I QWLQ@TSQ GRUBYMI PODOBIQMI ISSLEDUEMYH SISTEM, NOIME@T PRIEMLEMU@ WY^ISLITELXNU@ SLOVNOSTX. oSNOWNAQ WOZNIKA@]AQZDESX PROBLEMA ZAKL@^AETSQWOCENKE MERY RASHOVDENIQ MEVDU SWOJSTWAMI REALXNOJ SISTEMY I SWOJSTWAMI EE PRIBLIVENNOJMODELI. dLQ TO^NOGO OCENIWANIQ DANNOGO RASHOVDENIQ NEOBHODIM TO^NYJ U^ET W MATEMATI^ESKOJMODELI ANALIZIRUEMOJ SISTEMY WSEH PREDPOLOVENIJ O NE^ETKOSTI, NEDOSTOWERNOSTI I NEOPREDELENNOSTI PRI POSTROENII DANNOJ MODELI, MERY TO^NOSTI IZMERENIQ PARAMETROW ANALIZIRUEMOJ SISTEMY, IT.P. wSE NE^ETKIE KOMPONENTY MATEMATI^ESKOJ MODELI ANALIZIRUEMOJ SISTEMY MOVNOUSLOWNO SGRUPPIROWATX WSLEDU@]IE DWE KATEGORII. 1. nE^ETKIE KOMPONENTY, WOZNIKA@]IE PO PRI^INE \FFEKTA SLU^AJNOSTI. dANNYJ \FFEKT IMEET MESTO NAPRIMER TOGDA, KOGDA NE^ETKOSTX W PROCESSE IZMERENIQ ZNA^ENIQ NEKOTOROGO PARAMETRA ANALIZIRUEMOJ SISTEMY NOSIT WEROQTNOSTNYJ HARAKTER, I IZMERQEMYE ZNA^ENIQ DANNOGO PARAMETRA

wWEDENIE

POD^INQ@TSQ NEKOTORYM STATISTI^ESKIM ZAKONOMERNOSTQM. dANNYJ WID NE^ETKOSTI ISSLEDUETSQ METODAMI TEORII WEROQTNOSTEJ, MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI I TEORII SLU^AJNYH PROCESSOW. 2. nE^ETKIE KOMPONENTY, WOZNIKA@]IE PO PRI^INE KONCEPTUALXNOJ NE^ETKOSTI. dANNYE KOMPONENTY MOGUT BYTX SWQZANY S NEPOLNYM I NEDOSTOWERNYM ZNANIEM OB IZU^AEMOJSISTEME. w NASTOQ]EJ GLAWE IZLAGAETSQ APPARAT DLQ ISSLEDOWANIQ NE^ETKIH KOMPONENTOW, OTNOSQ]IHSQ KOWTOROJ KATEGORII.

14.2
14.2.1

nE^ETKIE LOGIKI
{KALA OCENOK

nAPOMNIM, ^TO POLNOJ RE
8a 9 2a 3 < 1= 1 ::: I 4 ::: 5 : an an

65


SOOTWETSTWENNO.

= p1 := A1 ::: pk := Ak ] (14.3) (14.1) OBLADA@]IJ SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO c 2B GDE c (a ! b) , (c ^ a) b (14.2) p1 ::: pk { SPISOK RAZLI^NYH UTWERVDENIJ IZ P , I |LEMENT (14.1) MOVNO INTERPRETIROWATX KAK MERU ISTINNOSTI WYSKAZYWANIQ A1 ::: Ak { SPISOKFORMUL. \a b" pODSTANOWKA (14.3) DEJSTWUET NA KAVDU@ FORMULU A w NIVESLEDU@]EM TEKSTE SIMWOL B OBOZNA^AET NE- PUT
{KALOJOCENOK NAZYWAETSQ POLNAQ RE
14.2.3

pODSTANOWKI

pUSTX A I B { NEKOTORYE FORMULY IZ Fm. mY BUDEM GOWORITX, ^TO B POLU^ENA IZ A \KWIWALENTNYM PREOBRAZOWANIEM, ESLI A SODERVIT PODFORMULU WIDA a ^ b a _ b ILI a ! b GDE a b 2B, I B POLU^AETSQ IZ A PUTEM ZAMENY DANNOJPODFORMULY NA \LEMENT KALY B, QWLQ@]IJSQ REZULXTATOM PRIMENENIQ SOOTWETSTWU@]EJ OPERACII K PARE a b. dWE FORMULY IZ Fm NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI ODNU IZ NIH MOVNOPOLU^ITX IZ DRUGOJPUTEM MI MODALXNYMI OPERATORAMI. PREOBRAZO pRI NEKOTORYH INTERPRETACIQH FORMUL I OCENOK NESKOLXKIH \KWIWALENT,NYH ODERVA]AWANIJ. pUSTX A { FORMULA NES E FORMULU WIDA 2a A MOVNO INTERPRETIROWATX KAK WY- RATOROW, I SPISOK WSEH UTWERVDENIJQMODALXNYH WOPA-, , WHODQ]IH SKAZYWANIE IMEET WID dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 ::: An FORMULIZ Fm ZNAKOSO^ETANIQ A1 ^ A2 ^ ::: ^ An I A1 _ A2 _ ::: _ An QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL A1 ^ (A2 ^ (::: ^ An ) :::) I A1 _ (A2 _ (::: _ An ) :::) SOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVEBUDUT OBOZNA^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI 89 23
MERA UBEDITELXNOSTI FAKTA, WYRAVAEMOGO FORMULOJ A, RAWNA

mY PREDPOLAGAEM, ^TOZADANONEKOTOROE MNOVESTWO P , \LEMENTY KOTOpOGO NAZYWA@TSQ UTWERVDENIQMI. mNOVESTWO Fm NE^ETKIH MODALXNYH FOpMUL (NAZYWAEMYH NIVE PROSTO FORMULAMI) OPpEDELQETSQ INDUKTIWNOSLEDU@]IM OBpAZOM: kAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA P QWLQETSQ FORMULOJ. kAVDYJ \LEMENT KALY B QWLQETSQ FORMULOJ. eSLI A I B { FORMULY, TOZNAKOSO^ETANIQ A ^ B , A _ B , I A ! B QWLQ@TSQ FORMULAMI. eSLI A { FORMULA, I a 2 B, TO ZNAKOSO^ETANIE 2a A QWLQETSQ FORMULOJ. mODALXNYE SWQZKI WIDA 2a NAZYWA@TSQ NE^ETKI-

14.2.2

nE^ETKIE MODALXNYE FORMULY

14.2.4

tAWTOLOGII

a.

fORMULA A NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ, ESLI DLQ KAVDOJ PODSTANOWKI WIDA (14.3), TAKOJ, ^TO 8i 2f1 ::: ng Ai = ai 2B FORMULA (A) \KWIWALENTNA \LEMENTU 1 2B.
14.2.5

(p1 ::: pn):

VESTWO L MNOVESTWA Fm, OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJA1 < A1 = STWAMI: 4 ::: 5 : ::: I An An KAVDAQTAWTOLOGIQ PRINADLEVIT L SOOTWETSTWENNO. DLQ WSEH A B 2 Fm IKAVDOGO a 2B dLQ KAVDOJPARY A B 2 Fm ZNAKOSO^ETANIE A $ B QWLQETSQ SOKRA]ENNYM OBOZNA^ENIEM FORMULY 2a A $ 2a A 2L (14.4) B 2a B (A ! B ) ^ (B ! A):
66

nE^ETKOJLOGIKOJ NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE PODMNO

nE^ETKIE LOGIKI

-


DLQ KAVDOGO a 2B

DLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm IKAVDOGO a 2B nE^ i
2=

a ! 2a 1 2 L

14.3
(14.5) 14.3.1

nE^ETKIE MODELI kRIPKE
nE^
iZ DANNOGOOPREDELENIQ WYTEKAET, ^TOSU]ESTWUET MINIMALXNAQ (OTNOSITELXNO WKL@^ENIQ) NE^ETKAQ LOGIKA, KOTORU@ MY BUDEM OBOZNA^ATX ZNAKOSO^ETANIEM FK (KOTOROE QWLQETSQ ABBREWIATUROJ SLOWOSO^ETANIQ
Fuzzy Kripke).

8x y x y 2 X
0 0

nETRUDNODOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJNE^ETKOJLOGIKI L IMEET MESTOSLEDU@]EE PRAWILO WYWODA: ESLI a1 ! A1 2 L : : : an ! An 2 L GDE a1 ::: an 2B I A1 ::: An 2 Fm (14.11)

TO

nIVE WMESTO TERMINA "NE^ETKAQLOGIKA" BUDET ISPOLXZOWATXSQ \KWIWALENTNYJ EMU W DANNOJ GLAWE TERMIN "LOGIKA". dLQ KAVDOJFORMULY A IKAVDOJLOGIKI L SIMWOL OBOZNA^AET TO^NU@ WERHN@@ GRANX MNOVESTWA fa 2B j a ! A 2 Lg: (14.12) iZ DANNOGO OPREDELENIQ I IZ SWOJSTWA (14.10) SLEDUET SOOTNO ENIE 8a 2B a ! A 2 L , a A] L:
A] L

8a 9 8A 9 < 1= < 1= : ::: ! : ::: 2 L: an An

(x x) : 8x y 2 X R(x y) (14.17) (y y) dLQ KAVDOJPARY (x y) 2 X X \LEMENT R(x y) MOVNO INTERPRETIROWATX KAK MERU PRINADLEVNOSTI DANNOJPARYBINARNOMU OTNO ENI@ R. pODMNOVESTWOM NE^ETKOGOMNOVESTWA (14.13) NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE s WIDA s : X !B UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM USLOWIQM: s(x) 8x x 2 X s(x ) (14.18) (x x ) 8x 2 X s(x) (x x): (14.19) dLQ KAVDOGO x 2 X \LEMENT s(x) MOVNOINTERPRETIROWATX KAK MERU PRINADLEVNOSTI \LEMENTA x PODMNOVESTWU s. sOWOKUPNOSTX WSEHPODMNOVESTW NE^ETKOGOMNOVESTWA (14.13) OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Sub(W ). nIVE DLQ KAVDOGONE^ETKOGOMNOVESTWA W EGO NOSITELX BUDET OBOZNA^ATXSQ TEM VE SAMYM SIMWOLOM W , I DLQ KAVDOJ PARY x y \LEMENTOWNOSITELQ MERA BLIZOSTI x I y BUDET OBOZNA^ATXSQ SIMWOLOM W (x y). kROME TOGO, DLQ KAVDOGO x 2 W SIMWOL W (x) PO OPREDELENI@ OBOZNA^AET MERU PRINADLEVNOSTI \LEMENTA x NE^ETKOMU MNOVESTWU W .
0 0 0

< R(x y) = x : (x y )) (y
0 0

R(x y ) (14.16)
0 0

67


14.3.2

nE^ETKOJMODELX@ kRIPKE NAZYWAETSQ PROIZWOLX- MODELI (14.20), ESLI IMEET MESTOSOOTNO ENIE NAQ TROJKA M WIDA A] x = W (x): (14.28) M =(W fRa j a 2Bg ) (14.20) fORMULA A 2 Fm NAZYWAETSQ ISTINNOJW MODELI KOMPONENTY KOTOROJ OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRA- (14.20), ESLI ONA ISTINNA W KAVDOJTO^KE\TOJMODELI. ZOM: nETRUDNODOKAZATX, ^TOKAVDAQFORMULA LOGIKI FK ISTINNA W KAVDOJMODELI. |TOSLEDUET IZ TOGO, ^TO 1. W { \TONEKOTOROE NE^ETKOE MNOVESTWO, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ SOSTOQNIQMI, KAVDAQTAWTOLOGIQ ISTINNA W L@BOJMODELI, 2. fRa j a 2 Bg { \TO B{INDEKSIROWANNAQ SOWOKUPFORMULY IZ SOOTNO ENIJ (14.4), (14.5) I (14.6) ISNOSTX BINARNYH OTNO ENIJ NA W , NAZYWAEMYH TINNY W PROIZWOLXNOJMODELI, I OTNO ENIQMI PEREHODA, PRAWILA WYWODA (14.7), (14.8), (14.9) I (14.10) SO3. { \TOOTOBRAVENIE WIDA HRANQ@T SWOJSTWO ISTINNOSTI W PROIZWOLXNOJMO: P! Sub(W ) (14.21) DELI. NAZYWAEMOE OCENKOJ UTWERVDENIJ. oSTAW AQ ^ASTX GLAWY POSWQ]ENA DOKAZATELXSTWU OBRATNOGO UTWERVDENIQ: ESLI FORMULA ISTINNA W KAVnIVE WMESTO TERMINA "NE^ETKAQ MODELX kRIPKE" BUDET ISPOLXZOWATXSQ \KWIWALENTNYJ EMU W DANNOJGLA- DOJMODELI, TOONA PRINADLEVIT LOGIKE FK . WE TERMIN "MODELX".
dLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm I KAVDOJMODELI (14.20) 14.4.1 nEPROTIWORE^IWYE LOGIKI OCENKOJ A W M NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE lOGIKA L Fm NAZYWAETSQ NEPROTIWORE^IWOJ, ESLI A] M : W !B 8a 2B a 2 L ) a =1: (14.29) KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU x 2 W OCENKU A] x 2B, dOKAVEM, ^TOLOGIKA FK NEPROTIWORE^IWA. OPREDELQEMU@ SLEDU@]IM OBRAZOM: kAK BYLOOTME^ENO W PARAGRAFE 14.3.4, DLQ KAVDOGO DLQ WSEH p 2P a 2B, IZ SOOTNO ENIQ a 2 FK SLEDUET, ^TOFORMULA a ISTINNA W KAVDOJMODELI, W^ASTNOSTI, WMODELI WIDA p] x def (p)(x) = (14.22) (14.20), GDE W SOSTOIT IZ ODNOGO\LEMENTA x, I DLQ WSEH a 2B W (x)=1: (14.30)
a] x def = a W (x) (14.23) (14.24) (14.25) (14.26) (14.30).
14.3.3

oPREDELENIE NE^ETKOJMODELI kRIP14.3.4 iSTINNOSTX FORMULW MODELQH KE fORMULA A 2 Fm NAZYWAETSQ ISTINNOJ W TO^KE

x

oCENKA FORMULW MODELQH

14.4

L{SOWMESTIMYE

MNOVESTWA

sOOTNO ENIE (14.29) SLEDUET IZ (14.23), (14.28) I

A ^ B ] x def A] x ^ B ] x = A _ B ] x def A] x _ B ] x = A ! B] x =
def

nIVEPODLOGIKOJPONIMAETSQ NEPROTIWORE^IWAQLOGIKA.
14.4.2

A] x ! B ] x W (x)

nETRUDNODOKAZATX, ^TOOTOBRAVENIE A] M QWLQET- DLQ SQ PODMNOVESTWOMNE^ETKOGOMNOVESTWA W .
68

8a 9 > < inf (R (x y) ! A] ) > = y 2a A] x def > y W a = > : (14.27) : W (x)
2

pUSTX

oPREDELENIE L{SOWMESTIMOGOMNO VESTWA

-

L { NEKOTORAQNEPROTIWORE^IWAQLOGIKA, I u { NEKOTOROE PODMNOVESTWO Fm. mNOVESTWO u NAZYWAETSQ L{SOWMESTIMYM, ESLI


KAVDOGOKONE^NOGOPODMNOVESTWA MNOVESTWA u, IME@]EGO WID nIVE SIMWOL L OBOZNA^AET PROIZWOLXNU@ NEPROTIfa1 ! A1 ::: an ! An g WORE^IWU@ LOGIKU. (GDE a1 ::: an 2B A1 ::: An 2 Fm) tEOREMA 3. (14.31) pUSTX I u { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO, KAVDOGO b 2B A { NEKOTORAQFORMULA, I IZ SOOTNO ENIQ 8A 9 Q { MNOVESTWO WSEH\LEMENTOW a 2B, TAKIH, ^TO < 1= (14.32) u fa ! Ag L{SOWMESTIMO. (14.36) : ::: ! b 2 L A SLEDUET SOOTNO ENIE
n

zAMETIM, ^TO Q 6= , T.K.0 2 Q. 14.4.3 sWOJSTWA L{SOWMESTIMYH MNOVESTW iMPLIKACIQ a 2 Q ) a sup(Q) dLQ KAVDOJ PARY u1 u2 PODMNOVESTW Fm NERAWENSTWO O^EWIDNA. u1 u2 iMPLIKACIQ OZNA^AET, ^TO a sup(Q) ) a 2 Q DLQ KAVDOJFORMULY WIDA a ! A 2 u1 \KWIWALENTNA SLEDU@]EJ PARE UTWERVDENIJ: a =0 ILI 9 b a : b ! A 2 u2: 1. MNOVESTWO u fsup(Q) ! Ag (14.37) tEOREMA 1. dLQ KAVDOJ PARY u1 u2 PODMNOVESTW Fm IZ NERAQWLQETSQ L{SOWMESTIMYM WENSTWA 2. ESLI MNOVESTWO u1 u2 SLEDUET, ^TOESLI u2 { L{SOWMESTIMO, TO u1 TOVE L{SOu fa ! Ag WMESTIMO. L{SOWMESTIMO, TO DLQ KAVDOGO a a MNOVESTWO u fa ! Ag tEOREMA 2. kAVDAQNEPROTIWORE^IWAQLOGIKA L QWLQETSQ L{SOTOVE L{SOWMESTIMO. WMESTIMYM MNOVESTWOM. dOKAZATELXSTWO. uTWERVDENIE 2 SLEDUET IZ TEOREMY 1. pRIMENQQ PRAWILO WYWODA (14.11) K PODMNOVESTWU dOKAVEM UTWERVDENIE 1: DLQ (14.31) MNOVESTWA L, POLU^AEM SOOTNO ENIE KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.37), 8a 9 8A 9 I < 1= < 1= ::: ! : ::: 2 L: (14.34) : an KAVDOGO b 2B An IZ (14.32) SLEDUET (14.33). iZ (14.32), (14.34) I (14.7) SLEDUET SOOTNO ENIE tAK KAK u POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TODLQ 8a 9 DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII < 1= (14.35) (14:32) ) (14:33) : ::: ! b 2 L an DOSTATO^NORASSMOTRETX LI X SLU^AJ, KOGDA MNOVESTiZ (14.35) I (14.29) SLEDUET (14.33). WO (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID:
0 0

8a 9 < 1= b: : ::: an

(14.33)

tOGDA DLQ KAVDOGO a 2B IMEET MESTO SOOTNO ENIE a sup(Q) , a 2 Q:

dOKAZATELXSTWO.

69


(a1 ! A1 ) = (sup(Q) ! A) 8 i =2 ::: n (ai ! Ai ) 2 w\TOM SLU^AE (14.33) IMEET sup(Q) a2 ^ ::: ^ an (14.38) \KWIWALENTNO SOOTNO a 8a2Q a2 ^ ::: ^ a (14.39) SLEDUET IZ (14.36).

tOGDA IMEET MESTONERAWENSTWO SLEDU@]IJ WID:
b u. (14.45) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA (14.38) u f A] u ! B g (14.46) T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TODLQ KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.46), (14.39) I KAVDOGO b 2B IZ (14.32) SLEDUET (14.33). tAK KAK u POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TODLQ

dOKAZATELXSTWO.

A] u

B] u

(14.45)

ENI@
n

b

|LEMENT sup(Q), KOTORYJ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII PO A I u, OBOZNA^AETSQ NIVE SIMWOLOM (14:32) ) (14:33) A] u (14.40) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI X TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31) iZ OPREDELENIQ \LEMENTA A] u WYTEKAET, ^TO DLQ IMEET SLEDU@]IJ WID: KAVDOGO u Fm IMEET MESTO IMPLIKACIQ (a1 ! A1)=( A] u ! B ) u L{SOWMESTIMO ) 8 A 2 Fm DLQ KAVDOGO i =2 ::: n (14.41) u f A] u ! Ag L{SOWMESTIMO (14.47) ai ! Ai 2 u pUSTX u1 I u2 { L{SOWMESTIMYE MNOVESTWA, TAKIE, ^TO
u1 u2: tOGDA DLQ KAVDOJFORMULY A A] u2 A] u1 : (14.42)

tEOREMA 4

.

w\TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNO ENI@

dOKAZATELXSTWO.
tAK KAK MNOVESTWO

iZ (14.44) I (14.48) SLEDUET SOOTNO ENIE

8A 9 < 2= B ! (: ::: ! b) 2 L An 8A 9 < 2= A ! (: ::: ! b) 2 L An 8 9

(14.48)

(14.49)

>A > L{SOWMESTIMO, I < A2 = (14.50) u1 f A] u2 ! Ag u2 f A] u2 ! Ag > ::: > ! b 2 L : An TOIZ TEOREMY 1 SLEDUET, ^TOMNOVESTWO tAK KAK MNOVESTWO u1 f A] u2 ! Ag (14.43) u f A] u ! Ag L{SOWMESTIMO. iZ L{SOWMESTIMOSTI (14.43) I IZ OPREDELENIQ \LE- QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, TOIZ (14.47) I (14.50) SLEDUET NERAWENSTWO MENTA A] u1 SLEDUET NERAWENSTWO (14.42). 8 A] 9 > u> < a2 = (14.51) > ::: > b tEOREMA 5. : an pUSTX u Fm { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO, I KOTOROE \KWIWALENTNO (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ. A B { PARA FORMUL, TAKIH, ^TO tEOREMA 6. A!B 2L (14.44) dLQ
70

u2 f A] u2 ! Ag

KOTOROE \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@


KAVDOGO L{SOWMESTIMOGOMNOVESTWA u, I KAVDOJFORMULY A 2 Fm IMEET MESTONERAWENSTWO:
A] L A] u

14.5
14.5.1

L{

I VESTW KAVDOGO b 2B pUSTX IZ (14.32) SLEDUET (14.33). u { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO, I tAK KAK u POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TODLQ DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO. (14:32) ) (14:33) x NAZYWAETSQ POPOLNENIEM u, ESLI DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI X TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31) ux (14.60) IMEET SLEDU@]IJ WID: tEOREMA 7. (a1 ! A1 )= ( A] L ! A) dLQ KAVDOGO L{SOWMESTIMOGOMNOVESTWA u SU]ESTDLQ KAVDOGO i =2 ::: n WUET POPOLNENIE x. dOKAZATELXSTWO. ai ! Ai 2 u (14.54) pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX w\TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@ B1 B2 ::: (14.61) 8A 9 < 2= ESTX NEKOTOROE PERE^ISLENIE WSEHFORMULIZ Fm. A ! (: ::: ! b) 2 L (14.55) oPREDELIM POSLEDOWATELXNOSTX iZ SOOTNO ENIJ
An A] L ! A 2 L (14.56) u1 u2 ::: PODMNOVESTW MNOVESTWA Fm SLEDU@]IM OBRAZOM: u1 def u, = DLQ KAVDOGO k 1 uk
+1 def

(14.52) pUSTX x { NEKOTOROE PODMNOVESTWO MNOVESTWA Fm. mNOVESTWO x NAZYWAETSQ L{POLNYM, ESLI dOKAZATELXSTWO. x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, (14.52) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA DLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm u f A] L ! Ag (14.53) A] x ! A 2 x: (14.59) T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TODLQ KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.53), 14.5.2 pOPOLNENIE L{SOWMESTIMYH MNO-

oPREDELENIE L{POLNOGO MNOVES TWA

POLNYE MNOVESTWA

-

I (14.55) SLEDUET SOOTNO ENIE

iZ DANNOGOOPREDELENIQ I IZ UTWERVDENIQ (14.41) SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO k 1 WERNO UTWERVDENIE: ESLI uk L{SOWMESTIMO, (14.57) (14.62) TO uk+1 TOVE L{SOWMESTIMO. tAK KAK u1 POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TOIZ tAK KAK u PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO IZ (14.62) SLEDUET, ^TO (14.54) I (14.57) SLEDUET NERAWENSTWO 8a 9 < 2= 8k 1 uk L{SOWMESTIMO ::: A] L ! b (14.58) : an oPREDELIM ISKOMOE MNOVESTWO x SLEDU@]IM OBRAZOM: iZ (14.58) SLEDUET (14.33). x def = uk iZ (14.56) SLEDUET SOOTNO ENIE

8A 9 < 2= A] L ! (: ::: ! b) 2 L An

= uk f Bk ] uk ! Bk g

8A 9 < 2= : ::: ! ( A] L ! b) 2 L An

k

1

71


mNOVESTWO x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, POSKOLXKU DLQ KAVDOGO EGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA WIDA (14.31) SU]ESTWUET NOMER k 1, TAKOJ, ^TO DANNOE PODMNOVESTWO SODERVITSQ W MNOVESTWE uk (KOTOROE, KAK BYLO OTME^ENO WY E, QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM). dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm WERNO SWOJSTWO (14.59). pO OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI (14.61), SU]ESTWUET NOMER k, TAKOJ, ^TO A = Bk . pOSKOLXKU Bk ] uk ! Bk 2 x TO
Bk ] uk Bk ] x: pOSKOLXKU uk x, TOIZ TEOREMY 4 SLEDUET, ^TO (14.64) Bk ] x Bk ] uk : oB_EDINQQ (14.63) I (14.64), POLU^AEM RAWENSTWO Bk ] x = Bk ] uk : (14.65) sLEDOWATELXNO, Bk ] x ! Bk = Bk ] uk ! Bk 2 uk+1 x: (14.66) iZ (14.66) WYTEKAET (14.59) (PRI A = Bk ). tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO x QWLQETSQ L{POLNYM. dOKAVEM, ^TO x QWLQETSQ POPOLNENIEM MNOVESTWA u, T.E. 8 (a ! A) 2 u a A] x: pO OPREDELENI@ x, 9k 1: A = Bk :

SLEDUET NERAWENSTWO
a] x b (14.70) pOSKOLXKU (14.69) WERNO DLQ b = a, TO (14.70) TOVE DOLVNOBYTX WERNODLQ b = a, T.E. a] x a: (14.71)

L{SOWMESTIMOSTX MNOVESTWA x fa ! ag: (14.72) dLQ \TOGONEOBHODIMODOKAZATX, ^TODLQ (14.63) KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.72),

dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGONERAWENSTWA DOKAVEM

I KAVDOGO b 2B IZ (14.32) SLEDUET (14.33). tAK KAK x POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII (14:32) ) (14:33) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI X TOT SLU^AJ, KOGDA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM: (a1 ! A1 )= (a ! a) 8i =2 ::: n ai ! Ai 2 x w\TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNO

TODLQ
(14.31) (14.73)

tAK KAK TO

(a ! Bk ) 2 u uk (14.67)

8 > < > :

9 a> A2 = ! b 2 L ::: >
An

ENI@

(14.74)

uk fa ! Bk g L{SOWMESTIMO. iZ (14.67) I (14.65) POLU^AEM: a Bk ] uk = Bk ] x = Ax :

A (14.33) \KWIWALENTNONERAWENSTWU

8 > < > :

a a2 ::: an

9 > = >b

(14.75)

(14.74) \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@ 8A 9 < 2= 14.6 L{ (14.76) : ::: ! (a ! b) 2 L An tEOREMA 8. pUSTX x { L{POLNOE MNOVESTWO, I a 2B. tOGDA iZ (14.76) IIZ L{SOWMESTIMOSTI x SLEDUET NERAWENSTWO 8a 9 a] x = a (14.68) < 2= a!b (14.77) dOKAZATELXSTWO. : ::: an pOSKOLXKU x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, TOEGOODNO\LEMENTNOE PODMNOVESTWO f a] x ! ag OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO b 2B IZ SOOTNO ENIQ (14.75) SLEDUET IZ (14.77) a!b 2L (14.69)

sWOJSTWA POLNYH MNOVESTW

72


wO WSEH NIVESLEDU@]IH RASSUVDENIQH MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO KALA B OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: 8a 2B (a ! 0) ! 0= a: (14.78) nETRUDNODOKAZATX, ^TO DANNOE SWOJSTWO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO B QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ, OPERACII WKOTOROJOPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ WSEH a b 2B
a ^ b def inf fa bg a _ b def supfa bg :a def a ! 0: = = =

DLQ KAVDOGO i =2 ::: n ai ! A

i

2x

(14.84)

w\TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNO ENI@

8A 9 < 2= B ! (: ::: ! b) 2 L An > A] x < > a2 > ::: : an > = >b >

(14.85)

dLQ KAVDOGO L{POLNOGOMNOVESTWA x, I KAVDOJ PARY FORMUL A B IMEET MESTO RAWENSTWO A ! B ] x = A] x ! B ] x dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14.79) DOKAZATX NERAWENSTWA A ! B ] x A] x ! B ] x I A] x ! B ] x A ! B ] x dOKAVEM NERAWENSTWO (14.80). dANNOE \KWIWALENTNONERAWENSTWU A ! B] x B]

tEOREMA 9.

A (14.33) \KWIWALENTNONERAWENSTWU 8 A ! B] 9 > > x > >

(14.86)

pOSKOLXKUFORMULA
A A!B !B DOSTATO^NO QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO A A!B !B 2L (14.80) iZ (14.85) I (14.87) SLEDUET, ^TO 8A 9 (14.81) < 2= A NERAWENSTWO ! (: ::: ! b) 2 L A!B An (14.79)

dOKAZATELXSTWO.

(14.87)

(14.88)

(14.82) sOOTNO ENIE (14.88) \KWIWALENTNO SOOTNO ENI@ x A] x 8A 9 > > A!B > > nERAWENSTWO (14.82) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI < = MNOVESTWA A2 !b 2L (14.89) > ::: > >A A :n > x f A]! B ] x ! B g (14.83) x pOSKOLXKUMNOVESTWO x POPREDPOLOVENI@ QWLQETSQ T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TODLQ L{POLNYM, TO KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.83), A] x ! A 2 x (14.90)

I KAVDOGO b 2B IZ (14.32) SLEDUET (14.33). tAK KAK x POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TODLQ DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII (14:32) ) (14:33) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI X TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID: A ! B] x ! B a1 ! A1 =
A] x

I

A ! B ] x ! (A ! B ) 2 x (14.91) iZ (14.89), (14.90), (14.91), (14.84) ISWOJSTWA L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA x WYTEKAET TRE BUEMOE NERAWENSTWO (14.86). tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14.81). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA x f( A] x ! B ] x) ! (A ! B )g (14.92) T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TODLQ KAVDOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.92),

I

73


KAVDOGO b 2B IZ (14.32) SLEDUET (14.33). tAK KAK x POPREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TODLQ DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII (14:32) ) (14:33) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI X TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID: a1 ! A1 = ( A] x ! B ] x) ! (A ! B ) DLQ KAVDOGO i =2 ::: n ai ! Ai 2 x (14.93) w\TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@

KAVDOGOKONE^NOGOPODMNOVESTWA MNOVESTWA (14.99) WIDA fc1 ! C1 ::: cm ! Cm g TAKOGO, ^TO 8 b!0 9 > < a2 > = c1 ! C1 = > ::: > ! A

>a :

n

>

I KAVDOGO d 2B IZ SOOTNO ENIQ

8i =2 ::: m

ci ! Ci 2 x

(14.100)

8A 9 < 2= (A ! B ) ! (: ::: ! b) 2 L An
a
2

(14.94)

8 > < > :

A (14.33) \KWIWALENTNONERAWENSTWU 8 A] ! B] 9 >x x> < =

SLEDUET NERAWENSTWO
(14.95)

A C2 ::: Cm

9 > = >!d 2L 9 > = > 9 > > > > = >d > > >

(14.101)

> ::: : an

>b

8 > > > > <

dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.95) DOSTATO^NO DOKAZATX \KWIWALENTNOE EMU NERAWENSTWO dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.102) DOSTATO^8 b!0 9 > > NODOKAZATX \KWIWALENTNOE EMU NERAWENSTWO < a2 = A] x (14.96) a2 ^ ::: ^ an B] x ! 0 > ::: > (b ! 0) ! d (14.103) : an c2 ^ ::: ^ cm iZ SOOTNO ENIQ (14.101) WYTEKAET SOOTNO ENIE dLQ TOGO, ^TOBY DOKAZATX NERAWENSTWO (14.96), DO8C 9 STATO^NODOKAZATX PARU NERAWENSTW: < 2= 8 b!0 9 A ! (: ::: ! d) 2 L > > I

> c2 > > ::: > : cm

8 > < > :

b!0 a2 ::: an

(14.102)

8C 9 2 dOKAVEM NERAWENSTWO (14.97). dANNOE NERAWENSTWO ((< ::: = ! d) ! B ) ! ( \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA : Cm 8 b!0 9 > pOSKOLXKUFORMULA < a2 > = 88C 99 x f> ::: > ! Ag (14.99) >< 2 => : an < ::: = > : Cm > ! T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TODLQ :
n

8 > < > :a

< a2 = > ::: > A] x : an 9 b!0 > a2 = B ] ! 0 x ::: >

(14.97)

IZ KOTOROGOSLEDUET SOOTNO ENI@

Cm

(14.98)

8C 9 < 2= ((: ::: ! d) ! B ) ! (A ! B ) 2 L (14.104) Cm
iZ (14.104) I (14.94) SLEDUET SOOTNO ENIE

8A 9 < 2= : ::: ! b) 2 L (14.105) An 8C 9 < 2= ((: ::: ! d) ! B ) Cm

d!B

74


QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TOONA PRINADLEVIT L. oTS@DA 1. IZ (14.94) IIZSOOTNO ENIQ IIZ (14.105) SLEDUET SOOTNO ENIE 8 d!B 9 B ! (A ! B ) 2 L < = A2 ^ ::: ^ An (14.106) SLEDUET SOOTNO ENIE : C2 ^ ::: ^ Cm ! b 2 L 8A 9 < 2= iZ (14.106), (14.93), (14.100) I IZ L{SOWMESTIMOSTI B ! (: ::: ! b) 2 L MNOVESTWA x WYTEKAET NERAWENSTWO An 8 d ! B] = 9 < x KOTOROE \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@ ^ ::: ^ n b : a22 ^ ::: ^ cam 8B 9 c >> < A2 = KOTOROE \KWIWALENTNONERAWENSTWU > ::: > ! b 2 L a2 ^ ::: ^ an : An d ! B] x ! b (14.107) c2 ^ ::: ^ cm dOKAVEM, ^TOIMEET MESTONERAWENSTWO 2. f( B ] x ! B ) (a2 ! A2 ) ::: (an ! An )g x, I d ! B ] x ! b (b ! 0) ! d (14.108) 3. x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM. (14.108) \KWIWALENTNONERAWENSTWU d ! B] x ! b d (14.109) b!0 tEOREMA 10. pUSTX tAK KAK IMEET MESTONERAWENSTWO x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO, I d ! B] x ! b d ! B] x ! 0 b!0 A B { PARA FORMUL. TO DLQ DOKAZATELXSTWA (14.109) DOSTATO^NODOKAZATX NEtOGDA IMEET MESTORAWENSTWO RAWENSTWO d ! B] x ! 0 d (14.110) A ^ B ] x = A] x ^ B ] x (14.115) (14.110) \KWIWALENTNONERAWENSTWU dOKAZATELXSTWO. d ! 0 d ! B] x (14.111) dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14.115) DOSTATO^NO dOKAVEM NERAWENSTWO (14.111). pOSKOLXKUFORMULA DOKAZATX NERAWENSTWA (d ! 0) ! (d ! B ) A ^ B ] x A] x A ^ B] x B] x (14.116) QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO, SLEDOWATELXNO, I (d ! 0) ! (d ! B ) 2 L (14.112) A] x ^ B ] x A ^ B ] x (14.117) iZ (14.112) IIZTEOREMY 5 SLEDUET NERAWENSTWO nERAWENSTWA (14.116) SLEDU@T IZ SOOTNO ENIJ d ! 0]]x d ! B ] x (14.113) (A ^ B ) ! A 2 L (A ^ B ) ! B 2 L iZ (14.113) IIZ TEOREMY 8 SLEDUET NERAWENSTWO (14.111). iZ ISTINNOSTI NERAWENSTWA (14.111) SLEDUET ISTINNOSTX NERAWENSTWA (14.108), A IZ ISTINNOSTI NERAWENSTW IIZ TEOREMY 5. (14.107) I (14.108) SLEDUET ISTINNOSTX NERAWENSTWA (14.103). nERAWENSTWO (14.117) SLEDUET IZ L{SOWMESTIMOSTI tAKIM OBRAZOM, L{SOWMESTIMOSTX MNOVESTWA (14.99) MNOVESTWA USTANOWLENA, I, SLEDOWATELXNO, NERAWENSTWO (14.97) DOx f( A] x ^ B ] x) ! (A ^ B )g KAZANO. tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14.98). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNONERAWENSTWU

8 > < > :

(14.114) IMEET MESTOPOTOMU, ^TO 75

B] x a2 ::: an

9 > = >b

(14.114)

tEOREMA 11.

pUSTX x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO, I A B { PARA FORMUL.


tOGDA IMEET MESTO RAWENSTWO

dOKAZATELXSTWO.

A _ B ] x = A] x _ B ] x

(14.118)

WL SOSTOIT IZ WSEH L{POLNYH MNOVESTW. dLQ KAVDOJ PARY x y 2 WL = Fm (14.125) WL (x y) def Ainf ( A] x $ A] y ) zAMETIM, ^TO IZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKAET
2

rAWENSTWO (14.118) \KWIWALENTNO RAWENSTWU
( A] x _ B ] x) ! 0= A _ B ] x ! 0 (14.119) (14.119) WYTEKAET IZ SLEDU@]IH SOOTNO ENIJ: A] x ! 0 ( A] x _ B ] x) ! 0 = = B] x ! 0 A] x ! 0]]x A ! 0]]x = = = B ] x ! 0]]x B ! 0]]x A!0 ] = = (A _ B ) ! 0]]x = B!0 x = A _ B ] x ! 0]]x = A _ B ] x ! 0

pUSTX x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO. dLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm IKAVDOGO\LEMENTA a 2B IMEET MESTONERAWENSTWO 2aA] x a: (14.120) iZ (14.6) SLEDUET SOOTNO ENIE (a ! 0) ! (2a A ! 0) 2 L IZ KOTOROGO, SOGLASNOTEOREMAM 5 I 8, SLEDUET STWO 2a A ! 0]]x a!0 pOSKOLXKU, SOGLASNOTEOREMAM 9 I 8, 2aA ! 0]]x = 2aA] x ! 0]]x = 2a A] x ! 0 TOIZ (14.122) I (14.123) SLEDUET NERAWENSTWO a!0 2aA] x ! 0 KOTOROE \KWIWALENTNO (14.120).

tEOREMA 12

.

SOOTNO ENIE 8x 2 WL WL (x)=1: (14.126) nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OPREDELENIE WL UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.14) I (14.15). dLQ KAVDOGO a 2B SIMWOL (RL)a OBOZNA^AET NE^ETKOE BINARNOE OTNO ENIE NA WL (RL)a : WL WL !B OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM: 8x y 2 WL def (RL)a (x y) = Ainf ( 2aA] x ! A] y) (14.127) Fm
2

dOKAZATELXSTWO.

(14.121) NERAWEN(14.122) (14.123)

nETRUDNO DOKAZATX, ^TOOPREDELENIE (RL )a UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.16) I (14.17). L { \TOOTOBRAVENIE WIDA L : P! Sub(WL ) GDE DLQ KAVDOGO p 2P NE^ETKOE PODMNOVESTWO L (p): WL !B OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
def (14.128) 8x 2 WL L (p)(x) = p] x: nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO p 2P OTOBRAVENIE L (p) UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.18) I

(14.19).

(14.124) 14.7.2

tEOREMA 13
-

oSNOWNOE SWOJSTWO KANONI^ESKIH MODELEJ
. A]](x)= A] x (14.129)

14.7
14.7.1

kANONI^ESKIE MODELI

dLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm I KAVDOGO x 2 WL

dOKAVEM DANNU@ TEOREMU INDUKCIEJ PO STRUKTURE FORMULY A. kANONI^ESKOJMODELX@ LOGIKI L NAZYWAETSQ MODELX A = p 2P ML def (WL f(RL)a j a 2Bg L ) = w\TOM SLU^AE RAWENSTWO (14.129) SLEDUET IZ (14.128). KOMPONENTY KOTOROJ OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
76

oPREDELENIE KANONI^ESKOJMODE LI

dOKAZATELXSTWO.


A = a 2B iZ (14.23), (14.126) I (14.68) SLEDU@T SOOTNO E-

NIQ

dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.134) DOSTATO^NODOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO y 2 WL
(RL )a (x y) 2a B ] x B] y (14.135)

a]](x)=

a WL (x)

=

a 1

= a = a] x

A= B ^C A = B_C A= B !C

pO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVENI@, 8x 2 WL B ]](x)= B ] x C ]](x)= C ] x: sOGLASNOTEOREME 10, IZ L{POLNOTY MNOVESTWA x SLEDUET SOOTNO ENIE B] x ^ C ] x = B ^ C ] x sLEDOWATELXNO,
A]](x)= B ^ C ]](x) def =
def

nERAWENSTWO (14.135) SLEDUET IZ SOOTNO ENIQ (14.127). tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14:132) (14:133). dLQ DOKAZATELXSTWA DANNOGONERAWENSTWA BUDET DOSTATO^NOPOSTROITX \LEMENT y 2 WL , TAKOJ, ^TO
a (RL)a (x y) ! B ] y

2a B ]

x

(14.136)

= B ]](x) ^ C ]](x)= B ] x ^ C ] x = = B ^ C ] x = A] x:

oBOZNA^IM SIMWOLOM u MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEHFORMULWIDA 2aA] x (14.137) 2aB ] x ! 0 ! A A TAKVEIZ FORMULY (14.138) ( 2aB ] x ! 0) ! (B ! 0)

sLU^AI A = B _ C I A = B ! C RAZBIRA@TSQ ANALOGI^NO. A = 2a B pO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVENI@, 8y 2 WL B ]](y)= B ] y : (14.130) dOKAVEM, ^TO\LEMENT 2aB ]](x) (14.131) SOWPADAET S \LEMENTOM 2aB ] x : (14.132) iZ (14.130), (14.126), I (14.27) SLEDUET, ^TO \LEMENT (14.131) SOWPADAET S \LEMENTOM

lEMMA.

dOKAZATELXSTWO.

mNOVESTWO u QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM. dOKAVEM, ^TODLQ KAVDOGOKONE^NOGOPODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA u, I KAVDOGO b 2B IZ (14.32) SLEDUET (14.33). sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA (14:138) 2 (14:31): pUSTX (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID: a1 ! A1 = (14:138) DLQ KAVDOGO i =2 ::: n ai = 2aAi]] x! 0 (14.139) 2aB x w\TOM SLU^AE (14.32) IMEET WID 8 B!0 9 > < A2 > = (14.140) > ::: > ! b 2 L

(a

y2WL

inf ((RL )a (x y) ! B ] y )

)

:

(14.133)

dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14:132) = (14:133) MY DOKAVEM, ^TO (14:132) (14:133), I

>A :

n

>

(14:132) (14:133). nERAWENSTWO (14:132) (14:133) SLEDUET IZ (14.120)

IIZ NERAWENSTWA 2aB ] x y inf L ((RL )a (x y) ! B ] y ) (14.134) W
2

77


iZ (14.140) WYTEKA@T 8 B!0 > < (b ! 0) ! (> A2 :::

SOOTNO ENIQ

>A :n 8A 9 < 2= (b ! 0) ! (: ::: ! B ) 2 L An 82A 9 < a2= (b ! 0) ! (: ::: ! 2a B ) 2 L 2a An 8 2A] 9 < a 2x = ! 2a B ] x b ! 0 : ::: 2aAn ] x

9 > = > ! 0) 2 L

nERAWENSTWO (14.144) \KWIWALENTNOISKOMOMU NERAWENSTWU (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ.

) ) )

pUSTX SIMWOL y OBOZNA^AET L{POPOLNENIE MNOVESTWA u. iZ OPREDELENIQ MNOVESTW u I y SLEDUET, ^TO 2aB ] x ! 0 B ! 0]]y = B ] y ! 0 (14.145) I DLQ KAVDOJFORMULY A 2 Fm 2aA] x A] y : (14.146) 2aB ] x ! 0 iZ (14.145) SLEDUET NERAWENSTWO B ] y 2a B ] x: (14.147) iZ (14.146) SLEDUET, ^TO 8A 2 Fm 2aB ] x ! 0 2aA] x ! A] y (14.148) iZ (14.148) I (14.127) SLEDUET NERAWENSTWO
a 2aB ] x ! 0 (RL )a (x y): (14.149)

pOSLEDNEE NERAWENSTWO \KWIWALENTNONERAWENSTWU 8 b!0 9 > < 2a A2 ] x > = 2aB ] x : (14.141) > ::: : 2a An ] x > iZ (14.141) SLEDUET NERAWENSTWO 8 2 B] ! 0 9 > ax > < 2aA2] x = b: (14.142)

> ::: : 2aAn]

x

>

(14:31).

nERAWENSTWO (14.142) \KWIWALENTNO ISKOMOMU NERAWENSTWU (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ. tEPERX RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA (14:138) 62

iSKOMOE NERAWENSTWO (14.136) SLEDUET IZ (14.147), (14.149), IIZNERAWENSTWA 9 8a < = a c (14.150) : c!0 !c GDE c def 2aB ] x . = dOKAVEM NERAWENSTWO (14.150). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNONERAWENSTWU
c!0

tAK KAK FORMULA 8 B!0 9 > > < =

> ::: :A

A1

n

8A 9 < 1= ! : ::: > An

QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO IZ (14.32) SLEDUET SOOTNO ENIE 8 B!0 9 > < A1 > = (14.143) > ::: > ! b 2 L

>A :

kAK UVEBYLOPOKAZANOWY E W DANNOMDOKAZATELXSTWE, IZ POSLEDNEGO SOOTNO ENIQ WY14.8 FK TEKAET NERAWENSTWO 8 2 B] ! 0 9 tEOREMA 14. > ax > < 2aA1] x = dLQ KAVDO (14.144) \KWIWALENTNY:J FORMULY A 2 Fm SLEDU@]IE USLOWIQ > ::: > b: : 2aAn] x A 2 FK (14.153)

n

>

c!0 > = a 0 a !c > c!0 KOTOROE, O^EWIDNO, ISTINNO.

T.E.

8a 9 < = a : c ! 0 ! c ! 0 (14.151) 9
(14.152)

8 > < > :

pOLNOTA LOGIKI

78


dOKAZATELXSTWO.
iMPLIKACIQ

A ISTINNA W KAVDOJMODELI.

(14.154)

TINNOJWNEKOTOROJTO^KE KANONI^ESKOJMODELI LOGIKI
FK .

(14:153) ) (14:154) BYLA OBOSNOWANA W PARAGRAFE 14.3.4. dOKAVEM, ^TO ESLI A 62 FK , TO A NE QWLQETSQ IS-

lEMMA.

dOKAZATELXSTWO.

mNOVESTWO f( A] FK ! 0) ! (A ! 0)g QWLQETSQ FK {SOWMESTIMYM.

(14.155)

dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOGO b 2B IZ SOOTNO ENIQ (A ! 0) ! b 2 FK (14.156) SLEDUET NERAWENSTWO A] FK ! 0 b (14.157) iZ (14.156) SLEDU@T SOOTNO ENIQ (b ! 0) ! A 2 FK ) b!0 A] FK ) A] FK ! 0 b tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO (14.155) FK {SOWMESTIMO.

sOGLASNOTEOREME 7, IZ FK {SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA (14.155) SLEDUET, ^TO 9x 2 WFK : A] FK ! 0 A ! 0]]x (14.158) tAK KAK MNOVESTWO x QWLQETSQ FK {POLNYM, TOSOGLASNOTEOREME 9 IZ (14.158) SLEDUET, ^TO A ! 0]]x = A] x ! 0]]x = A] x ! 0 (14.159) iZ (14.129), (14.158) I (14.159) WYTEKAET SOOTNO ENIE A] FK ! 0 A]](x) ! 0 (14.160) KOTOROE \KWIWALENTNOSOOTNO ENI@ dOKAVEM, ^TO FORMULA A NE QWLQETSQ ISTINNOJ W TO^KE x. eSLI A ISTINNA W x, TOIZ (14.28) I (14.126) SLEDUET ^TO
FK . A]](x) A] FK (14.161)

A]](x)= 1 iZ (14.161) I (14.162) SLEDUET RAWENSTWO A IZ KOTOROGO WYTEKAET SOOTNO ENIE A 2 FK , PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO A 62

(14.162) ] FK =1,

KOTOROE

79