Вообще же говоря, наш "подготовительный семинар" уже функционирует, так как желающий заниматься математикой вместе со мной откликнулся на это мое объявление практически сразу.
А для потенциальных новичков приведу примеры разобранных на нашем семинаре задач, дабы все заинтересовавшиеся могли представить себе, чем конкретно мы занимаемся.
Задача первая.
Дана очень длинная труба. С обоих концов в нее одновременно заталкивают по 100 шариков, чей радиус чуть меньше радиуса поперечного сечения трубы. Все соударения этих шариков внутри трубы можно считать абсолютно упругими. Требуется определить, сколько произойдет соударений до того момента, пока все шарики не выскочат из трубы.
Задача вторая.
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник m на n клеток, причем числа m и n взаимно просты и m<n. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найти все возможные значения m и n.
Задача третья.
Пусть 2n точек расположены по кругу. Первые n из которых - синего цвета, а n последних - красного. Нужно доказать, что всегда найдется целое m (зависящее от n), такое, что если, двигаясь по кругу, мы вычеркиваем каждую m-тую точку, то первыми будут вычеркнуты все красные точки.
Задача четвертая.
Отрезок CD - общая хорда двух окружностей. Хорда BD первой окружности лежит на касательной ко второй окружности, а хорда AC второй окружности - на касательной к первой окружности. Найти длину хорды DC, если BC=4, AD=9.
Задача пятая.
Решить уравнение:
$x^5+5*x^3+5*x-1$.
Задача шестая.
Угол обзора Таниного фотоаппарата равен девяноста градусам, т. е. Таня фотографирует произвольный прямой угол (граница угла тоже попадает на снимок). В городе несколько небоскребов. Таня заметила, что с каждого из них она может сфотографировать не более пяти других небоскребов. Какое наибольшее число небоскребов может быть в городе, если никакие три из них не лежат на одной прямой? (Небоскребы можно считать точками на плоскости).
Задача седьмая.
Дана система уравнений:
$(x-a)(y-a)(z-a)=d$,
$(x-b)(y-b)(z-b)=d$,
$(x-c)(y-c)(z-c)=d$.
Известно, что a, b и c попарно различны.
Пусть
$(x_0,y_0,z_0)$ - одно из решений системы.
Найти, чему будет равна сумма
$x_0^3+y_0^3+z_0^3$.
Задача восьмая.
Первоклассник Петя не знает никаких других цифр, кроме единицы. Доказать, что он сможет написать число, делящееся на 1989.
Задача девятая.
Найти сумму всех семизначных чисел, в которых все цифры от единицы до семерки встречаются ровно по одному разу.
Задача десятая.
В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 литров каждый, содержится всего 34 литра спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если полученная смесь во втором сосуде содержит на 2 литра спирта меньше, чем в первом?
Задача одиннадцатая.
Доказать, что
$x^m+x^{-m}$ является многочленом степени m от
$x+x^{-1}$.
Задача двенадцатая.
Простым графом G называется пара (V(G), E(G)), где V(G) - непустое конечное множество элементов, именуемых вершинами, а E(G) - конечное множество ребер - неупорядоченных пар различных элементов из V(G), причем разным ребрам соответствуют разные неупорядоченные пары вершин.
Распределением меток в простом графе G с n вершинами называется взаимно однозначное соответствие между множествами V(G) и {1, ... , n}.
Помеченным простым графом называется пара (G, f), где G - простой граф, а f - распределение меток в G.
Сколько существует помеченных простых графов с n вершинами?
Редактировалось 3 раз(а). Последний 20.08.2009 17:28.
