Не возьму в толк!

Возможно, аксиомы Пиано прольют некоторый свет

Совсем не требуется размышлять над понятиями времени и пространства, если вы хотите отличить один киви от ста (извените, про яблоки уже всем надоело).
P.S.: боюсь мои рассуждения над этими понятиями могут показаться еще более жалкими. :)).

Вы думаете я не понимаю, что они разные? Приходя в магазин, я смотрю на качество фруктов, если оно меня в среднем устраивает, то я экстраполирую средние значение на каждый из фруктов.
А, например, один рваный доллар в сберкассе стоит на три процента меньше целого ). Мы просто договариваемся о том, что считать за единицу, а уже что делать с этими единицами решает математика.
Самое главное, надо помнить, что сначало люди определили, что некоторые предметы похожи, а потом уже придумали арифметику, а не наоборот!
Вообще Пиано всего лишь формализовал понятия, которые человек интуитивно понимал уже несколько тысяч лет.

О числах самих по себе говорить бессмысленно. Можно говорить только о выражениях вида a=n, где n - число.

а=0 означает, что а не существует.
а=1 означает, что а существует и его можно хотя бы представить себе. 1, таким образом, становится индикатором существования, и складывать его с другим индикатором не имеет смысла кроме того, что получаешь существование чего-то, некоего объекта, т.е. единицу.
С другой стороны, полученный объект (назовем его с) может быть разделен на объекты, его составляющие, т.е. для него выполнено равенство с=2 (ведь 2 - индикатор потенциальной разделимости, показывающий, что объект можно раздожить на части). Поэтому 1+1=2.
Получаем, что 1+1=1 и 1+1=2.
Далее, 3 является индикатором того, что объект, единожды разделенный, может быть разделен еще раз (Имеется в виду любая из его частей). Поэтому 1+1+1=3 и 1+1+1=2 и 1+1+1=1.
И так далее.

Видимо, люди в своем наивном убеждении, что однозначность ведет к строгости, договорились считать результатом сложения максимальный из индикаторов.

Я думаю, так.

Можешь спать спокойно.

Масса наивных заблуждений.
Когда ты "разделяешь" единицу на две, то должен указать, чем одна отличается от другой. Если тебе это удастся, то сразу возникнет третье - само это отличие, по определению не совпадающее ни с первой единицей, ни со второй. И так далее ad infinitum.
Теперь представь, что перед тобой куча глебкиных киви.
Из аксиомы Пеано следует, что в куче существует первый плод.
Из другой аксиомы следует, что в куче существует плод, следующий за первым и т.д.
Но можешь ли ты выбрать из кучи эти плоды ?
Ведь по-существу у тебя нет предпочтения для выбора того или иного киви.
И в действительности ты замрешь в положении буриданова осла, пока некий божественный импульс не побудит твою руку потянуться к какому-то определенному плоду.
Еще одно замечание.
Аксиом Пеано несколько, и они следуют одна за другой. Т.е. уже в самом построении аксиом присутствует понятие натурального ряда ! Еще до того как он определен !
Остается только развести руками и признать, что математика строится на песке, а в мире присутствует божественное провидение.

Второе и третье соображения я сразу отметаю, потому что они не соответствуют содержанию спора. А первое содержит ответ на твой вопрос в себе самом. 1+1, говоришь ты, равняется 1. Нет, 1+1 не равняется 1, потому что складывая 1 и 1, возникает второе - само это сложение, которое не совпадает ни с одной из наших единичек. И так далее ad infinitum. :) Единица, может, и не несет в себе никакой информации о себе самой, но при операциях с ней появляются новые связи, которые совершенно точно отличны от единицы. И тут уже неважно, есть между ее частями отличие или нет. И в определении двойки тоже неважно, отличим мы продукты расщепления друг от друга или нет. Конечно, отличим! Иначе не смогли бы отделить их друг от друга, поскольку они - одно.

Я думаю, так.

Может, в них стучат сердца братьев Черепановых?