1)
а)Сначала пусть k и n взаимно просты. Тогда утверждение задачи следует из того, что из элементов a^k, a^(k*2), ..., a^(k*n) нет повторяющихся.
б) Для произвольного k, положим k = m*НОД(n,k), где m и n, взаимно просты. Тогда, порядок элемента a^m равен n (пункт а)), а порядок a^k равен n/ НОД (n,k) т.к он очевидно делит n/ НОД (n,k), но в то же время не может быть меньше n/ НОД (n,k)
2) Если в бесконечной группе все циклические подгруппы конечные, то их очевидно бесконечное количество. Если найдется хоть одна бесконечная циклическая подгруппа, порожденная элементом g, то можно явно указать
счетное число подгрупп.
<e, g, g^2,g^3,...>
<e,g^2,g^4, g^6,...>
<e, g^4,g^8, g^12...>
..........................
