MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Исходя из симплициального многогранника K, или более общего комбинаторного объекта, например, веера или даже абстрактного симпициального комплекса, можно построить несколько различных типов пространств с действием тора. Общим свойством всех этих "торических пространств" является то, что структура их пространства орбит определяется комбинаторикой K. Возникающие здесь примеры включают алгебраические торические многообразия, гладкие или топологические квазиторические многообразия (введенные Дэвисом и Янушкиевичем), конфигурации координатных подпространств и их дополнения, а также так называемые универсальные момент-угол комплексы и многообразия. Как обычные так и эквивариантные когомологии этих торических пространств могут быть описаны в комбинаторных терминах, что также открывает возможность изучения комбинаторных инвариантов K топологическими методами.

Ряд интересных явлений возникает и при изучении эквивариантной топологии торических пространств. Соответствующие конструкции Бореля, как и сами пространства с действием тора, допускают регулярное категорное описание в терминах копределов (прямых пределов) различных функторов (диаграмм) из категории граней K в различные топологических или алгебраические категории. В частности, конструкции Бореля, ассоциированные со всеми вышеперечисленными торическими пространствами гомотопически эквивалентны копределам диаграмм классифицирующих пространств торов. Когомологии такого копредела совпадают с кольцом Стенли-Рейснера комплекса K, возникающим в алгебраическом подходе Стенли к комбинаторике симплициальных комплексов. Оказывается, что для некоторых хороших K (а именно, для флаговых комплексов K) копределы диаграмм торов и классифицирующих пространств торов согласуются (в том смысле, что классифицирующее пространство для копредела групп является копределом классифицирующих пространств, или "B colim=colim B"). Если K не является флаговым комплексом, то два копредела более не согласуются и соответствующие препятствия определяются высшими произведениями Уайтхеда и Самельсона. Наконец, для общего комплекса K от несогласованности между диаграммой групп и диаграммой классифицирующих пространств можно избавиться, заменив копредел на его гомотопический аналог - гомотопический копредел, конструкции которого в последнее время стали объектом пристального внимания в теории гомотопий.

Доклад построен на основе совместных работ с В.М.Бухштабером, Н.Рэем (N.Ray) и Р.Фогтом (R.Vogt).

Московское Математическое Общество