MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

В теории представлений можно выделить две основные задачи:
1) описание неприводимых представлений и
2) разложение некоторых естественных представлений (например, регулярного) на неприводимые компоненты. Вторую задачу, по аналогии с анализом Фурье, часто называют некоммутативным гармоническим анализом.

В докладе будет рассказано о новых результатах, связанных с гармоническим анализом на "больших" группах, у которых неприводимые представления зависят от бесконечного числа параметров. Сама возможность построения содержательной теории для таких групп была далеко не очевидна, поскольку для них теряют силу многие привычные методы и конструкции.

Оказывается, однако, что существуют "большие" группы с чрезвычайно богатой структурой, позволяющей развить новый технический аппарат. И самое главное - их систематическое изучение выявляет новые связи теории представлений с другими областями математики:
асимптотической комбинаторикой, классическим анализом,
теорией вероятностей.

Цель доклада - объяснить, как ставится и решается задача гармонического анализа для простейшей "большой" группы - группы финитных перестановок натурального ряда. Успех был достигнут благодаря переформулировке задачи на вероятностном языке (по известному изречению Гиббса, математика - это язык). Конечный результат приводит к новым примерам точечных случайных процессов и демонстрирует неожиданную связь исходной задачи с теорией случайных матриц.

Точечные случайные процессы - это вероятностные меры на пространстве счетных точечных конфигураций. Им посвящен недавний обзор А. Сошникова в УМН. Все необходимые понятия будут подробно объяснены.

Московское Математическое Общество