MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 25 марта 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

О.В.Шварцман
Свободные алгебры автоморфных форм. (Студенческие чтения)

Линейное преобразование комплексного векторного пространства называется отражением, если его порядок конечен, а коразмерность множества неподвижных векторов равна единице.

Рассмотрим конечную линейную группу $G$, действующую в $mathbb C^2$. Через $A$ обозначим алгебру полиномиальных функций в $mathbb C^2$, и пусть $I$ - ее подалгебра, состоящая из $G$-инвариантных полиномов. Свойства таких алгебр изучаются в классической теории инвариантов - хорошо развитой науке с впечатляющими достижениями. Одно из них - теорема Шевалле о свободе:

Если группа $G$ порождается отражениями, то алгебра $I$ свободна.

Речь пойдет об обобщении этого факта в ситуации, когда в открытом конусе $K$ в $mathbb C^2$ действует линейная группа $G$, порожденная отражениями. При этом требуется, чтобы проективизация конуса была односвязной областью на сфере Римана $mathbb P^1(mathbb C)$, а группа G действовала там дискретно и кокомпактно.

Теперь роль $A$ играет алгебра функций, голоморфных в конусе и полиномиальных на прямых, а подалгебра инвариантов $I$ больше известна под именем алгебры $G$-автоморфных форм. Главный результат докладчика касается необходимых и достаточных условий для свободы алгебр автоморфных форм.

Алгебры классических автоморфных форм для фуксовых групп интенсивно изучались в 80-е годы прошлого века в связи с теорией унимодальных особенностей В.И.Арнольда (пионерская работа И.В.Долгачева и последовавшие за ней публикации Ф.Ваграйха, Дж.Милнора, И.Г.Щербак и других). Вопрос о свободе в них не ставился, а между тем, зная на него ответ, можно по-новому взглянуть на результаты этих авторов.

Все нужные определения и разъяснения будут даны по ходу доклада.

Московское Математическое Общество