MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Недавний прогресс в теории случайных блужданий на группах связан с более глубоким пониманием ее связей с эргодической теорией, геометрией и геометрической теорией групп. Выяснилось, например, что энтропия случайного блуждания, определенная в начале 70-х годов, является энтропией канонически связанного с этим блужданием процесса, пространством состояний которого является граница Пуассона группы. В докладе будет рассказано о связи энтропии, роста в группе и скорости приближения траектории блуждания к границе.

Описание границ блуждании (т.е. ограниченных гармонических функций) и границ Мартина - одна из наиболее важных и трудно продвигающихся проблем. Классический пример (Дынкин-Малютов) свободной группы почти до сих пор оставался, чуть ли не единственным примером обозримого ответа.

Недавно в работах Каймановича и Мазура доказано совпадение границ Пуассона с групповыми границами для гиперболичексих групп и групп классов отображений поверхности (границей Терстона).

Однако даже в этих случаях и большинстве других (включая важный пример групп кос) явные вычисления до сих пор встречают большие трудности. Часто помогает геометрический подход к проблеме; так, для свободных метаабелевых групп недавно найдена новая геометрическая реализация, которая позволяет ответить на вопрос о границе группы. Можно предположить также, что здесь будет полезна теория автоморфных групп (Д.Эпштейн и др.). Вполне возможно, что прогресс в описании групповых границ - дело недалекого будущего.

Московское Математическое Общество