MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 11 октября 2005 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16–24 Главного здания МГУ)

В.И. Питербарг
Выбросы гауссовских полей: теоремы сравнения, геометрические вероятности и эйлеровы характеристики.

Линии высокого уровня траекторий гауссовского гладкого однородного случайного поля могут быть с большой точностью аппроксимированы случайным пуассоновским полем эллипсоидов. При этом в фиксированный объем с доминирующей вероятностью попадает не более одного такого эллипсоида. Формализация этого утверждения дает теорема сравнения, обнаружившая неожиданно высокую близость вероятностей выбросов двух гауссовских полей за высокий уровень, рассматриваемых в соответствующей фазово-временной шкале. Этот результат дает возможность применить методы геометрических вероятностей (в частности, теорему Хадвигера) к получению асимптотических разложений для вероятностей высоких выбросов на выпуклых множествах в терминах функционалов Минковского и полиномов Эрмита.

Впоследствии этот результат был получен путем прямого вычисления статистических моментов эйлеровых характеристик линий уровня. Это дает дополнительную информацию о геометрии линий высокого уровня траекторий гауссовского случайного поля.

В докладе будут даны определения и формулировки используемых результатов, исторический обзор, а также объяснены методы и идеи доказательств вышеупомянутых утверждений.

V.I. Piterbarg
Excursions of Gaussian fields: comparison theorems, geometric probabilities and Euler characteristics.

High level lines of a Gaussian homogeneous random field can be approximated with high precision by a Poisson random field of ellipsoids. Furthermore a fixed set contains at most one such an ellipsoid, with dominating probability. A comparison theorem gives rigorous formalization of the above assertions. It exhibits unexpectedly high closeness of high excursion probabilities for two Gaussian fields, under a proper phase-time affine transformation. This result allows applying methods of geometric probabilities (in particular, Hadwiger’s theorem) to get asymptotic expansions for high excursion probabilities in terms of Minkowsky functionals and Hermit polynomials.

Subsequently this result has been obtained by direct calculation of moments of Euler characteristics of high level lines, this gives an additional information about the geometry of high level sets of Gaussian random fields.

Definitions, formulations of used results and historical review will be given as well as methods and ideas of proofs of the abovementioned assertions.

Московское Математическое Общество