MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Число изолированных комплексных корней полиномов (и, более общо, алгебраических функций от одной переменной) явно оценивается сверху через их степени. Похожими свойствами могут при некоторых условиях обладать расширения Пикара-Вессио, полученные присоединением к полю рациональных функций $bold C(t)$ трансцендентных решений фуксовых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами, имеющими только простые полюса.

Важность подобной постановки связана с так называемой инфинитезимальной проблемой Гильберта о числе нулей полных абелевых интегралов ("линеаризацией" задачи о числе предельных циклов полиномиальных систем на плоскости). Как хорошо известно, аналитическое продолжение этих интегралов удовлетворяет уравнениям Пикара--Фукса из рассматриваемого класса.

Основной результат, полученный совместно с Д. Новиковым, устанавливает достаточные условия такой "квазиалгебраичности" в терминах спектра операторов монодромии исходной фуксовой системы.

Московское Математическое Общество