Новости

версия для печати

Традиционно исчислительная геометрия считается ветвью алгебраической геометрии, а именно - теории пересечений. Современная теория пересечений с ее методами особых схем, раздутий и избыточных пересечений настолько сложна и технична, что доказательство даже простейших геометрически наглядных утверждений занимает большое количество страниц, исчерченных формулами и коммутативными диаграммами.

Например, количество плоскостей в $CP^3$, касающихся фиксированной поверхности степени $d$ общего положения в трех различных точках, вычислено Сальмоном еще в XIX веке, однако доказательство, которое удовлетворило бы современных алгебраистов, получено сравнительно недавно. Вместе с тем аналогичные числа для гиперповерхностей в $CP^4$, $CP^5$,... вплоть до последнего времени были неизвестны.

В докладе будет предложен альтернативный подход, мотивировка которого лежит в топологии, точнее, теории кобордизмов и теории когомологических операций. Новые формулы, полученные на этом пути, существенно увеличивают количество решенных задач исчислительной геометрии.

Основная идея состоит в том, чтобы переформулировать исходную задачу как задачу о подсчете тех или иных особенностей гладкого отображения. В свою очередь, при исследовании общих гладких отображений и их особенностей можно применять топологические методы. Хорошо известно, что топологические методы зачастую гораздо проще и быстрее приводят к желаемому ответу, хотя их применение ограничивает работой над полем комплексных чисел.

Например, изучая классы когомологий, двойственные циклам локальных особенностей, Р. Том обнаружил, что эти классы должны выражаться как универсальные многочлены (называемые многочленами Тома) от классов Чженя многообразий, участвующих в отображении. Теорема о существовании многочленов Тома хорошо известна в среде алгебраических геометров, однако ее значение явно недооценено. Насколько мне известно, ее доказательство, не использующее топологических аргументов, до сих пор не опубликовано.

Топологические идеи Тома развивались Сючем и Римани в Будапеште, и, независимо, - Арнольдом, Васильевым, Казаряном в Москве. Недавно оба подхода соединились в общую теорию, ставшую мощным дополнением к методам алгебраической геометрии.

Аналогом теоремы Тома для мультиособенностей является утверждение о том, что классы, двойственные циклам мультиособенностей, выражаются как универсальные многочлены от так называемых классов Ландвебера-Новикова отображения. Коэффициенты этих многочленов можно найти, рассмотрев достаточное количество примеров, в которых как классы, двойственные (мульти)особенностям, так и характеристические классы Чженя-Ландвебера-Новикова вычисляются явно. Эти примеры очень далеки от тех исчислительных задач, к которым применяются полученные многочлены. По-видимому, именно в этом и заключается причина того, что эти формулы не были известны ранее.

Следует признать, что обсуждаемый метод еще пока не получил строгого теоретического обоснования, однако различные эвристические соображения и огромное количество численных подтверждений позволяют не сомневаться в его справедливости.

Московское Математическое Общество

Последние обновления