| 21.02.02 11:38 |
Заседание Московского Математического Общества 26 февраля 2002 г. |
версия для печати
Заседание Московского Математического Общества 26 февраля 2002 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ).
А.С.Черный. Сингулярные стохастические дифференциальные уравнения
В докладе рассматриваются одномерные однородные стохастические
дифференциальные уравнения вида
$$
X_t=x_0+int_0^t b(X_s),ds+int_0^tsigma(X_s),dB_s,quad tge0,eqno(*)
$$
где $b$: ${mathbb R}to{mathbb R}$,
$sigma$: ${mathbb R}to{mathbb R}$,
$x_0in{mathbb R}$.
Напомним, что (слабым) решением этого уравнения называется
такой случайный процесс $X$, что найдется броуновское движение $B$,
для которого выполнено равенство~$(*)$.
(Слабая) единственность понимается в том смысле, что для любых решений
$X$ и $widetilde X$ распределения процессов $X$ и $widetilde X$
совпадают.
Существует обширная теория, относящаяся к существованию и единственности
решений уравнений вида $(*)$, а также более общих стохастических
дифференциальных уравнений. Для уравнений вида $(*)$
одним из лучших известных достаточных условий существования
и единственности решения является условие Энгельберта--Шмидта.
Оно состоит в том, что функция $(1+|b|)/sigma^2$ локально
интегрируема на вещественной прямой.
Однако и в теории, и в практике часто возникают стохастические
дифференциальные уравнения, для которых это условие нарушается
(в частности, использование таких уравнений необходимо, если
требуется, чтобы решение было неотрицательным). Они и названы в докладе
{it сингулярными/} стохастическими дифференциальными уравнениями.
Для таких уравнений вводится понятие {it особой/}
(или {it сингулярной/}) точки и объясняется, почему эти
точки действительно являются ``особыми". Для {it изолированных/}
особых точек удается провести полную качественную
классификацию.
В основу классификации положено исследование того,
может ли решение выйти из этой точки, может ли оно достичь этой точки,
может ли оно быть продолжено после достижения этой точки, и~т.,д.
Согласно построенной классификации, любая изолированная особая точка
имеет один из 48 возможных типов, причем тип точки легко вычисляется
по коэффициентам $b$ и $sigma$ исходного уравнения.
Обнаружено, что изолированные особые точки 44-х из 48-и возможных типов
не нарушают единственности решения.
Точки же оставшихся 4 типов (они названы {it точками ветвления/})
нарушают единственность, что приводит к появлению большого
числа ``плохих" решений. Выделение точек ветвления является одним из
самых интересных следствий данной классификации.
Построенная классификация проиллюстрирована на примере уравнений, для
которых коэффициенты $b$ и $sigma$ являются степенными функциями.
Специальных знаний для понимания доклада не требуется.
Московское Математическое Общество
Последние обновления
|
Темы
RSS ленты