Задачки

Условие

На одном столе лежат несколько карт, причем рубашкой вниз лежат ровно 10 карт. Человек с повязкой на глазах (на ощупь нельзя определить, какой стороной лежит карта) может подойти к столу, взять несколько карт со стола и переложить на второй стол, при этом возможно переворачивая некоторые из них. Эту операцию разрешается повторять несколько раз (при этом можно брать карты, как с первого, так и со второго стола). Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было поровну карт, лежащих рубашкой вниз?

Подсказка

Посмотрите, что будет, если переложить одну карту, перевернув ее.

Решение

Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Пусть среди этих карт оказалось k лежащих рубашкой вниз и 10-k лежащих рубашкой вверх. Тогда после перекладывания на втором столе станет 10-k карт, лежащих рубашкой вниз (поскольку карты при перекладывании переворачиваются). На первом же столе останется 10-k карт, лежащих рубашкой вниз (было 10, из них k штук забрали). Таким образом, мы получили то, что требуется в условии задачи.

МЦНМО