Примером жесткой модели является
таблица умножения. Простейший
пример мягкой модели -- принцип
"чем дальше в лес, тем больше
дров". Возможность полезной
математической теории мягких
моделей открыта относительно
недавно. В докладе на простейших
примерах будет показано, как эта
теория может применяться в
экономических, экологических и
социологических моделях.
В простейшей модели
борьбы двух противников (скажем,
двух армий) --
модели Ланкастера--
состояние системы описывается
точкой (x,y) положительного
квадранта плоскости. Координаты
этой точки, x и y -- это
численности противостоящих армий.
Модель имеет вид
Здесь a -- мощность оружия
армии x, а b -- армии y.
Попросту говоря, предполагается,
что каждый солдат армии x
убивает за единицу времени a
солдат армии y (и,
соответственно, каждый солдат
армии y убивает b солдат
армии x). Точка над буквой здесь
и далее означает производную
по времени t, то есть скорость
изменения обозначенной буквой
величины.
Это -- жесткая модель,
которая допускает точное решение
,
axdx=bydy, ax2-by2=const.
Эволюция численностей армий x
и y происходит вдоль гиперболы,
заданной этим уравнением (рис. 1). По
какой именно гиперболе пойдет
война, зависит от начальной точки.
|
Рис. 1. Жесткая модель войны |
Эти гиперболы разделены прямой . Если
начальная точка лежит выше этой
прямой (случай 1 на рис. 1), то
гипербола выходит на ось y. Это
значит, что в ходе войны
численность армии x уменьшается
до нуля (за конечное время). Армия y
выигрывает, противник уничтожен.
Если начальная точка лежит ниже
(случай 2), то выигрывает армия x.
В разделяющем эти случаи состоянии
(на прямой) война заканчивается ко
всеобщему удовлетворению
истреблением обеих армий. Но на это
требуется бесконечно большое
время: конфликт продолжает тлеть,
когда оба противника уже
обессилены.
Вывод модели таков: для борьбы с
вдвое более многочисленным
противником нужно в четыре раза
более мощное оружие, с втрое более
многочисленным -- в девять раз и т. д.
(на это указывают квадратные корни
в уравнении прямой).
Ясно, однако, что наша людоедская
модель сильно идеализирована и
было бы опасно прямо применять ее к
реальной ситуации. Возникает
вопрос -- как изменится вывод, если
модель будет несколько иной.
Например, коэффициенты a и b
могут быть не строго постоянными, а
могут, скажем, зависеть от x и от y.
И точный вид этой зависимости нам
может быть неизвестен.
В этом случае речь идет о
системе
которая уже не решается явно.
Однако в математике разработаны
методы, позволяющие сделать выводы
общего характера, и не зная точно
явного вида функций a и b. В
этой ситуации принято говорить о
мягкой модели -- модели, поддающейся
изменениям (за счет выбора функций a
и b в нашем примере).
Общий вывод в данном случае есть
утверждение о структурной
устойчивости исходной
модели: изменение функций a и b
изменит описывающие ход военных
действий кривые на плоскости (x, y)
(которые уже не будут гиперболами и
разделяющей их прямой), но это
изменение не затрагивает основного
качественного вывода.
Вывод этот состоял в том, что
положения "x выигрывает" и
"y выигрывает" разделены
нейтральной линией "обе армии
уничтожают друг друга за
бесконечное время".
Математики говорят, что топологический тип
системы на плоскости (x,y) не
меняется при изменении функций a
и b: оно приводит лишь к
искривлению нейтральной линии (рис.
2).
|
Рис. 2. Мягкая модель войны |
Этот математический вывод не
самоочевиден. Можно представить
себе и другую ситуацию, например,
изображенную на рис. 3.
Математическая теория структурной
устойчивости утверждает, что эта
ситуация не реализуется, во всяком
случае для не слишком
патологических функций a и b
(скажем, она не реализуется, если
это -- положительные в нуле
многочлены).
|
Рис. 3. Нереализуемая модель войны |
Мы можем сделать вывод о
качественной применимости
простейшей модели войны для
приближенного описания событий в
целом классе моделей, причем для
этого даже не нужно знать точного
вида жесткой модели: выводы
справедливы для мягкой модели. На
самом деле простейшая модель дает
даже полезное количественное
предсказание: наклон разделяющей
нейтральной прямой в нуле
определяется формулой , где a и b --
значения коэффициентов в нуле.
То есть принцип "если
противников вдвое больше, то надо
иметь в четыре раза более мощное
оружие" справедлив на конечном
этапе взаимного истребления, в то
время как на начальном этапе войны
число 4 нужно, быть может,
откорректировать (учитывая вид
коэффициентов a и b). Для этой
корректировки в математике мягких
моделей тоже разработаны
эффективные методы (несмотря на то,
что явная формула для решения
уравнений модели не только
неизвестна, но и -- это строго
доказано -- не существует вовсе).
Можно думать, что описанная
модель отчасти объясняет как
неудачи Наполеона и Гитлера, так и
успех Батыя и
надежды мусульманских
фундаменталистов.
Следующий раздел
Посмотреть комментарии[1]
|