10. Современные проблемы математического образования на Западе

В настоящее время делаются различные попытки (в том числе и при поддержке ICMI) улучшить математическое образование на Западе. Но проблемы, которые предстоит решать, трудны, в частности, и потому, что они стали хроническими. В процессе соревнования с Россией движение "новая математика" рассматривалось как способ принести в школы университетскую математику. В 1981 году, сравнивая американское и советское математическое образование, Исаак Вирсуп заметил, что за 10 лет обязательного образования советские школьники изучали математику на 1-2 года больше, чем американские; геометрию в СССР преподавали на 8 лет дольше, чем в Америке, а математический анализ на 1-2 года дольше [14, стр 360]. Вирсуп заключил, что по объему и содержанию программы по математике СССР превосходил все другие страны, в том числе США [14, стр 358].

До сих пор школьная программа по математике в России более насыщена, чем на Западе: в течение первых шести лет обучения проходят больше материала, чем на Западе к концу средней (но не старшей) школы. Здесь имеется в виду не только сама программа, но и уровень логического мышления и упор на теорию, необходимую и для логической строгости, и для приложений в других науках. Например, когда российские школьники в шестом классе впервые сталкиваются с геометрией, им объясняют необходимость аксиом для построения математической теории, в то время как многие американские студенты узнают об этом, а также о том, что такое доказательство, только в университете. Иными словами, "новая математика" отражала так называемый революционный подход к математике, согласно которому математика строится из структур, независимых от физического мира. Позже вслед за "новой математикой" возникли и другие подобные движения, превратившие в конце концов математику в совершенно неструктурированный школьный предмет.

Проиллюстрируем ситуацию на Западе одним примером. В 80-е годы в одном из учебников по математике для седьмого класса (дети 13-и лет) содержалась следующая задача: найти площадь прямоугольного треугольника, у которого длина гипотенузы равна 8 см, а длина опущенной на нее высоты равна 5 см. Правильным считалось такое решение: умножить 8 на 5 и поделить на 2. Этот пример ярко показывает, насколько снизился уровень преподавания геометрии. Выдвигая лозунги "повседневная жизнь" и "практические нужды", мы дошли до того, что просим школьников найти площадь несуществующего треугольника.

Когда я указывал на эту ошибку школьным учителям на различных курсах повышения квалификации, большинство слушателей не могли понять, в чем, собственно, она состоит. Более того, многие из тех, кто это все-таки понимали, говорили, к сожалению, что ошибка несущественна, и что нужно радоваться, что дети могут посчитать площадь треугольника. Потом я, как правило, просил учителей доказать, что такого треугольника не существует. Менее чем 1% из них мог это сделать, причем не самым простым способом. Впечатляет и то, что учителя старших классов решали эту задачу точно так же.

Больше других за упадок преподавания геометрии несет ответственность Дьедонне. Он настаивал на том, что в средних классах надо преподавать линейную алгебру вместо элементарной геометрии, и именно он в 1959 году провозгласил лозунг "Евклид должен уйти". Его высказывание в полном виде еще более подчеркивает его ответственность: "Если сформулировать всю программу одной фразой, то она будет звучать так: "Долой евклидову геометрию!"" [15, стр 35]. По ряду причин эти слова до сих пор воздействуют на преподавание геометрии на Западе. Примерно 25-35 лет назад отдельные учебники по геометрии вообще исчезли. Некоторые разделы геометрии сохранились в учебниках, но лишь в связи с другими темами, а с середины восьмидесятых годов геометрия в основном стала сводиться к вычислению периметров, площадей и объемов. Все задачи были чисто механическими, расчитанными на применение формул. Это и составляет главную проблему в сегодняшнем образовании на Западе.

Разумеется, сказанное не означает, что все недостатки математического образования на Западе связаны исключительно с преподаванием геометрии; в других разделах математики возникают свои серьезные трудности. Общая для всех разделов школьной математики проблема состоит в том, что в школе больше не пытаются преподавать математику как структуру, в рамках которой школьник может решать серьезные задачи: детей вместо этого учат алгоритмам и правилам и вырабатывают у них механические навыки. Задачи, которые в настоящее время предлагаются под рубрикой "решение задач",-- это просто загадки, никак не связанные со структурой математики. При том, что геометрия за последние 20-30 лет исчезла из программ, мы должны искать способ вернуть ее. Сегодняшние учителя могут вообще не знать геометрии и лишь чисто механически обучать нахождению площадей и объемов. Для старших классов нужны более квалифицированные учителя, которые могут учить математике как структуре. Именно по этому Брайан Болт заявил в 1990 году в Брунее, что он любил и любит евклидову геометрию благодаря своим родителям, которые были талантливыми учителями [16, с. 90]. В 1996 году на семинаре в Рованиеми (Финляндия) Джон Берри из Плимутского университета заявил, что он за "решение задач" и использование средств для символических вычислений, поскольку современные учителя ничего не понимают в алгебре и геометрии.

До 1957 года школьные учебники были в основном обновленными вариантами более старых, восходящих к XVIII веку; в большинстве стран учебники писались выдающимися математиками. Когда появилось движение "новая математика", возникло ощущение, что любой вклад будет на пользу новому проекту, в результате чего профессора стали писать учебники в соавторстве с учителями. Сейчас в некоторых западных странах учебники пишут исключительно учителя, тогда как раньше этим занимались математики высокого уровня; при этом программы писались для всей страны, тогда как сейчас школьные программы порой пишутся для отдельных регионов.

Таким образом, можно сказать, что проблемы образования на Западе сводятся к двум следующим: образование учителей и написание учебников. Предпринимаются попытки их решить, но это решение не может быть ни быстрым, ни простым, да и проблемы относятся не только к геометрии и не только к средним классам.

Следующий раздел