Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s1node1.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:51:03 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   BOAI: наука должна быть открытой Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   2 Тангенс Up:   Первое знакомство с тригонометрией Previous:   Первое знакомство с тригонометрией

Subsections

1 Как измерить крутизну

Классификация углов из книги по альпинизму:

``Перпендикулярно'' - 60 градусов;
``Мой дорогой сэр, абсолютно перпендикулярно!'' - 65 градусов;
``Нависающе'' - 70 градусов.

Дж.Литтлвуд. ``Математическая смесь''.

1.1 Синус

Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон горы - это гипотенуза $ AB$ прямоугольного треугольника $ ABC$ (рис. 1, 2).

Рис. 1:
\begin{figure}\epsfbox{t01.1}\end{figure}

Рис. 2:
\begin{figure}\epsfbox{t01.2}\end{figure}

Можно предложить по крайней мере два способа измерения крутизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок $ BC$ на рис. 1); 2) провести дугу с центром в точке $ А$ (рис. 2) и измерить ее длину.

Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характеризует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко даже при пологом склоне. Поэтому нужно рассматривать отношение длины подъема к длине пути (соответственно отношение длины дуги к радиусу)   1. Эти отношения от длины пути уже не зависят.

Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не весь путь, а дошел только до точки $ B'$ (рис. 3). Тогда крутизна подъема на отрезке $ AB'$ равна $ B'C'/A'B'$, а на отрезке $ AB$ равна $ BC/AB$.

Рис. 3:
\begin{figure}\epsfbox{t01.4}\end{figure}

Однако $ B'C'\parallel BC$ как два перпендикуляра к одной прямой, так что $ \angle AC'B=\angle ACB=90^\circ$, $ \angle AB'C=\angle ABC$. Стало быть, треугольники $ ABC$ и $ AB'C'$ подобны по двум углам, и  $ BC/AB=B'C'/AB'$. Таким образом, отношение высоты подъема к длине пути не зависит от длины пути. Доказать, что отношение длины дуги к радиусу не зависит от радиуса, также можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги. В этой книжке мы этим заниматься не будем.

Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 4).

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Рис. 4: Определение синуса: $ \sin\alpha =BC/AB$.
\begin{figure}\epsfbox{t01.5}\end{figure}

1.2 Измерение углов

Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется радианной мерой угла.

Определение. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 5).

От радиуса окружности это отношение не зависит.

Рис. 5: Радианная мера угла $ AOB$ - отношение длины дуги $ AB$ к радиусу $ AO$.
\begin{figure}\epsfbox{t01.6}\end{figure}

Например, когда говорят, что ``радианная мера угла равна $ 1/2$'', или ``величина угла равна $ 1/2$ радиана'', или попросту ``угол равен $ 1/2$ радиана'', это значит, что заключенная внутри него дуга вдвое короче радиуса. Если радиус окружности равен $ 1$, то радианная мера угла равна длине дуги.

Вычислим радианную меру прямого угла. В соответствии с нашим определением проведем дугу окружности радиуса $ r$ с центром в вершине прямого угла (рис. 6). Дуга $ AB$ составляет четверть всей окружности. Коль скоро длина окружности радиуса $ r$ равна $ 2\pi r$, длина нашей дуги равна $ 2\pi r/4=\pi r/2$, а радианная мера прямого угла равна $ (\pi r/2)/r=\pi /2\approx 1{,}57$.

Рис. 6:
\begin{figure}\epsfbox{t01.7}\end{figure}

Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и радианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что являются естественными; про измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один градус составляет именно одну девяностую прямого угла? Кстати, во время Великой французской революции, когда пытались изменить все, включая календарь и названия игральных карт, была предложена и новая единица измерения углов - одна сотая прямого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой.

Выясним, как связаны между собой радианная и градусная меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна $ \dfrac\pi2 $ радиан. Так как угол $ 1^\circ$ в 90 раз меньше прямого угла, то и его радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла, то есть равна $ \dfrac\pi2 :90=\pi /180\approx 0{,}017$. Угол в $ k$ градусов имеет меру $ (\pi /180)k$ радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит угол в 1 радиан, надо найти такое $ k$, что $ (\pi /180)k=1$. Стало быть, в одном радиане содержится $ 180/\pi\approx 57{,}29^\circ$.

Задача 1.1   Заполните пустые места в таблице, после чего выучите таблицу наизусть:

градусы $ 30^\circ $ $ 45^\circ $ $ 60^\circ $ $ 120^\circ$ $ 135^\circ$ $ 150^\circ$ $ 180^\circ$ $ 360^\circ$
радианы                

Задача 1.2   Для каждого из углов $ 10^\circ$, $ 30^\circ $, $ 60^\circ $ найдите приближенные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная мера для этих углов?

Задача 1.3   Пусть радианная мера острого угла равна $ \alpha$. Докажите неравенство: $ \sin\alpha <\alpha$ (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).

Указание. См. рис. 7.

Рис. 7:
\begin{figure}\epsfbox{t01.8}\end{figure}

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования