1 Что такое комплексные числа

Повторить:п. 4.0: векторы на плоскости.

В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о которых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое?

Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Давайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число , квадрат которого равняется . Посмотрим, что получится, если это число добавить к обычным числам.

Для начала поумножаем на само себя: (как мы и договаривались), тогда ; и т.д.

Задача 1.1   Чему равно ? ? ?

Теперь давайте умножать число на обычные числа и складывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие , , и т.д. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, такие выражения можно складывать и перемножать; поскольку всякий раз можно заменять на , в выражения, получающиеся после упрощений, будет входить не более чем в первой степени:

Задача 1.2   Упростите выражения: а) ; б) .

Имея в распоряжении число , мы можем извлечь корень не только из , но и из любого отрицательного числа. Например, в качестве подойдет число , поскольку . Впрочем, также даст в квадрате ; число мы тоже будем называть квадратным корнем из . Выделять из этих двух квадратных корней один ``арифметический корень'' мы не будем: для чисел, в записи которых участвует , не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положительными, а какие - отрицательными.

Задача 1.3   Пользуясь формулой для корней квадратного уравнения, найдите корни уравнения (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участвовать ). Проверьте найденные значения , подставив их в уравнение.

А если выражение с  стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует , можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.

Пусть требуется упростить выражение . Поступим так же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на ``сопряженное выражение'' :

Задача 1.4   Упростите выражения: а) ; б) .

Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа - это те самые выражения с участием , которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:

Если провести это приведение подобных в общем виде, получится вот что:

Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо ``домножить на сопряженные'':

Задача 1.5   Умножьте , вычисленное по вышеприведенной формуле, на  и убедитесь, что действительно получится (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).

Комплексное число удобно изображать точкой на плоскости с координатами (рис. 109). Абсцисса этой точки, то есть , называется вещественной (или действительной) частью числа , а ордината этой точки, то есть , называется мнимой частью числа . Плоскость с системой координат, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, располагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс принято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ординат - мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действительной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи не участвует. Поэтому можно считать, что действительные числа - частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, - это знакомая нам с младших классов числовая прямая.

Задача 1.6   Докажите, что уравнение не имеет (в комплексных числах) других решений, кроме и .

Указание. Пусть . Тогда . По условию, . Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:

Задача 1.7   Найдите все комплексные решения уравнения и изобразите их на комплексной плоскости.

Указание. Решений три; на комплексной плоскости они окажутся вершинами правильного треугольника.

Задача 1.8   Найдите все комплексные решения уравнения .

Задача 1.9   Докажите, что для всякого отличного от нуля комплексного числа существуют ровно два решения уравнения .

Результат задачи 1.9 показывает, что, имея в своем распоряжении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.

Если дано комплексное число , то сопряженным к нему называется число . Мы уже сталкивались с сопряженными комплексными числами, когда обсуждали деление комплексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу , обозначается . Говорят еще, что числа и сопряжены друг другу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.

Задача 1.10   Докажите тождества:
а) ; б) ; в) .

Задача 1.11   Пусть и  - комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что и  сопряжены тогда и только тогда, когда и  - действительные числа.

Задача 1.12   Докажите, что всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом. Верна ли для таких уравнений теорема Виета?

Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.

Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу - получится вектор , имеющий координаты . Так как при сложении векторов их координаты складываются, то равенство равносильно равенству (рис. 110). Итак, сложить комплексные числа - все равно что сложить соответствующие векторы.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе.