Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s6node3.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:51:01 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
     
Up:   Комплексные числа Previous:   2 Модуль и аргумент комплексного

3 Показательная функция и формула Эйлера

Повторить:п. 4.6. Производная.

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт - естественным языком.

Ю.И.Манин. ``Математика и физика''

В предыдущих параграфах мы видели, что с комплексными числами можно так же, как и с действительными, проделывать такие операции, как сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня. Цель этого параграфа - придать смысл таким выражениям, как $ 2^z$ или $ \sin z$, где $ z$ - комплексное число.

В последующем тексте не будет ни аккуратных математических определений, ни (тем более) строгих доказательств: мы будем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математического уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. Руководствуясь этими указаниями, заинтересованный читатель сможет навести строгость в нашем тексте (если не сейчас, то тогда, когда он овладеет основами математического анализа).

Теперь приступим к делу. Удобнее начать с показательной функции. Пусть $ a$ - положительное действительное число; чему должно быть равно $ a^z$ для комплексных чисел $ z$? Вспомним для начала, как определяется $ a^z$ для действительных $ z$. Если $ z$ - целое число, то $ a^z$ - это произведение $ z$ сомножителей, каждый из которых равен $ a$; если $ z=m/n$, где $ m$ и $ n$ - целые числа, то $ a^z=\sqrt[n]{a^m}$. Как распространить такие определения на случай комплексных $ z$ - неясно: что такое ``умножить на себя $ i$ раз'' или ``извлечь корень $ i$-й степени''?! Поэтому придется пойти другим путем.

Для начала заметим, что если $ x$ мало, то для $ a^x$ можно записать приближенную формулу. В самом деле, если обозначить буквой $ l$ производную функции $ y=a^x$ в точке $ x = 0$, то, согласно п. 4.6, для малых $ x$ получается: $ a^x= a^{0+x}\approx a^0+lx = 1+lx$. Итак,

Если $ x$ мало, то $ a^x\approx1+lx$, где $ l$ - производная функции $ y=a^x$ в точке $ x = 0$.

Разумеется, как мы уже объясняли в п. 4.6, приближенную формулу такого типа можно получить для любой ``достаточно хорошей'' функции, и действовать она будет только для малых $ x$. К счастью, свойства показательной функции позволяют перейти к формуле, пригодной при любых $ x$. Вот как это делается. Пусть $ x$ - любое число. Выберем большое целое число $ n$ и запишем $ a^x= a^{(x/n)n}= (a^{x/n})^n$; если $ n$ велико, то $ x/n$ уже мало, и можно с помощью нашей приближенной формулы заменить $ a^{x/n}$ на $ 1+lx/n$. Подставляя это выражение для $ a^{x/n}$, получаем:

Для больших целых $ n$ верна приближенная формула

$\displaystyle a^x\approx (1+lx/n)^n, $

где $ l$ - производная функции $ y=a^x$ в точке $ x = 0$.

Добросовестный читатель скажет, что наше рассуждение не очень убедительно: при умножении погрешности могут накапливаться, и где гарантия, что после перемножения $ n$ штук формул $ a^{x/n}\approx 1+lx/n$ они не накопятся настолько, что $ a^x$ не будет иметь с $ (1+lx/n)^n$ ничего общего? Это действительно могло бы случиться, но, к счастью, в данном случае накопление погрешностей к опасным последствиям не приводит: при больших $ n$ приближенное равенство $ a^x\approx (1+lx/n)^n$ имеет место, причем, выбрав $ n$ достаточно большим, погрешность этой формулы можно сделать сколь угодно малой.

Вот как это устанавливается. В п. 4.6 мы уже говорили, что для ``достаточно хороших'' функций погрешность формулы $ f(a+h)\approx f(a) + h f'(a)$ не превосходит $ M h^2$ для некоторого числа $ M$, не зависящего от $ h$. Если применить это соображение к функции $ f(x) = a^x$, выйдет, что погрешность формулы  $ a^{x/n}\approx 1+lx/n$ не превосходит $ Ml^2x^2/n^2$ для некоторого $ M$. Обозначая, для сокращения письма, $ Ml^2x^2$ буквой $ c$, получаем, что погрешность формулы  $ a^{x/n}\approx 1+lx/n$ не превосходит $ c/n^2$, где число $ c$ от $ n$ не зависит. При возведении обеих частей этой формулы в степень $ n$ эта погрешность возрастает, но не слишком сильно: можно показать, что при возведении в $ n$-ую степень обеих частей приближенной формулы, в которой левая и правая части близки к 1 (а именно таковы $ a^{x/n}$ и $ 1+lx/n$), погрешность возрастает примерно в $ n$ раз.

Стало быть, погрешность формулы  $ a^x\approx (1+lx/n)^n$ не превосходит $ n\cdot(c/n^2)=c/n$, и чем больше $ n$, тем эта погрешность меньше, так что наша формула действительно позволяет вычислить $ a^x$ с любой степенью точности.

Теперь мы готовы определить $ a^z$ для комплексных значений $ z$. В самом деле, правая часть нашей приближенной формулы имеет смысл и при комплексных значениях $ x$. Теперь для любого комплексного $ z$ определим $ a^z$ как $ (1+lz/n)^n$ для большого целого числа $ n$. Точнее говоря, это будет не само $ a^z$, но его приближенное значение, а точное значение $ a^z$ - это то, к чему стремится $ (1+lz/n)^n$ при росте $ n$ (по-ученому говоря, ``предел $ (1+lz/n)^n$ при $ n$, стремящемся к бесконечности''). Напомним, что через $ l$ обозначена производная функции $ y=a^x$ в нуле.

Сейчас мы исследуем свойства показательной функции комплексного аргумента, но сперва - одно замечание. В наших формулах постоянно присутствует число $ l$. Наиболее простые формулы получатся, если взять основание степени, для которого $ l$ равняется 1. Это число так часто встречается в математике, что для его есть специальное обозначение: его обозначают буквой $ e$; повторим еще раз, что $ e$ - это, по определению, положительное число, для которого производная в нуле функции $ y=e^x$ равна единице.

Задача 3.1   Покажите, что производная функции $ y=a^x$ в точке 0 равна логарифму числа $ a$ по основанию $ e$.

Приближенно $ e$ равно $ 2{,}718$. Таким образом, имеем формулу:

$\displaystyle e^z\approx\left(1+\dfrac zn\right)^n$    при больших целых $n$.$\displaystyle $

Для действительных $ z$ эта формула выражает свойство показательной функции с основанием $ e$, а для произвольного комплексного $ z$ представляет собой определение.

Если в нашей формуле для $ e^z$ положить $ z = 1$, то получим приближенную формулу для $ e = e^1$: $ e\approx\left(1+\dfrac zn\right)^n$. Можно также показать, что при нашем определении показательной функции от комплексных чисел основное свойство показательной функции $ e^{z+w}=e^z e^w$ будет верно для любых комплексных $ z$ и $ w$.

Давайте теперь посмотрим, каковы будут свойства функции $ e^z$ при $ z$, не являющихся действительными. Выясним, например, как подсчитать $ e^{ix}$, где $ x$ - действительное число.

Согласно нашему определению, надо взять большое целое число $ n$, и тогда $ e^{ix}$ будет примерно равно $ (1+ix/n)^n$. Чтобы узнать, к чему будет приближаться это число при росте $ n$, заметим, что при больших $ n$ число $ x/n$ мало, так что действуют приближенные формулы $ \sin(x/n)\approx x/n$, $ \cos(x/n)\approx 1$. Поэтому $ (1+ix/n)^n \approx \cos(x/n) + i \sin(x/n)$, откуда, возводя в степень $ n$, получаем:

$\displaystyle \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n \approx \Bigl(\cos \frac xn + i\sin \frac xn\Bigr)^n= \cos x + i \sin x. $

Иными словами, при больших $ n$ верна приближенная формула $ (1+ ix/n)^n \approx \cos x + i \sin x$. Можно показать, что с ростом $ n$ погрешность этой формулы уменьшается.

Это следует из того, что в формулах $ \sin(x/n)\approx x/n$, $ \cos(x/n)\approx 1$ погрешность, как мы видели в п. 4.6, не превосходит $ (x/n)^2$ (при достаточно больших $ n$); стало быть, можно сказать, что и у приближенной формулы

$\displaystyle 1+ \frac{ix}{n} \approx \cos \frac xn + i\sin \frac xn $

погрешность не превосходит (по модулю) $ c/n^2$, где $ c$ не зависит от $ n$. После возведения обеих частей этой формулы в степень $ n$ погрешность увеличится примерно в $ n$ раз (это свойство возведения в степень верно и для комплексных чисел) и станет равняться примерно $ c/n$, что стремится к нулю с ростом $ n$. Итак, то число, к которому $ (1+ix/n)^n$ приближается с ростом $ n$, - это $ \cos x + i \sin x$. Значит, это и есть $ e^{ix}$. Итак:

$\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x. $

Это - не что иное, как знаменитая формула Эйлера.

Посмотрим, что из нее можно вывести.

Для начала, теперь мы можем найти значение показательной функции от любого комплексного числа $ a + bi$:

$\displaystyle e^{a+bi}=e^ae^bi=e^a (\cos b + i \sin b). \eqno(*) $

Задача 3.2   Выведите из формулы $ (*)$ тождество $ e^{z+w}=e^z e^w$ для произвольных комплексных $ z$ и $ w$.

Задача 3.3   Вычислите: а) $ e^{\pi i/2}$; б) $ e^{\pi i}$.

Задача 3.4   Найдите все комплексные числа $ z$, для которых выполнено равенство $ e^z=\nobreak-1$.

Из формулы Эйлера следует, что $ e^{2\pi i}= \cos 2\pi i + i \sin 2\pi i=1$. Следовательно, для любого комплексного числа $ z$ имеем:

$\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^z e^{2\pi i}=e^z. $

Значит, $ 2\pi i$ - период функции $ f(z)= e^z$. Как видите, показательная функция тоже является периодической, только мы этого не видели, пока ограничивались действительными числами.

Задача 3.5   Докажите, что всякий период функции $ f(z)= e^z$ имеет вид $ 2\pi in$ для некоторого целого числа $ n$ (так что $ 2\pi i$ является чем-то вроде наименьшего положительного периода для этой функции).

Следующее, что мы сделаем с помощью формулы Эйлера - это покажем, что тригонометрические и показательные функции - фактически одно и то же (как и было обещано в п. 4.2). Точнее говоря, мы выразим тригонометрические функции через показательные.

Для этого запишем формулу Эйлера, а под ней - ту же формулу, в которую вместо $ x$ подставлено $ -x$:

$\displaystyle e^{ix}$ $\displaystyle = \cos x + i \sin x;$    
$\displaystyle e^{-ix}$ $\displaystyle = \cos x - i \sin x$    

(мы воспользовались тем, что $ \cos(-x) = \cos x$, $ \sin(-x) =- \sin x$). Если сложить и вычесть эти два равенства, получится $ e^{ix} + e^{-ix}= 2\cos x$, $ e^{ix} - e^{-ix} = 2i \sin x$, откуда выходит:

$\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2;\qquad \sin x =\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}. $

Таким образом, мы выразили тригонометрические функции через показательную, а формула Эйлера, наоборот, выражает показательную функцию через тригонометрические. Так что если в нашем распоряжении есть комплексные числа, то тригонометрические функции выражаются через показательные, и наоборот.

У наших формул, выражающих синус и косинус через показательную функцию, есть еще одно применение. Именно, правые части этих формул имеют смысл, если вместо $ x$ подставить любое комплексное число. Поэтому их можно использовать для того, чтобы определить, что такое синус и косинус от любого комплексного числа. Именно: если $ z$ - комплексное число, то положим по определению:

$\displaystyle \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}2;\qquad \sin z =\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}. $

Формулы, выражающие синус и косинус от действительных чисел через показательную функцию, показывают, что для действительного числа $ z$ наше определение дает обычные синус и косинус.

Задача 3.6   Найдите $ \sin i$ и $ \cos i$.

Задача 3.7   Докажите, что формула Эйлера $ e^{iz}=\cos z+ i\sin z$ верна для произвольных комплексных значений $ z$.

Задача 3.8   Докажите, что

$\displaystyle \cos(a+bi) = \frac{e^b+e^{-b}}2 \cos a + i \frac{e^b-e^{-b}}2 \sin a. $

Задача 3.9   а) Докажите, что все комплексные решения уравнения $ \sin z=0$ имеют вид $ z=\pi n$, где $ n$ - целое (так что дополнительных комплексных решений у этого уравнения нет).

б) Решите в комплексных числах уравнение $ \cos z = 0$.

в) Решите в комплексных числах остальные простейшие тригонометрические уравнения из начала п. 2.6.

Задача 3.10   Верно ли, что для всех комплексных чисел $ z$ выполнено неравенство $ \sin z\leqslant 1$?

Задача 3.11   Докажите, что для всех комплексных $ z$ верны тождества: а) $ \cos(z+2\pi i) = \cos z$; б) $ \sin(z+2\pi i) = \sin z$; в) $ \cos(-z) = \cos z$; г) $ \sin(-z) = -\sin z$.

Задача 3.12   Докажите, что для всех комплексных чисел верны тождества:

\begin{displaymath} \begin{array}{@{}l} \cos^2z + \sin^2z= 1;\\ \cos(z+w)= \co... ...in w;\\ \sin(z+w)= \sin z \cos w + \cos z \sin w. \end{array}\end{displaymath}

Все тригонометрические тождества, которые мы выводили в главе 4, следуют из трех тождеств, перечисленных в этой задаче (а также из свойств четности и нечетности синуса и косинуса, которые в комплексных числах также верны). Поэтому все эти тождества верны и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Задача 3.13   Решите в комплексных числах уравнение $ \sin z=2$ (решить уравнение - найти все его решения).

Задача 3.14   Верны ли для тригонометрических функций комплексного аргумента формулы приведения?

Задача 3.15   Докажите, что уравнения $ \sin z = a$ и  $ \cos z = a$ имеют решения (возможно, комплексные) при любом $ a$.

     


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования