Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 1.8 Теорема вириала | Оглавление | 2.2 Основные параметры политропы >>

2. Аналитическая теория политропных шаров (теория Лейна-Риттера-Эмдена)

Разделы

2.1 Уравнение Эмдена

В этой главе мы будем изучать равновесные конфигурации звезд, подчиняющихся степенному (политропному) уравнению состояния

$\displaystyle P=K\rho^\gamma=K\rho^{1+{1\over n}},$

где $\gamma$ -- показатель,

-- индекс политропы. Интерес к этому уравнению состояния возник еще в прошлом веке, когда думали, что все звезды полностью конвективны. При этом можно предположить, что энтропия постоянна. Интегрируя термодинамические равенства

$\displaystyle dE=-Pdv=K\rho^{1+{1\over n}} {1\over \rho^2}d\rho=K\rho^{-1+{1\over n}}d\rho,$

получаем выражение для внутренней энергии

$\displaystyle E=nK\rho^{1\over n}=n{P\over \rho}.$

Отсюда энтальпия

$\displaystyle H=E+Pv=E+{P\over \rho}=(n+1)\;{P\over \rho}.$

В случае идеального газа известно, что (

-- теплоемкость, ${\cal{R}}$ -- газовая постоянная)

$\displaystyle E={c_v\over \mu}T, \quad P=\rho {{\cal{R}}T\over \mu}$ или $\displaystyle \quad {P\over \rho}= {{\cal{R}}T\over \mu}, \quad E={c_v\over {\cal{R}}} {P\over \rho}.$

Для одноатомного газа

$\displaystyle c_v={3\over 2}{\cal{R}}$ и $\displaystyle \quad n={3\over 2}.$

То же можно вычислить и для многоатомных газов, но этот случай неинтересен: сейчас мы знаем о звездах несколько больше, чем 100 лет назад.

Введем переменную $\Theta$ таким образом, чтобы

$\displaystyle \rho=\lambda \Theta^n, \quad P=K \lambda^{1+{1\over n}} \Theta^{n+1},$

т.е. имеем $\displaystyle {\rho\over \rho_c}={\lambda \Theta^n\over \rho_c}, \quad {P\over \rho}=K\lambda^{1\over n}\Theta$ и $\displaystyle \quad H=(n+1)K\lambda^{1\over n} \Theta.$

Для идеального газа с постоянной теплоемкостью величина $\Theta$ пропорциональна температуре. Возьмем условие равновесия в виде

$\displaystyle \varphi+H=$ const $\displaystyle$

и подействуем на него оператором $\Delta$ . Лапласиан $\varphi$ есть $4\pi G \rho$ , т.е. $\Delta \varphi=4\pi G \lambda \Theta^n$ , а лапласиан

есть $(n+1)K\lambda^{1/n}\Delta \Theta$ , и уравнение равновесия запишется в виде

$\displaystyle 4\pi G \lambda \Theta^n+(n+1)K\lambda^{1/n}\Delta \Theta=0 .$

Будем упрощать полученное соотношение, изменяя масштаб, т.е. вводя переменную $\xi$ через соотношение $r=\alpha \xi$ ,

$\displaystyle 4\pi G \lambda \Theta^n+{(n+1)K\lambda^{1/n}\over \alpha^2} \Delta_\xi \Theta=0,$

где $\Delta_\xi={1\over \xi^2} {\partial\over \partial \xi} \xi^2 {\partial\over \partial \xi}$ .

Выберем $\alpha$ так, чтобы $4\pi G \lambda=(n+1)K\lambda^{1/n}/\alpha^2$ . Тогда уравнение равновесия запишется в виде

$\displaystyle \Delta_\xi \Theta+\Theta^n=0 ,$ или $\displaystyle \quad{1\over \xi^2} {d\over d \xi} \xi^2 {d \Theta\over d \xi}+\Theta^n=0.$

$\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f12.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 12.

Таким образом, при данном уравнение равновесия одно и то же для звезд любой массы. Решая уравнение при граничных условиях $\Theta(0)=1, \;\left.{d \Theta \over d \xi}\right\vert _{\xi=0}=0$ (т.е. положив $\lambda=\rho_c$ ), получим монотонное убывание $\Theta$ от единицы к нулю (рис. 12). Значение $\xi_1$ , где $\Theta(\xi_1) =0$ , является границей звезды. Плотность $\rho$ , пропорциональная $\Theta^n$ , при спадает более круто, чем $\Theta$ . Мы уже показывали в разделе 1.5, что при степенном уравнении состояния на краю звезды $\rho \sim (R-r)^{1/(\gamma-1)}$ . Но $\gamma=1+1/n$ , т.е. $\rho \sim (R-r)^n \sim \Theta^n$ . Поэтому $\Theta \sim (\xi_1-\xi)$ и вблизи $\xi=\xi_1$ величина $\Theta$ проходит нуль с конечной производной, хотя $\Theta^n$ ``стелется'' (при ), т.е. подходит к нулю, касаясь оси абсцисс.

Ясно, что для звезд с различными $\rho_c$ и кривые с одинаковыми подобны. Достаточно знать только одну функцию $\Theta(\xi)$ . Подчеркнем важность граничного условия $\left.{d \Theta\over d \xi}\right\vert _{\xi=0}=0$ . Обратное $\left(\left.{d \Theta\over d \xi}\right\vert _{\xi=0} \ne 0\right)$ означало бы конечный скачок ускорения в центре (т.е. особенность)2.1.

Несколько авторов в прошлом веке численно проинтегрировали уравнение для различных . В частности, Эмден получил таблицы $\Theta_n(\xi)$ c большой точностью. Значение этих вычислений теперь невелико, так как расчет реальных звезд проводится с учетом физических факторов, совершенно не учитываемых в политропной теории (нестепенное уравнение состояния; истинная связь и $\rho$ получается из рассмотрения всех процессов, включая перенос излучения, ядерные реакции). Однако для качественных исследований решение уравнений Эмдена весьма полезно. Например, с помощью политропной модели легко показать невозможность существования сверхмассивных звезд. Это важно для проблемы квазаров.

<< 2. Политропные шары | Оглавление | 2.2 Основные параметры политропы >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]