Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 3.2 Основные понятия ... | Оглавление | 3.4 Тормозное излучение зарядов >>

3.3 Кинетика фотонов и формула Планка

Рассмотрим теперь, как меняется функция распределения фотонов с учетом их взаимодействия с веществом. Пусть имеется среда из атомов, которые могут находиться только в двух состояниях -- в основном и возбужденном, и разность между этими уровнями равна $h\nu$ , и пусть имеется атомов/ см в основном состоянии и -- в возбужденном. Тогда кинетическое уравнение для числа заполнения можно записать в виде

$\displaystyle {dn\over {dt}}=N^*w-nN\,\sigma\,c,$

(3.2)

где первый член в правой части учитывает увеличение числа квантов в результате их испускания возбужденными атомами с вероятностью

, а второй член -- уменьшение

при поглощении их невозбужденными атомами, $\sigma\;[$ см

-- сечение возбуждения. Из квантовой механики известно, что вероятность поглощения $N \sigma c$ тождественно равна вероятности испускания

(так как прямой и обратный процессы описываются одним матричным элементом). В кинетическом уравнении (3.2) испускание квантов определяется только свойствами вещества и его состоянием. Однако существует вынужденное, или индуцированное, испускание: вероятность испускания квантов в какое-то состояние пропорционально числу квантов, уже имеющихся в этом состоянии. Как говорит теория (и опыт), полная вероятность испускания есть

, и с учетом вынужденного излучения кинетическое уравнение запишется в виде

$\displaystyle {dn\over {dt}}=w[N^*(1+n)-Nn]=w[N^*-n(N-N^*)].$

Отметим, что при

возможен экспоненциальный рост плотности излучения (мазерный эффект). А в астрофизических условиях такая неравновесная ситуация может встречаться только в газовых туманностях (источники ОН и т.п.).

В условиях локального термодинамического равновесия, которое осуществляется внутри звезд, ничего подобного быть не может, так как распределение атомов по энергиям описывается формулой Больцмана:

$\displaystyle N^*=Ne^{-E/kT}.$

Поскольку $E=h\nu$

$\displaystyle {dn\over {dt}}=w N[e^{-h\nu/kT}-n(1-e^{-h\nu/kT})].$

В равновесии

$\displaystyle {dn\over {dt}}=0\;$ и $\displaystyle$

$\displaystyle n={1\over {e^{h\nu/kT}-1}},$

это формула Планка.

Легко убедиться, что равновесие устойчиво. Запишем уравнение кинетики в виде

$\displaystyle {dx\over {dt}}=a-bx.$

Введем

, тогда ${dy\over {dt}}=-by$ , и общее решение есть

$\displaystyle x={a\over b}+ke^{-bt},$

-- это равновесное решение, а общее решение описывает приближение к нему, что и доказывает устойчивость.

Рассмотрим предельные случаи формулы Планка.

1. Рэлей -- Джинсовская область. $x=h\nu/kT\ll 1$ . Используя разложение $e ^x=1+x+\ldots$ , получим для числа заполнения: $n={1\over x}={kT\over {h\nu}}\gg 1$ , а для интенсивности $F_\nu={2nh\,\nu\over \lambda^2}={2kT\over \lambda^2}$ . Как видим, в последнее выражение постоянная Планка не входит. Формула $F_\nu={2kT\over \lambda^2}$ первоначально была получена в классической теории. Колебания электромагнитного поля можно представить набором осцилляторов, каждый из которых имеет энергию . Ясно, что формула Рэлея -- Джинса неприменима при малых $\lambda$ из-за расходимости интеграла $\int F_\nu d\nu$ (ультрафиолетовая катастрофа). Кроме того, при $h\nu /kT>1$ она не согласуется с опытом. Но при $h\nu /kT>1$ следует использовать другое предельное разложение формулы Планка.

2. Виновская область: $h\nu/kT>1,\;n=e^{-h\nu/kT}\ll 1$ . Это распределение имеет вид формулы Больцмана. Ее мы получили бы, если бы пренебрегли в кинетическом уравнении индуцированным излучением (так как $n\ll 1$ ). Точное выражение для плотности энергии

$\displaystyle \varepsilon_r={c\over {\pi^2\hbar^3}}\int\limits_0^\infty np^3dp={c\over {\pi^2\hbar^3}} \int\limits_0^\infty {p^3dp\over {e^{cp\over {kT}}-1}}=$

$\displaystyle ={\left({kT\over c}\right)}^4\,{c\over {\pi^2\hbar^3}}\int\limits_0^\infty {x^3dx\over {e^x-1}}=7,56\cdot 10^{-15}T^4\;\mbox{эрг}/\mbox{см}^3.$

Здесь использован табличный интеграл:

$\displaystyle \int\limits_0^\infty {x^3dx\over {e^x-1}}={\pi^4\over {15}}\simeq 6,49\,.$

Максимум функции распределения энергии по частоте приходится на $x\simeq 2,7$ , т.е. $h\nu=2,7\;kT$ .

Замечание. Отметим, что формула Вина очень удобна для приближенного вычисления интегральных величин в теории излучения. Например, при вычислении полной энергии точное выражение $\int {x^3dx\over {e^x-1}}$ можно заменить приближенным интегралом $\int e^{-x}x^3dx$ . В этом случае $x_{\max}=3$ , а интеграл $\int\limits_0^ \infty e^{-x}x^3dx=3!=6$ (сравните с точным значением $\pi^4/15=6,49$ ). Виновское приближение является первым членом в разложении функции Планка:

$\displaystyle {1\over {e^x-1}}=e^{-x}{1\over {1-e^{-x}}}=e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots$

$\displaystyle \int {x^3dx\over {e^x-1}}=\int e^{-x}\,x^3dx+\int e^{-2x}\,x^3dx+\cdots=$

$\displaystyle =3!\left(1+{1\over 2^4}+{1\over 3^4}+\cdots\right).$

Это выражение наглядно демонстрирует роль остальных членов, которые дают вклад около 7%.

Используя Виновское приближение, легко вычислить, какая доля энергии излучается в области частот б $\acute {\mbox{о}}$ льших некоторых. Например,

$x>3,\;\;\;h\nu>3\,kT$ -- 60%

$x>4,\;\;\;h\nu>4\,kT$ -- 40%

$x>10,\;\;\;h\nu>10\,kT$ -- 6%.

Отметим, что несмотря на экспоненциальный множитель существенная доля энергии (6%) излучается при .

Ранее в кинетическом уравнении ${dn\over {dt}}=N^*w(1+n)-N\,\sigma cn,\; w=\sigma c$ , мы предполагали, что -- вероятность перехода с одного уровня на другой. В действительности уровни имеют некоторую ширину (размыты), и полная вероятность перехода определяется интегралом (Размерность с $^ {-1}$ в отличие от см $^3\cdot$ с $^ {-1}$ .)

$\displaystyle W={c\over {(2\pi\hbar)}^3}\sum\limits_{r=1,2} \int \sigma\,(\nu,\;\Omega,\;r)\,p^2dpd\Omega,$

где $\sum\limits_{r=1,2}$ учитывает два возможных состояния поляризации. Расчет сечения $\sigma$ (классический, либо квантовомеханический) дает формулу

$\displaystyle \sigma=\sigma_{\max}{(W/2)^2\over {(\omega-\omega_0)^2+(W/2)^2}}\qquad($ формула Лоренца $\displaystyle ).$

Подставляя это выражение в интеграл для

, который запишем в виде

$\displaystyle W={1\over \lambda^2}\int \sigma\,(\nu)\,d\nu,$

получим, что $\sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$ .

Рассмотрим причины размытости уровней. В нулевом приближении по квантовой теории возможны только строго определенные энергетические уровни. В следующем приближении появляется возможность переходов между энергетическими состояниями атома, и в силу нестационарности состояний уровни энергии оказываются размытыми -- по принципу неопределенности на величину $\Delta E\sim hW$ . Испускаемые кванты будут иметь размытость порядка по частоте.

Вероятности распада могут быть разными. Например: переход с уровня в основное состояние атома водорода происходит за $1,6\cdot 10^{-9}\;$ с, в то время как в линии в 21 см за лет. Важно, что при этом изменяется только ширина $\sigma$ , пропорциональная , но всегда $\sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$ (рис. 17).

$\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f17.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 17.

Все это верно для одного изолированного атома. В действительности атомы взаимодействуют. В реальном газе существует ряд причин, по которым спектральные линии расширяются: столкновения частиц, допплер-эффект, штарк-эффект. При этом может случиться, что $\sigma_{\max}$ окажется меньше. Например, из-за допплер-эффекта должен сохраняться интеграл $\int \sigma d\omega$ и $\sigma_{\max}$ снижается.

Следует помнить, что естественная высота сечения $\sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$ сохраняется, если нет размывающих его механизмов. В качестве примера можно рассмотреть эффект Мессбауэра. Если принять соответствующие меры (грубо говоря, закрепить атомы в кристаллической решетке), то можно наблюдать резонансные линии $\gamma$ -излучения ядер, при этом сечение как раз равно $\lambda^2/\pi$ .

<< 3.2 Основные понятия ... | Оглавление | 3.4 Тормозное излучение зарядов >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]