Предисловие

Настоящий очерк достижений теории динамических систем (ДС), смежных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и других математических дисциплин за последние примерно 25 лет 1 является очень кратким и неполным, особенно по сравнению с изложением аналогичного материала за более ранние периоды в известных изданиях ВИНИТИ ``Итоги науки'' и ``Современные проблемы математики. Фундаментальные направления'' (более поздние из которых частично захватывают и наш период). В связи с этим сошлюсь на недавний обзорный доклад Йоккоза [1], написанный под другим углом зрения и в значительной степени дополнительный к имеющемуся в этой статье перечню. 2Обширный материал, в том числе и нового происхождения, имеется в объемистой книге [2], недавно переведенной на русский язык.

Не только Йоккоз, но и ряд других докладчиков, делавших пленарные и большие секционные доклады на Международных математических конгрессах, говорили о динамических системах. Все эти доклады могут быть рекомендованы как авторитетные освещения различных сторон предмета, дающие и перспективу, и новейшие для своего времени сведения. Я выделяю особо доклад Йоккоза потому, что он отличается широтой охвата предмета. Позднее другой тематически довольно широкий доклад сделал Ю.Мозер [3].

Признаки, по которым отобран материал первых двух параграфов, явствуют из их названий. Этот отбор был осуществлен на основании четких формальных критериев; в этом отношении, мне кажется, он свободен от субъективизма. Эти критерии надежны в том смысле, что соответствующие результаты в любом случае заслуживали бы некоторого обсуждения: безусловно надо было сказать о возникновении или возрождении целых больших частей теории ДС; а если некая проблема упоминается вместе с именем известного ученого, за этим, скорее всего, стоит не просто тот факт, что он ее поставил, но и признание ее важности 3. (Ведь редко знаменитое имя упоминается по поводу не столь уж значительных задач, которые носитель этого имени наверняка формулировал для своих студентов и аспирантов. Конечно, любая задача имеет своего автора, -- в крайнем случае того же, кто ее и решил, -- но авторами проблем из §2 были весьма известные математики, в связи с чем и сами проблемы обычно упоминались и упоминаются вместе с их именами.)

Если говорить о более или менее широких новых (или обновленных) направлениях, то мне кажется, что они все названы в §1, но что касается различных довольно значительных достижений, то они не всегда состоят в решении какой-нибудь ``именной'' проблемы и потому отнюдь не исчерпываются тем, о чем сказано в §2 4. В §3 я вкратце упоминаю некоторые из таких достижений. Такого четкого критерия для отбора материала, как раньше, здесь не было, поэтому выбор этого материала неизбежно был неполным (я не стал писать даже о том, чем сам много занимался в последние годы -- о потоках на поверхностях и смежных геометрических вопросах) и, вероятно, в какой-то степени субъективным. Кроме того, при всем желании я не мог бы написать в §3 обо всем столь же подробно, как в первых параграфах (если изложение в §§1, 2 можно назвать подробным), уложившись в разумные объем и срок. Но я надеюсь, что даже там, где я, по существу, ограничиваюсь простым упоминанием некоторых результатов и имен и даю как бы слегка аннотированный (и очень не полный) список литературы, даже и это может быть полезным как некоторая исходная информация о том, что делается на свете. Если читатель чем-то заинтересуется, даже те неполные литературные ссылки, которые я мог дать, помогут ему, по крайней мере, начать более серьезно знакомиться с предметом.

Я старался учесть известные мне работы не только о гладких, но и о топологических или чисто-метрических (в смысле меры) системах. Но темы, освещаемые подробнее, оказались посвященными преимущественно гладким системам. Это не связано с тем, что именно они находятся в центре моих интересов, -- надеюсь, что по крайней мере с наиболее яркими результатами о других системах я знаком (ведь яркие работы часто упоминаются в беседах с коллегами). Если бы я писал о более ранних работах, баланс был бы другим, но вот в эти годы с топологическими или чисто-метрическими системами не оказались связаны ни новые направления (за одним исключением), ни ``именные'' проблемы. Кое-что о них сказано только в конце §3, если не считать раздела о групповых действиях в §1.

Во время работы над этой статьей я неоднократно наводил справки по различным вопросам у знакомых (а иногда и лично не знакомых) математиков. Прежде всего, конечно, это были участники моих семинаров в МИАН и МГУ, а также нижегородские математики 5, но кое-какие сведения я получил и от других коллег, в том числе зарубежных. Благодарю их всех и надеюсь, что, распорядившись полученной информацией по своему разумению и в соответствии со своими планами, я ее не переврал. (Если же переврал, то это моя вина.)

О литературных ссылках. Я старался ссылаться на последние публикации или на публикации, которые имеют обзорный характер или содержат более или менее подробное (не обязательно оригинальное) изложение некоего круга вопросов (то, что по-английски называется expository papers). Это позволило сэкономить, но прошу отнестись с пониманием к тому, что я порой экономил на ссылках на первопроходцев.

Для понимания этой статьи нужна, во-первых, общематематическая подготовка в объеме примерно того, что сообщается студентам-математикам на первых трех курсах университета (на старших курсах подготовка обычно становится специализированной) и, во-вторых, некоторое знакомство с ДС, преимущественно гладкими 6. Мне пришлось излагать содержание этой статьи в лекциях для студентов, специальная часть подготовки которых включала именно гладкие ДС. Поэтому, говоря об эргодической теории, я делал больше пояснений, чем в других случаях. Эта особенность лекций сохранилась и в статье.

По эргодической теории довольно разнообразным по содержанию, хотя и не новым, является учебник [4].