Московское математическое общество, Малый мехмат МГУ и Московский центр непрерывного математического образования продолжают цикл лекций для школьников 9--11 классов. Каждая лекция посвящена отдельной теме. Иногда речь будет идти о весьма трудных идеях и результатах, но знаний, выходящих за рамки школьной программы, от слушателей не требуется.

Профессор кафедры теории функций и функционального анализа

Скворцов Валентин Анатольевич

17 февраля 2001 года прочитает лекцию для школьников 9--11 классов в аудитории 16-10 главного здания МГУ.

Тема лекции: "Примеры метрических пространств".

Начало лекции --- 16 часов 10 минут. Окончание --- 18 часов.

Математики часто рассматривают множества, между элементами ("точками") которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены следующие аксиомы: расстояние d(x,y) между любыми точками x и y неотрицательно, причем d(x;y)=0 тогда и только тогда, когда x=y; метрика симметрична, то есть d(x,y)=d(y,x); наконец, d(x,y)d(x,z)+d(z,y) для любых трех точек x, y,z (неравенство треугольника).

Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами, функциями,... Например, расстоянием между двумя определенными на отрезке [0;1] непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций (впрочем, иногда удобнее рассматривать другие определения расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и применяют ее для автоматического исправления ошибок при передаче информации.

Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x, y,z может выполняться неравенство d(x,y) max(d(x,z),d(z,y)). Такие пространства называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая внутренняя точка круга является его центром.

Пример неархимедовой метрики--- p-адическая метрика d(x,y)=p ^--k, где p--- простое число, x y--- рациональные числа, k--- такое целое число, что x-y=p^k и целые числа m и n не делятся наp. Числа тем ближе друг в смысле p-адической метрики, чем на бОльшую степень числаp делится их разность. Подобно тому как снабженное обычной архимедовой метрикой множество рациональных чисел можно пополнить до множества вещественных чисел, его () можно пополнить и по p-адической метрике, получив поле p-адических чисел,, которое широко применяют в арифметике и алгебре.

С вопросами обращайтесь по телефону 939--3943 или адресу электронной почты mmmf-lectures@mccme.ru