Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций

Next: 2 евклидово пространство Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 1 n-мерное пространство. Линейные

Subsections

1 Линейное (аффинное) -мерное пространство

1 Определение линейного пространства.

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа. Приведем несколько примеров.

1. В геометрии объектами такого рода являются векторы в трехмерном пространстве, т.е. направленные отрезки. При этом, если два направленных отрезка можно совместить параллельным переносом, то считается, что они определяют один и тот же вектор. Поэтому удобно все эти отрезки откладывать от одной какой-либо точки, которую мы будем называть началом координат. Операция сложения векторов, как известно, определяется следующим образом: суммой векторов и мы считаем диагональ параллелограмма со сторонами и . Известным образом вводится также умножение на числа.

2. В алгебре мы встречаемся с системами чисел $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ (например, строки матрицы, совокупность коэффициентов линейной формы и т.д.). Для таких систем операции сложения и умножения на числа обычно определяются так: суммой систем $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ и $y=(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_n)$ называется система $x+y=(\xi_1+\eta_1,\xi_2+\eta_2,\dots,\xi_n+\eta_n)$ . Произведением системы $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ на число $\lambda$ мы считаем систему $\lambda x=(\lambda\xi_1,\lambda\xi_2,\dots, \lambda\xi_n)$ .

3. В анализе определяются операции сложения функций и умножения их на числа. В дальнейшем мы для определенности будем рассматривать совокупность всех непрерывных функций, заданных на сегменте .

В приведенных примерах одни и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, мы введем понятие линейного, или аффинного, пространства.

Определение 1.1 Множество элементов $x,y,z,\dots$ называется линейным (аффинным) пространством, если:

a) каждым двум элементам и поставлен в соответствие элемент , называемый суммой элементов и ; сумма элементов и обозначается через ,

b) каждому элементу и каждому числу $\lambda$ из некоторого поля поставлен в соответствие элемент $\lambda x$ , называемый произведением элемента на число $\lambda$ .

Эти операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам): I. 1 $^\circ$ (коммутативность).

2 $^\circ$ (ассоциативность).

3 $^\circ$ Существует элемент 0 такой, что для любого . Элемент 0 называется нулевым элементом.

4 $^\circ$ Для каждого существует элемент, обозначаемый через , такой, что .

II. 1 $^\circ$ $1\cdot x=x$ ,

2 $^\circ$ $\alpha (\beta x)=\alpha \beta(x)$ .

III. 1 $^\circ$ $(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$ ,

2 $^\circ$ $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$ .

Мы не случайно не сказали, как именно определяются операции сложения и умножения на числа. От этих операций требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, мы вправе считать их операциями сложения и умножения на числа, а совокупность элементов, для которых эти операции установлены,-- линейным пространством.

Предоставляем читателю проверить, что в приведенных примерах 1-3 эти аксиомы выполнены. Поэтому 1-3 являются примерами линейных пространств.

Рассмотрим еще несколько примеров.

4. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей натурального числа , с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа образует линейное пространство.

Заметим, что множество многочленов степени не образует линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени может оказаться многочленом более низкой степени: например

$\displaystyle (t^n+t)+(-t^n+t)=2t.$

5. Элементами пространства являются матрицы порядка . Суммой матриц $\Vert a_{ik}\Vert$ и $\Vert b_{ik}\Vert$ называется матрица $\Vert a_{ik}+b_{ik}\Vert$ , произведением матрицы $\Vert a_{ik}\Vert$ на число $\lambda$ -- матрица $\Vert\lambda a_{ik}\Vert$ . Нулевым элементом при этом будет матрица, состоящая из одних нулей. Можно проверить, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены.

6. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей натурального числа , и имеющих положительные коэффициенты, не образует линейного пространства: если многочлен входит в эту совокупность, то в нее не входит.

7. Не образует линейного пространства и совокупность непрерывных функций на сегменте таких, что $\vert f(x)\vert\leqslant 1$ : из того, что $\vert f_1(x)\vert\leqslant 1$ и $\vert f_2(x)\vert\leqslant 1$ , не следует $\vert f_1(x)+f_2(x)\vert\leqslant 1$ .

Элементы линейного пространства мы будем называть векторами. То обстоятельство, что это слово часто употребляется в более узком смысле (так, как в примере 1), не должно нас смущать. Геометрические представления, связанные с этим словом, помогут нам уяснить, а иногда и предвидеть, ряд результатов.

Если числа $\lambda,\mu, \dots$ , участвующие в определении линейного пространства, вещественны, то пространство называется вещественным линейным пространством. Если же эти числа $\lambda,\mu, \dots$ берутся из поля комплексных чисел, то называется комплексным линейным пространством.

Более общо, мы можем предполагать, что $\lambda,\mu, \dots$ -- элементы произвольного поля . Тогда называется линейным пространством над полем . Многие понятия и теоремы, излагаемые ниже, в частности, все содержание этого параграфа, автоматически переносятся на линейные пространства над любым полем. Однако в главе I мы будем обычно предполагать, что -- вещественное линейное пространство. [chapter] В главе I обычно предполагается, что -- вещественное линейное пространство.

2 Число измерений (размерность) пространства.

Важную роль в дальнейшем будет играть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Определение 1.2 Пусть -- линейное пространство. Векторы $x,y,z, \dots,v$ называются линейно зависимыми, если существуют такие числа $\alpha,\beta,\gamma, \dots, \theta$ , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

$\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z+\ldots+\theta v=0.$

(1)

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,

векторы $x,y,z, \dots,v$ называются линейно независимыми, если равенство

$\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z+\ldots+\theta v=0$
возможно только при $\alpha=\beta=\gamma=\ldots=\theta=0$ .

Пусть векторы $x,y,z, \dots,v$ линейно зависимы, т.е. пусть они связаны соотношением вида (1), в котором хотя бы один из коэффициентов, например $\alpha$ , отличен от нуля. Тогда

$\displaystyle \alpha x=-\beta y-\gamma z-\ldots-\theta v$

и, разделив на $\alpha$ и положив

$\displaystyle -\frac{\beta}{\alpha}=\lambda,\quad -\frac{\gamma}{\alpha}=\mu, \quad \dots,\quad -\frac{\theta}{\alpha}=\zeta,$

получим:

$\displaystyle x=\lambda y+\mu z+\ldots+\zeta v.$

(2)

Если вектор выражается через векторы $y,z, \dots, v$ в виде (2), то мы будем говорить, что есть линейная комбинация векторов $y,z, \dots, v$ .

Таким образом, если векторы $x,y,z, \dots,v$ линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Мы предоставляем читателю проверить, что верно и обратное, т.е. что векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы.

Упражнения 1. Проверить, что если среди векторов $x,y,z, \dots,v$ имеется нулевой вектор, то эти векторы обязательно линейно зависимы.

2. Показать, что если к линейно зависимым векторам $x,y,z,\dots$ добавить еще произвольные векторы $u, v, \dots$ , то все эти векторы вместе также будут линейно зависимы.

3. Доказать, что если векторы $y,z, \dots, v$ линейно независимы и вектор есть их линейная комбинация

$\displaystyle x=\alpha y+\beta z+\ldots+\delta v,$

(3)

то представление (3) единственно.

Указание Предположить, что есть другое представление:

$\displaystyle x=\alpha_1 y+\beta_1 z+\ldots+\delta_1 v,$

(4)

и вычесть равенство (4) из равенства (3).

Перейдем теперь к определению понятия числа измерений (размерности) пространства.

В совокупности векторов на прямой всякие два вектора пропорциональны, т.е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но уже всякие три вектора линейно зависимы. Если -- совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в найти можно, но всякие четыре вектора линейно зависимы.

Мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято называть числом измерений прямой, плоскости, пространства. Естественно поэтому следующее общее

Определение 1.3 Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов и нет большего числа линейно независимых векторов.

Если в пространстве можно найти любое число линейно независимых векторов, то называется бесконечномерным.

Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. Мы будем в этой книге заниматься в основном пространствами конечного числа измерений. [document] В этой книге в основном рассматриваются пространства конечного числа измерений.

Найдем в каждом из рассмотренных выше примеров 1-5 размерность соответствующего пространства.

1. Как мы уже указали, в пространстве примера 1 имеется три линейно независимых вектора, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Поэтому трехмерно.

2. -- пространство, векторами которого являются системы действительных чисел.

В этом пространстве можно указать линейно независимых векторов, например

$\begin{displaymath} \begin{aligned} x_1&=(1,0,\dots,0),\\ x_2&=(0,1,\dots,0),\... ...\leaders\hbox{ . }\hfill\\ x_n&=(0,0,\dots,1) \end{aligned}\end{displaymath}$

(мы предоставляем читателю доказать, что эти векторы действительно линейно независимы).

Упражнение Показать, что векторы

$\begin{displaymath} \begin{aligned}\relax x_1&=(\eta_{11}, &&\eta_{12}, &&\dot... ...,. }\hfill\\ x_n&=(0,&& 0,&&\dots,&&\eta_{nn}) \end{aligned}\end{displaymath}$

в пространстве

также линейно независимы $(\eta_{11}\eta_{22}\dots\eta_{nn}\ne0)$ .

3. -- пространство непрерывных функций. Пусть -- произвольное целое число. Тогда функции $f_1(t)\equiv1$ , , $\dots$ , $f_N(t)=t^{N-1}$ образуют совокупность линейно независимых векторов (доказательство предоставляем читателю). Мы видим, что в этом пространстве имеется произвольное число линейно независимых функций, т.е. бесконечномерно.

4. -- пространство многочленов степени $\leqslant n-1$ . В нем многочленов $1, t, \dots, t^{n-1}$ линейно независимы.

5. В пространстве квадратных матриц $\Vert a_{ik}\Vert$ порядка все матрицы, у которых на одном каком-либо месте стоит единица, а на остальных местах нули, линейно независимы.

В примерах 1, 2, 4 и 5 мы нашли систему таких линейно независимых векторов $f_1, \dots, f_n$ , что каждый вектор есть их линейная комбинация. Чтобы установить, что размерность каждого из этих пространств равна числу векторов $f_1, \dots, f_n$ , нам остается доказать, что в этих пространствах нельзя найти другой системы линейно независимых векторов $g_1, \dots, g_l$ в количестве, превосходящем . Этот факт можно вывести из следующей полезной леммы, которой мы неоднократно будем пользоваться и в дальнейшем.

Лемма Пусть в линейном пространстве задана система из векторов

$\displaystyle f_1,\dots,f_k.$

Пусть, далее, каждый из векторов

$\displaystyle g_1,\dots,g_l$

есть линейная комбинация векторов $f_1, \dots, f_k$ . Тогда, если векторы $g_1, \dots, g_l$ линейно независимы, то $l\leqslant k$ .

Другими словами, среди линейных комбинаций векторов $f_1, \dots, f_k$ не может быть больше чем линейно независимых.

Доказательство леммы проведем по индукции. При она очевидна. Предположим, что лемма верна для векторов $f_1, \dots, f_{k-1}$ , и докажем при этом, что она верна для векторов.

Итак, пусть среди линейных комбинаций векторов

$\displaystyle f_1,\dots,f_k$

есть линейно независимые векторы $g_1, \dots, g_l$ :

$\begin{displaymath}\begin{aligned}g_1&=\alpha_{11}f_1+\ldots+\alpha_{1k}f_k, ... ...fil g_l&=\alpha_{l1}f_1+\ldots+\alpha_{lk}f_k. \end{aligned}\end{displaymath}$

Нам надо показать, что $l\leqslant k$ . Если все коэффициенты при

равны нулю, лемма доказана, так как в этом случае, по предположению индукции, имеет место равенство $l\leqslant k-1$ , а значит, и подавно, $l\leqslant k$ . Пусть хотя бы один из коэффициентов при

, например $\alpha_{lk}$ , не равен нулю. Чтобы провести индукцию, мы построим

новых линейно независимых векторов, которые будут линейными комбинациями векторов $f_1, \dots, f_{k-1}$ . Для этого из последнего равенства выразим

$\displaystyle f_k=\frac{1}{\alpha_{lk}}g_l-\frac{\alpha_{l1}}{\alpha_{lk}}f_1- \ldots-\frac{\alpha_{l,k-1}}{\alpha_{l,k}}f_{k-1}.$

Это выражение для

подставим теперь в каждое из первых

равенств (5) и соберем подобные члены. Мы получим равенства следующего вида:

$\begin{displaymath}\begin{gathered}g_1-\frac{\alpha_{1k}}{\alpha_{lk}}g_l=\beta_... ...\beta_{l-1,1}f_1+ \ldots+\beta_{l-1,k-1}f_{k-1}. \end{gathered}\end{displaymath}$

(6)

Эти равенства означают, что каждый из

векторов

$\displaystyle g'_1=g_1-\frac{\alpha_{1k}}{\alpha_{lk}}g_l,\quad \dots,\quad g'_{l-1}=g_{l-1}-\frac{\alpha_{l-1,k}}{\alpha_{lk}}g_l$

есть линейная комбинация векторов $f_1, \dots, f_{k-1}$ . Если мы докажем, что они линейно независимы, то, по предположению индукции, отсюда будет следовать, что $l-1\leqslant k-1$ , т.е. $l\leqslant k$ .

Таким образом, нам осталось показать, что векторы $g'_1, \dots, g'_{l-1}$ линейно независимы. Но это почти очевидно. Действительно, предположим, что $\lambda_1, \dots, \lambda_{l-1}$ -- такие числа, что

$\displaystyle \lambda_1g'_1+\ldots+\lambda_{l-1}g'_{l-1}=0,$

т.е. что

$\displaystyle \lambda_1\biggl(g_1-\frac{\alpha_{1k}}{\alpha_{lk}}g_l\biggr)+ \l... ... +\lambda_{l-1}\biggl( g_{l-1}-\frac{\alpha_{l-1,k}}{\alpha_{lk}}g_l\biggr)=0.$

Раскрывая скобки, получаем:

$\displaystyle \lambda_1g_1+\lambda_2g_2+\ldots+\lambda_{l-1}g_{l-1} -\left( \la... ...a_{lk}}+ \ldots +\lambda_{l-1} \frac{\alpha_{l-1,k}}{\alpha_{lk}}\right)g_l=0.$

Так как векторы $g_1, \dots, g_l$ линейно независимы, то все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю. В частности, $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_{l-1}=0$ , а это означает, что векторы $g'_1, \dots, g'_{l-1}$ линейно независимы. Лемма полностью доказана. $\qedsymbol$

Из доказанной леммы вытекает следующий, часто оказывающийся полезным результат: если в пространстве существуют линейно независимых векторов $f_1, \dots, f_k$ таких, что каждый вектор из есть их линейная комбинация, то пространство -мерно.

Доказательство этого факта ввиду его простоты мы оставляем читателю.

В каждом из примеров 2, 4 и 5 такая система была выбрана. Таким образом показано, что в примерах 2 и 4 размерность пространства равна , а в примере 5 размерность пространства равна .

Упражнение Показать, что если векторы $f_1, \dots, f_k$ , входящие в условие леммы, линейно зависимы, то (а не только $l\leqslant k$ ).

3 Базис и координаты в -мерном пространстве.

Определение 1.4 Совокупность линейно независимых векторов $e_1, e_2, \dots, e_n$ -мерного пространства называется базисом в .

Например, в пространстве , рассмотренном в примере 1 (трехмерном пространстве), базис образуют любые три вектора, не лежащие в одной плоскости.

По определению -мерного пространства в нем существует линейно независимых векторов, т.е. существует базис.

Покажем, что произвольную систему из линейно независимых векторов $f_1, \dots, f_k$ , где , можно дополнить до базиса в -мерном пространстве .

Пусть $e_1, \dots, e_n$ -- какой-либо базис в . Если бы каждый из векторов $e_1, \dots, e_n$ был линейной комбинацией векторов , то, согласно лемме, мы имели бы, что $n\leqslant k$ , в то время как, по предположению, . Значит, среди векторов $e_1, \dots, e_n$ есть хотя бы один, например $e_{p_1}$ , не являющийся линейной комбинацией векторов $f_1, \dots, f_k$ . Добавив вектор $e_{p_1}$ к $f_1, \dots, f_k$ , мы получим систему из векторов, которые по-прежнему линейно независимы (почему?).

Если , то среди векторов $e_1, \dots, e_n$ снова есть вектор $e_{p_2}$ , не являющийся линейной комбинацией векторов $f_1, \dots, f_k,e_{p_1}$ . Добавим и этот вектор к системе. Этот процесс можно продолжить до тех пор, пока мы дойдем до линейно независимых векторов, т.е. до базиса. Этот базис содержит $f_1, \dots, f_k$ , и тем самым наше утверждение доказано.

Теорема 1.1 Каждый вектор из -мерного пространства можно представить, и при том единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть векторы $e_1, e_2, \dots, e_n$ образуют базис в . Присоединим к ним произвольный вектор из . Векторов $x,e_1, e_2, \dots, e_n$ уже . Поэтому по определению -мерного пространства они должны быть линейно зависимы, т.е.

$\displaystyle \alpha_0x+\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n=0,$

(7)

где не все $\alpha_i$ равны нулю. Число $\alpha_0$ заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов $e_1, e_2, \dots, e_n$ .

Выразим из (7) вектор :

$\displaystyle x=-\frac{\alpha_1}{\alpha_0}e_1-\frac{\alpha_2}{\alpha_0}e_2 -\ldots-\frac{\alpha_n}{\alpha_0}e_n.$

Мы доказали, что каждый вектор $x\in R$ 2.1 есть линейная комбинация векторов $e_1, e_2, \dots, e_n$ .

Докажем теперь единственность полученного разложения. Предположим, что существуют два разложения:

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n$

$\displaystyle x=\xi'_1e_1+\xi'_2e_2+\ldots+\xi'_ne_n.$

Вычитая, получим:

$\displaystyle 0=(\xi_1-\xi'_1)e_1+(\xi_2-\xi'_2)e_2+\ldots+(\xi_n-\xi'_n)e_n.$

Так как $e_1, e_2, \dots, e_n$ линейно независимы, то это возможно лишь, если

$\displaystyle \xi_1-\xi'_1=\xi_2-\xi'_2=\ldots=\xi_n-\xi'_n=0,$

т.е.

$\displaystyle \xi_1=\xi'_1,\quad\xi_2=\xi'_2,\quad\dots,\quad\xi_n=\xi'_n.$

Единственность разложения доказана. $\qedsymbol$

Определение 1.5 Если $e_1, e_2, \dots, e_n$ есть базис в -мерном пространстве и

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n,$

(8)

то числа $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ называются координатами вектора

в базисе $e_1, e_2, \dots, e_n$ .

Теорема 1 означает, что при заданном базисе $e_1, e_2, \dots, e_n$ каждый вектор имеет координаты и притом однозначно определенные.

Если вектор имеет в базисе $e_1, e_2, \dots, e_n$ координаты $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ , а вектор -- координаты $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ , т.е. если

$\begin{displaymath} \begin{aligned} x&=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n,\\ y&=\eta_1e_1+\eta_2e_2+\ldots+\eta_ne_n, \end{aligned}\end{displaymath}$

то

$\displaystyle x+y=(\xi_1+\eta_1)e_1+(\xi_2+\eta_2)e_2+\ldots+(\xi_n+\eta_n)e_n,$

т.е. вектор

имеет координаты $\xi_1+\eta_1, \xi_2+\eta_2, \dots, \xi_n+\eta_n$ . Вектор $\lambda x$ имеет координаты $\lambda\xi_1, \lambda\xi_2, \dots, \lambda\xi_n$ .

Таким образом, при сложении векторов и их координаты складываются. При умножении вектора на число $\lambda$ его координаты умножаются на это число.

Ясно также, что нулевой вектор, и только он, имеет все координаты равными нулю.

Примеры 1. Для случая трехмерного пространства наше определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой (вообще говоря, не прямоугольной) системе координат.

2. Пусть -- пространство, векторами которого являются системы $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ из чисел. Возьмем базис (см. упражнение)

$\begin{displaymath} \begin{aligned} e_1&=(1,1,1,\dots,1),\\ e_2&=(0,1,1,\dots,... ...ers\hbox{ . }\hfill \\ e_n&=(0,0,0,\dots,1). \end{aligned}\end{displaymath}$

Найдем координаты $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ вектора $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ в этом базисе. По определению

$\displaystyle x=\eta_1e_1+\eta_2e_2+\ldots+\eta_ne_n,$

т.е.

$\begin{displaymath} \begin{aligned} (\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n) &=\eta_1(1,1,\dots... ...\eta_1+\eta_2,\dots,\eta_1+\eta_2+\ldots+\eta_n). \end{aligned}\end{displaymath}$

Таким образом, числа $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ находятся из следующей системы уравнений:

$\begin{displaymath} \begin{aligned} \eta_1&=\xi_1,\\ \eta_1&+\eta_2=\xi_2, ... ...uad\qquad\\ \eta_1&+\eta_2+\ldots+\eta_n=\xi_n, \end{aligned}\end{displaymath}$

откуда

$\displaystyle \eta_1=\xi_1,\quad\eta_2=\xi_2-\xi_1,\quad\dots,\quad \eta_n=\xi_n-\xi_{n-1}.$

Рассмотрим теперь в базис, в котором связь между координатами вектора $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ и числами $\xi_1$ , $\xi_2, \dots, \xi_n$ , определяющими этот вектор, наиболее проста. Пусть

$\begin{displaymath} \begin{aligned} e_1&=(1,0,\dots,0),\\ e_2&=(0,1,\dots,0),\... ...\leaders\hbox{ . }\hfill\\ e_n&=(0,0,\dots,1) \end{aligned}\end{displaymath}$

Тогда

$\begin{displaymath} \begin{aligned} x&=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)=\\ &=\xi_1(1,... ...dots,1)=\\ &=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n. \end{aligned}\end{displaymath}$

Таким образом, в пространстве , где каждый вектор определяется как система чисел $(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ , эти числа можно трактовать как координаты вектора $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ в базисе $e_1=(1,0,\dots,0)$ , $e_2=(0,1,\dots,0)$ , $\dots$ , $e_n=(0,0,\dots,1)$ .

Упражнение Доказать, что в любом базисе

$\begin{displaymath} \begin{aligned} e_1&=(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n}),\\ e_2&=... ...,. }\hfill\\ e_n&=(a_{n1},a_{n2},\dots,a_{nn}) \end{aligned}\end{displaymath}$

координаты $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ вектора $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ суть линейные комбинации чисел $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ .

3. -- пространство, векторами которого являются многочлены степени $\leqslant n-1$ . Простейшим базисом является совокупность векторов , , $\dots$ , $e_n=t^{n-1}$ . Координатами многочлена $P(t)=a_0t^{n-1}+a_1t^{n-2}+\ldots+a_{n-1}$ в этом базисе являются, как легко видеть, его коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ .

Выберем теперь другой базис:

$\displaystyle e'_1=1, e'_2=t-a, e'_3=(t-a)^2, \dots, e'_n=(t-a)^{n-1}.$

Каждый многочлен

может быть по формуле Тейлора представлен в виде:

$\displaystyle P(t)=P(a)+P'(a)(t-a)+\ldots+\frac{P^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(t-a)^{n-1}.$

Таким образом, в этом базисе

имеет координаты

$\displaystyle P(a),P'(a),\dots,\frac{P^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}.$

4 Изоморфизм -мерных пространств.

В разобранных выше примерах некоторые пространства с точки зрения рассматриваемых здесь свойств не отличаются друг от друга. Таковы, например, обычное трехмерное пространство примера 1 и пространство , в котором векторы определяются как тройки действительных чисел. В самом деле, выбрав в определенную систему координат, мы можем каждому вектору из поставить в соответствие совокупность трех его координат, т.е. вектор пространства . При сложении векторов координаты их складываются, а при умножении на число все координаты вектора умножаются на это число. Поэтому геометрические факты, вытекающие из определения линейного пространства, которые имеют место в , мы можем параллельно изложить как в , так и в пространстве троек чисел.

Поскольку единственными операциями, которые введены в линейных пространствах, являются операции сложения векторов и умножения вектора на число, то естественно ввести следующее

Определение 1.6 Линейные пространства и называются изоморфными, если между векторами $x\in R$ и векторами $x'\in R'$ можно установить взаимно однозначное соответствие 2.2 $x\leftrightarrow x'$ так, что если вектору соответствует вектор , а вектору соответствует вектор , то

1 $^{\circ}$ вектору соответствует вектор ,

2 $^{\circ}$ вектору $\lambda x$ соответствует вектор $\lambda x'$ .

Из определения изоморфизма следует, что если $x, y, \dots$ -- векторы из , а $x', y', \dots$ -- соответствующие им векторы из , то равенство $\lambda x+\mu y+\ldots=0$ равносильно равенству $\lambda x'+\mu y'+\ldots=0$ . Следовательно, линейно независимым векторам из соответствуют линейно независимые векторы из , и обратно.

Возникает вопрос, какие пространства изоморфны между собой и какие нет.

Два пространства различной размерности заведомо не изоморфны друг другу.

В самом деле, пусть и изоморфны. Из сделанного выше замечания следует, что максимальное число линейно независимых векторов в и одно и то же, т.е. размерности пространств и равны. Следовательно, пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны.

Теорема 1.2 Все пространства, имеющие одну и ту же размерность , изоморфны друг другу.

Доказательство. Пусть и -- два -мерных пространства. Выберем в базис $e_1, e_2, \dots, e_n$ и в какой-либо базис $e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ . Поставим в соответствие вектору

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n$

(9)

вектор

$\displaystyle x'=\xi_1e'_1+\xi_2e'_2+\ldots+\xi_ne'_n,$

т.е. линейную комбинацию векторов

с теми же коэффициентами, что и в (9).

Это соответствие взаимно однозначно. В самом деле, каждый вектор может быть однозначно представлен в виде (9). Поэтому числа $\xi_i$ , а значит, и вектор , определяются по вектору однозначно. Ввиду равноправности, в нашем построении, пространств и , каждому отвечает элемент из и притом только один.

Из установленного закона соответствия сразу следует, что если $x\leftrightarrow x'$ и $y\leftrightarrow y'$ , то $x+y\leftrightarrow x'+y'$ и $\lambda x\leftrightarrow\lambda x'$ . Изоморфизм пространств и , таким образом, доказан. $\qedsymbol$

Итак, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность.

В 3 мы еще вернемся к понятию изоморфизма по другому поводу.

5 Подпространства линейного пространства.

Определение 1.7 Подпространством пространства называется совокупность элементов из таких, что они сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в операций сложения и умножения на числа.

Иначе говоря, совокупность элементов $x, y, \dots$ из образует линейное подпространство пространства , если из $x\in R'$ , $y\in R'$ следует $x+y\in R'$ , $\lambda x\in R'$ .

Примеры 1. Нулевое подпространство, т.е. подпространство, состоящее из единственного элемента -- нуля.

2. Все пространство .

Нулевое подпространство и все пространство называются обычно несобственными подпространствами. Приведем несколько более содержательных примеров подпространств.

3. -- трехмерное пространство. Рассмотрим какую-либо плоскость в , проходящую через начало координат. Совокупность всех векторов, лежащих в этой плоскости, есть подпространство.

4. В пространстве, векторами которого являются системы чисел $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ , совокупность всех тех векторов $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ , для которых $\xi_1=0$ , образует подпространство. Более общо: совокупность векторов $x=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ , удовлетворяющих условию

$\displaystyle a_1\xi_1+a_2\xi_2+\ldots+a_n\xi_n=0,$

где $a_1, a_2, \dots, a_n$ -- какие-то фиксированные числа, образует подпространство.

5. В пространстве всех непрерывных функций совокупность многочленов степени $\leqslant n$ является подпространством.

Очевидно, что во всяком подпространстве какого-либо пространства содержится нулевой элемент пространства .

Поскольку любое подпространство само по себе является линейным пространством, то все такие понятия, как базис, число измерений пространства и т.д., которые мы ввели выше, применимы и к подпространствам. Так как в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов, чем во всем пространстве, то размерность любого подпространства не превосходит размерности всего пространства.

Упражнения 1. Доказать, что если подпространство пространства имеет ту же размерность, что и все пространство , то оно совпадает с .

2. Доказать, что если и -- подпространства пространства , и если $R_1\subset R_2$ и размерности и совпадают, то .

В каждом пространстве можно строить подпространства следующим общим приемом: возьмем в произвольное (конечное или бесконечное) множество векторов $e, f, g, \dots$ ; тогда совокупность всех линейных комбинаций выбранных векторов $e, f, g, \dots$ есть подпространство пространства . Действительно, складывая между собой и умножая на числа линейные комбинации векторов $e, f, g, \dots$ , мы снова получим линейные комбинации векторов $e, f, g, \dots$ , т.е. элементы из . Полученное таким образом подпространство называется подпространством, порожденным векторами $e, f, g, \dots$ . Оно является наименьшим линейным подпространством, содержащим данные векторы $e, f, g, \dots$

Подпространство , порожденное линейно независимыми векторами $e_1,e_2, \dots, e_k$ , является -мерным и векторы $e_1,e_2, \dots, e_k$ образуют в нем базис. Действительно, в имеется система линейно независимых векторов, именно, сами векторы $e_1,e_2, \dots, e_k$ . С другой стороны, если $x_1, x_2, \dots, x_l$ -- произвольные линейно независимые векторы из , то так как они являются линейными комбинациями векторов $e_1,e_2, \dots, e_k$ , то, согласно лемме п.2, $l\leqslant k$ . Следовательно, -мерно и набор векторов $e_1,e_2, \dots, e_k$ есть один из возможных базисов в .

Упражнение Показать, что в -мерном пространстве существуют подпространства всех меньших размерностей.

Если исключить из рассмотрения не представляющее интереса нулевое подпространство, то самыми простыми являются одномерные подпространства. Базис всякого такого подпространства состоит из одного вектора . Таким образом, одномерное подпространство состоит из векторов вида $\alpha e_1$ , где $\alpha$ -- произвольное число.

Прибавим к каждому из векторов $\alpha e_1$ один и тот же вектор . Мы получим совокупность векторов вида $x=x_0+\alpha e_1$ , где $\alpha$ пробегает все числа, а и -- фиксированные векторы. Эту совокупность векторов естественно, по аналогии с трехмерным пространством, назвать прямой в линейном пространстве .

Аналогично, векторы вида $\alpha e_1+\beta e_2$ , где и -- фиксированные линейно независимые векторы, а $\alpha$ и $\beta$ -- произвольные числа, образуют двумерное подпространство. Совокупность векторов

$\displaystyle x=x_0+\alpha e_1+\beta e_2,$

где

-- фиксированный вектор, мы называем плоскостью (двумерной).

Упражнения 1. Показать, что в пространстве, где векторами являются системы действительных чисел $(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ , совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению

$\displaystyle a_1\xi_1+a_2\xi_2+\ldots+a_n\xi_n=0$

( $a_1, a_2, \dots, a_n$ -- фиксированные числа, не все равные нулю), образует подпространство размерности

2. Показать, что если два подпространства и пространства имеют общим лишь нулевой вектор, то сумма их размерностей не превосходит размерности .

3. Показать, что размерность подпространства, порожденного векторами $e, f, g, \dots$ , равна максимальному числу линейно независимых векторов среди них.

6 Разложение пространства в прямую сумму подпространств. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть заданы два подпространства -мерного пространства . Обозначим их и .

Определение 1.8 Если каждый вектор пространства можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов

$\displaystyle x=x_1+x_2,$

где $x_1\in R_1$ , а $x_2\in R_2$ , то говорят, что пространство

разложено в прямую сумму подпространств

Это обычно записывают так:

$\displaystyle R=R_1 \oplus R_2.$

Теорема 1.3 Для того чтобы пространство разлагалось в прямую сумму подпространств и , достаточно, чтобы:

1. Подпространства и имели только один общий вектор (нулевой вектор).

2. Сумма размерностей этих подпространств была равна размерности пространства .

Доказательство. Выберем некоторый базис $e_1, \dots, e_k$ в подпространстве и базис $f_1, \dots, f_l$ в подпространстве . Поскольку сумма размерностей и есть , то общее число этих векторов .

Покажем, что векторы

$\displaystyle e_1,\dots,e_k,\quad f_1,\dots,f_l$

линейно независимы, т.е. образуют базис пространства

. Действительно, пусть

$\displaystyle \lambda_1e_1+\ldots+\lambda_k e_k+\mu_1 f_1+\ldots+\mu_lf_l=0;$

отсюда

$\displaystyle \lambda_1e_1+\ldots+\lambda_k e_k=-\mu_1 f_1-\ldots-\mu_lf_l.$

Левая часть этого равенства есть вектор из

, а правая из

. Так как, по условию, единственный общий вектор

есть нулевой вектор, то

$\begin{displaymath}\begin{aligned}\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_k e_k&=0, \mu_1 f_1+\ldots+\mu_lf_l&=0. \end{aligned}\end{displaymath}$

Но каждый из наборов $e_1, \dots, e_k$ и $f_1, \dots, f_l$ состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в и . Поэтому из первого равенства (10) следует, что

$\displaystyle \lambda_1=\ldots=\lambda_k=0,$

а из второго следует, что

$\displaystyle \mu_1=\ldots=\mu_l=0.$

Следовательно, система $e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_l$ состоит из линейно независимых векторов, т.е. это есть базис в пространстве .

Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые векторов которого образуют базис в , а последние -- базис в .

Произвольный вектор из можно разложить по векторам этого базиса

$\displaystyle x=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_ke_k+\beta_1f_1+\ldots+\beta_lf_l.$

При этом

$\displaystyle x_1=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_ke_k\in R_1$

$\displaystyle x_2=\beta_1f_1+\ldots+\beta_lf_l\in R_2.$

Таким образом,

$\displaystyle x=x_1+x_2,$

где $x_1\in R_1$ и $x_2\in R_2$ . Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения:

$\displaystyle x=x_1+x_2,$ где $\displaystyle \quad x_1\in R_1,\quad x_2\in R_2,$

$\displaystyle x=x'_1+x'_2,$ где $\displaystyle \quad x'_1\in R_1,\quad x'_2\in R_2.$

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

$\displaystyle 0=x_1-x'_1+x_2-x'_2,$

откуда

$\displaystyle x_1-x'_1=x_2'-x_2.$

Так как вектор, стоящий в левой части равенства, принадлежит , а вектор, стоящий в правой части, принадлежит , то каждый из этих векторов равен нулю, т.е.

$\begin{displaymath} \begin{aligned} x'_1&=x_1,\\ x'_2&=x_2. \end{aligned}\end{displaymath}$

Единственность разложения доказана. $\qedsymbol$

Допустим, что нам задано два произвольных подпространства и линейного пространства .

Легко проверить, что совокупность векторов, принадлежащих обоим этим подпространствам, также есть подпространство пространства .

Это подпространство называется пересечением и и обозначается

$\displaystyle R_0=R_1\cap R_2.$

Например, если и -- два двумерных подпространства трехмерного пространства (две плоскости, проходящие через начало координат), то $R_1\cap R_2$ есть одномерное подпространство (прямая, по которой пересекаются эти плоскости).

По двум подпространствам и можно построить еще одно подпространство, которое называется их суммой. Оно определяется следующим образом.

Векторами этого подпространства являются всевозможные суммы вида

$\displaystyle x=x_1+x_2,$

(11)

где $x_1\in R_1$ , $x_2\in R_2$ .

Легко проверить, что элементы вида (11) образуют подпространство. Это подпространство $\tilde R$ называется суммой подпространств и и обозначается

$\displaystyle \tilde R=R_1+R_2.$

Заметим, что, в отличие от прямой суммы двух подпространств, запись элемента из в виде (11) может быть неоднозначной.

Упражнение Показать, что сумма двух различных двумерных подпространств трехмерного пространства есть все это пространство.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1.4 Пусть заданы два подпространства и пространства . Тогда сумма размерностей и равна размерности их суммы плюс размерность пересечения.

Доказательство. Выберем в пересечении $R_0=R_1\cap R_2$ базис

$\displaystyle e_1,\dots,e_k.$

(12)

Дополним этот базис с одной стороны до базиса в :

$\displaystyle e_1,\dots,e_k, f_1,\dots,f_l$

(13)

и с другой стороны до базиса в

$\displaystyle e_1,\dots,e_k, g_1,\dots,g_m.$

(14)

Покажем, что векторы

$\displaystyle f_1,\dots,f_l, e_1,\dots,e_k, g_1,\dots,g_m$

(15)

образуют базис в сумме $\tilde R=R_1+R_2$ .

Сначала покажем, что эти векторы линейно независимы. Действительно, пусть

$\displaystyle \lambda_1f_1+\ldots+\lambda_l f_l+\mu_1e_1 +\ldots+\mu_ke_k+\nu_1g_1+\ldots+\nu_mg_m=0.$

Тогда

$\displaystyle \lambda_1f_1+\ldots+\lambda_l f_l+\mu_1e_1 +\ldots+\mu_ke_k=-\nu_1g_1-\ldots-\nu_mg_m.$

Левая часть этого равенства есть вектор из

, правая -- из

. Таким образом, эта правая часть есть одновременно вектор из

и из

, т.е. принадлежит

и, значит, выражается как линейная комбинация базиса $e_1, \dots, e_k$ подпространства

$\displaystyle -\nu_1g_1-\ldots-\nu_mg_m=c_1e_1+\ldots+c_k e_k.$

В силу линейной независимости векторов (14) это возможно только, когда все коэффициенты -- нули. В частности, $\nu_1=\ldots=\nu_m=0$ , т.е.

$\displaystyle \lambda_1f_1+\ldots+\lambda_l f_l+\mu_1e_1+\ldots+\mu_ke_k=0.$

Из линейной независимости векторов (13) получаем, что и все коэффициенты $\lambda_1, \dots, \lambda_l, \mu_1, \dots, \mu_k$ равны нулю. Таким образом, линейная независимость системы (15) доказана.

Покажем теперь, что всякий вектор $x\in\tilde R$ выражается как линейная комбинация векторов этой системы. По определению $\tilde R$ вектор можно представить в виде:

$\displaystyle x=x_1+x_2,$

где $x_1\in R_1$ , $x_2\in R_2$ . Так как $x_1\in R_1$ , то его можно представить как линейную комбинацию векторов (13). Аналогично $x_2\in R_2$ и

можно представить как линейную комбинацию векторов (14). Складывая, получим, что вектор

представим как линейная комбинация системы (15).

Итак мы получили, что векторы

$\displaystyle f_1,\dots, f_l, e_1,\dots,e_k,\ g_1,\dots,g_m,$

с одной стороны, линейно независимы и, с другой стороны, всякий вектор из $\tilde R$ есть их линейная комбинация. В силу замечания на стр.

отсюда следует, что эти векторы образуют базис в $\tilde R$ . Итак, мы имеем

векторов (12), образующих базис в

векторов (13), образующих базис в

векторов (14), образующих базис в

, и

векторов (15), образующих базис в $\tilde R=R_1+R_2$ . Утверждение теоремы обращается, таким образом, в тождество

$\displaystyle (k+l)+(k+m)=(k+l+m)+k.$

Теорема доказана. $\qedsymbol$

Упражнение Проверить теорему для случая, когда и -- двумерные подпространства трехмерного пространства.

Из доказанной теоремы следует, например, что двум 15-мерным подпространствам ``тесно'' в 28-мерном пространстве -- они пересекаются по крайней мере по двумерному подпространству (плоскости). Действительно, сумма их размерностей равна 30, а размерность суммы не может, конечно, превосходить размерности всего пространства, т.е. 28.

Упражнения 1. Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точке?

2. Доказать, что если $R_1\cap R_2$ есть нулевое подпространство, то $\tilde R=R_1+R_2$ есть прямая сумма и , т.е. $\tilde R=R_1 \oplus R_2$ .

Из результата этого упражнения видно, что теорема 3 этого пункта есть частный случай теоремы 4.

Упражнение Показать, что если имеется разложение в прямую сумму

$\displaystyle R=R_1 \oplus R_2,$

то пересечение

равно нулю и, следовательно, сумма размерностей этих подпространств равна

7 Преобразование координат при изменении базиса.

Пусть $e_1, e_2, \dots, e_n$ и $e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ -- два базиса

-мерного пространства. Пусть, далее, каждый вектор

выражается через векторы первого базиса формулами

$\begin{equation*}\left. \begin{aligned}e'_1&=a_{11}e_1+a_{21}e_2+\ldots+a_{n1}e_... ...'_n&=a_{1n}e_1+a_{2n}e_2+\ldots+a_{nn}e_n. \end{aligned} \right\}\end{equation*}$

Тогда переход от первого базиса ко второму задается матрицей $\boldsymbol{A}=\Vert a_{ik}\Vert$ , определитель которой отличен от нуля 2.3.

Обозначим через $\xi_i$ координаты вектора в первом базисе, а через $\xi'_i$ -- его координаты во втором базисе. Найдем, как выражаются координаты $\xi'_i$ через $\xi_i$ .

Мы имеем:

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n= \xi'_1e'_1+\xi'_2e'_2+\ldots+\xi'_ne'_n.$

Подставив в это равенство вместо

их выражения через

, получим:

$\begin{displaymath} \begin{aligned} x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n &= \xi'_... ...n}e_1+a_{2n}e_2+\ldots+a_{nn}e_n). \end{aligned}} \end{aligned}\end{displaymath}$

Так как

линейно независимы, то коэффициенты при них в правой и левой частях равенства одинаковы. Получаем:

$\begin{equation*}\left. \begin{aligned}\xi_1&=a_{11}\xi'_1+a_{12}\xi'_2+\ldots+a... ...1}\xi'_1+a_{n2}\xi'_2+\ldots+a_{nn}\xi'_n. \end{aligned} \right\}\end{equation*}$

Сравним формулы (16) и (17). Между ними есть два существенных отличия: во-первых, поменялись местами штрихованные и нештрихованные буквы и, во-вторых, в формулах (16) при суммировании меняется первый индекс, а в формулах (17) второй.

Таким образом, координаты $\xi_i$ вектора в первом базисе выражаются через координаты того же вектора во втором базисе с помощью матрицы $\boldsymbol{A}'$ , транспонированной к $\boldsymbol{A}$ .

Этот результат можно представить и в другой форме. Решим уравнения (17) относительно $\xi'_1,\xi'_2,\dots,\xi'_n$ . Получим:

$\begin{displaymath} \begin{aligned} \xi'_1&=b_{11}\xi_1+b_{12}\xi_2+\ldots+b_{1n... ...i'_n&=b_{n1}\xi_1+b_{n2}\xi_2+\ldots+b_{nn}\xi_n, \end{aligned}\end{displaymath}$

где $b_{ik}$ являются элементами матрицы, обратной к матрице $\boldsymbol{A}'$ . Таким образом, мы видим, что координаты вектора преобразуются с помощью матрицы $\boldsymbol{B}=\Vert b_{ik}\Vert$ , являющейся обратной к $\boldsymbol{A}'$ , где $\boldsymbol{A}'$ -- матрица, транспонированная к матрице $\boldsymbol{A}$ , задающей преобразование базиса.

Next: 2 евклидово пространство Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 1 n-мерное пространство. Линейные Vadim Yu. Radionov
2000-08-30

МЦНМО

Посмотреть комментарии[2]