Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch1node7.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 15:07:45 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 8 комплексное -мерное пространство Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 6 приведение к сумме

Subsections

7 Закон инерции

1 Закон инерции.

Приводя квадратичную форму $ A(x;x)$ к сумме квадратов, можно по-разному выбирать тот базис, в котором эта форма приводится к сумме квадратов, т.е. к виду

$\displaystyle A(x; x)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i^2.$ (1)

Все те $ \lambda_i$, которые отличны от нуля, можно, заменяя векторы базиса им пропорциональными, сделать равными $ \pm1$. Таким образом, канонический вид формы $ A(x;x)$ в некотором соответствующим образом подобранном базисе вполне можно характеризовать количеством коэффициентов, равных соответственно нулю, $ +1$ и $ -1$. Так как мы можем по-разному выбирать тот базис, в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов, то возникает вопрос, зависит ли количество коэффициентов, равных нулю, $ +1$ и $ -1$, от выбора базиса или же эти числа зависят лишь от квадратичной формы $ A(x;x)$ (являются ее инвариантами).

Например, если квадратичная форма $ A(x;x)$ в некотором базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ имеет матрицу

$\displaystyle \Vert a_{ik}\Vert,$

где $ a_{ik}=A(e_i; e_k)$ и все определители

$\displaystyle \arraycolsep3pt \Delta_1=a_{11}, \Delta_2= \begin{vmatrix} a_{11... ...\dots&a_{2n}\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix}$

отличны от нуля, то, как мы показали в п.2 предыдущего параграфа, все $ \lambda_i$ в формуле (1) отличны от нуля и при приведении $ A(x;x)$ к сумме квадратов по описанному там способу число отрицательных коэффициентов равно числу перемен знака в ряду определителей $ 1,\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n $.

Но мы могли взять другой исходный базис $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ (например, хотя бы взять те же самые векторы, но в другом порядке); при этом получается другая матрица $ \Vert a'_{ik}\Vert$ и другие определители

$\displaystyle \Delta'_1, \Delta'_2, \dots, \Delta'_n, $

и заранее совершенно неясно, почему число перемен знака в обоих случаях должно быть одно и то же.

В этом параграфе будет доказана следующая теорема, называемая законом инерции квадратичной формы:

Теорема 7.1   Если квадратичная форма приведена двумя различными способами (т.е. в двух различных базисах) к сумме квадратов, то число положительных коэффициентов, так же как и число отрицательных, в обоих случаях одно и то же.

Так как общее число коэффициентов $ \lambda_i$ в каноническом виде квадратичной формы равно $ n$, то отсюда непосредственно следует, что число коэффициентов $ \lambda_i$, равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы.

Доказательство. Пусть в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ квадратичная форма $ A(x;x)$ имеет вид 2.23

$\displaystyle A(x; x)=\xi_1^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_p^2-\xi_{p+1}^2- \ldots-\xi_{p+q}^2;$ (2)

при этом $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ -- координаты вектора $ x$, т.е.

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_pe_p+\xi_{p+1}e_{p+1}+ \ldots+\xi_{p+q}e_{p+q}+\ldots+\xi_ne_n. $

Пусть в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$ эта же квадратичная форма имеет вид

$\displaystyle A(x; x)=\eta_1^2+\eta_2^2+\dots+\eta_{p'}^2-\eta_{p'+1}^2- \ldots-\eta_{p'+q'}^2,$ (3)

где $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ -- координаты вектора в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$. Нам нужно доказать, что $ p=p'$ и $ q=q'$. Предположим, что это не так, например, пусть
$ p>p'$.

Рассмотрим подпространство $ R'$, состоящее из линейных комбинаций векторов $ e_1, e_2, \dots, e_p$. Оно имеет $ p$ измерений. Подпространство $ R''$, состоящее из линейных комбинаций векторов $ f_{p'+1}, f_{p'+2}, \dots, f_n$, имеет $ n-p'$ измерений. Так как $ n-p'+p>n$ (ибо мы предположили, что $ p>p'$), то существует вектор $ x\ne 0$, лежащий на пересечении $ R'$ и $ R''$, т.е. такой, что

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_pe_p $

и

$\displaystyle x=\eta_{p'+1}f_{p'+1}+\ldots+\eta_{p'+q'}f_{p'+q'}+ \ldots+\eta_nf_n. $

В базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ этот вектор имеет координаты $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_p, 0, \dots, 0$, в базисе $ f_1, f_2, \dots, f_n$ он имеет координаты $ 0, 0, \dots, 0, \eta_{p'+1}, \dots, \eta_n$. Подставляя эти координаты в формулы (2) и (3), мы получим, с одной стороны,

$\displaystyle A(x; x)=\xi_1^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_p^2>0$ (4)

(так как не все числа $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_p$ равны нулю), а с другой стороны,

$\displaystyle A(x; x)=-\eta_{p'+1}^2-\eta_{p'+2}^2- \ldots-\eta_{p'+q'}^2\leqslant0$ (5)

2.24.Мы пришли к противоречию, следовательно, неравенство $ p>p'$ невозможно. Точно так же доказывается невозможность неравенств $ p<p'$, $ q>q'$ и $ q<q'$. Таким образом, закон инерции для квадратичных форм доказан.\qedsymbol

2 Ранг квадратичной формы.

Определение 7.1   Число отличных от нуля коэффициентов $ \lambda_i$ в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Как уже было указано выше, из доказанного нами закона инерции непосредственно следует, что ранг квадратичной формы зависит только от самой формы, а не от способа ее приведения к каноническому виду. Посмотрим, как фактически найти ранг квадратичной формы. Для этого мы определим ранг квадратичной формы, не прибегая к ее каноническому виду. Попутно мы получим определение одного подпространства, тесно связанного с данной билинейной формой.

Определение 7.2   Нулевым подпространством данной билинейной формы $ A(x;y)$ мы называем совокупность $ R_0$ векторов $ y$, удовлетворяющих условию $ A(x; y)=0$ для любого вектора $ x\in R$.

Легко видеть, что $ R_0$ действительно есть подпространство. В самом деле, пусть $ y_1,y_2\in R_0$, т.е. $ A(x; y_1)=0$ и $ A(x; y_2)=0$ для любого $ x\in R$. Тогда $ A(x; y_1+y_2)=0$ и $ A(x; \lambda y_1)=0$ для любых $ x$ и $ \lambda $, т.е. $ y=y_1+y_2\in R_0$ и $ \lambda y_1\in R_0$.

Поставим вопрос: как найти подпространство $ R_0$? Пусть $ f_1, f_2, \dots, f_n$ -- какой-либо базис в $ R$. Для того чтобы вектор

$\displaystyle y=\eta_1f_1+\eta_2f_2+\ldots+\eta_nf_n$ (6)

принадлежал нулевому подпространству, достаточно, чтобы

$\displaystyle A(f_i; y)=0$   для$\displaystyle \quad i=1,2,\dots,n.$ (7)

Действительно, если эти равенства выполнены, то и для любого $ x$ имеем $ A(x; y)=0$, так как всякий вектор $ x$ есть линейная комбинация базисных векторов.

Подставляя в (7) вместо $ y$ его выражение (6), мы приходим к следующей системе уравнений:

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(f_1; \eta_1f_1+\eta_2f_2+\ldots+\eta_nf_n... ...A(f_n; \eta_1f_1+\eta_2f_2+\ldots+\eta_nf_n)&=0, \end{aligned}\end{displaymath}

или, если положить $ A(f_i; f_k)=a_{ik}$, к системе

\begin{displaymath} \begin{aligned} a_{11}\eta_1+a_{12}\eta_2+\ldots+a_{1n}\eta_... ...a_{n1}\eta_1+a_{n2}\eta_2+\ldots+a_{nn}\eta_n&=0. \end{aligned}\end{displaymath}

Совокупность векторов $ y$, координаты $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ которых являются решениями этой системы, и образует нулевое подпространство $ R_0$. Как известно из теории линейных уравнений, размерность этого подпространства равна $ n-r$, где $ r$ -- ранг матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$.

Мы можем теперь сделать следующий вывод:

Ранг матрицы $ \Vert a_{ik}\Vert$ билинейной формы $ A(x;y)$ в некотором базисе не зависит от выбора этого базиса (хотя сама матрица $ \Vert a_{ik}\Vert$, как мы знаем из  5, зависит от выбора базиса).

В самом деле, ранг этой матрицы равен $ n-r_0$, где $ r_0$ -- размерность нулевого подпространства. Нулевое же подпространство ни от какой системы координат вообще не зависит.

Свяжем ранг матрицы квадратичной формы с рангом самой квадратичной формы. Рангом квадратичной формы мы назвали число отличных от нуля квадратов в каноническом виде квадратичной формы. Но в каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет вид

$\displaystyle \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&\dots&0\\ \noalign{\vskip-2pt} \hdotsfor[1.5]{4}\\ 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix}$

и ранг этой матрицы равен $ r$, где $ r$ -- число коэффициентов, отличных от нуля, т.е. равен рангу квадратичной формы. Так как ранг матрицы квадратичной формы, как мы доказали, не зависит от системы координат, то и в любой другой системе координат ранг матрицы квадратичной формы равен рангу самой квадратичной формы 2.25.

Итак, нами доказана следующая

Теорема 7.2   Матрицы квадратичной формы в различных системах координат имеют один и тот же ранг $ r$. Этот ранг равен числу квадратов в каноническом виде формы, коэффициенты при которых отличны от нуля.

Таким образом, для того чтобы найти ранг квадратичной формы, нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-нибудь одной системе координат.

next up previous contents index
Next: 8 комплексное -мерное пространство Up: 1 n-мерное пространство. Линейные Previous: 6 приведение к сумме Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования