Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch2node4.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:53:42 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 13 унитарные преобразования Previous: 11 линейное преобразование, сопряженное

Subsections

12 Самосопряженные (эрмитовы) преобразования.
Одновременное приведение пары квадратичных
форм к сумме квадратов

[section] Рассматривается линейное пространство над полем комплексных числел.

1 Самосопряженные преобразования.

В этом параграфе мы более подробно изучим класс самосопряженных преобразований $ n$-мерного евклидова пространства. Эти преобразования часто встречаются в различных приложениях. (Существенную роль самосопряженные преобразования, правда в бесконечномерном пространстве, играют в квантовой механике).

Лемма 12.1   Собственные значения самосопряженного преобразования вещественны.

Доказательство. Пусть $ x$ -- собственный вектор самосопряженного преобразования $ A$ и $ \lambda $ -- соответствующее собственное значение, т.е.

$\displaystyle Ax=\lambda x;\quad x\ne0. $

Так как $ A^*=A$, то

$\displaystyle (Ax,x)=(x,Ax), $

т.е.

$\displaystyle (\lambda x,x)=(x,\lambda x). $

Вынося $ \lambda $ за скобки, получим:

$\displaystyle \lambda(x,x)=\bar\lambda(x,x), $

и так как $ (x,x)\ne0$, то $ \lambda=\bar\lambda$, что и требовалось доказать.\qedsymbol

Лемма 12.2   Пусть $ A$ -- самосопряженное линейное преобразование в $ n$-мерном пространстве $ R$ и $ e$ -- его собственный вектор. Совокупность $ R_1$ векторов $ x$, ортогональных к $ e$, есть $ (n-1)$-мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования $ A$.

Доказательство. Совокупность $ R_1$ векторов $ x$, ортогональных к $ e$, образует $ (n-1)$-мерное подпространство.

Покажем, что $ R_1$ инвариантно относительно $ A$. Пусть $ x\in R_1$. Это значит, что $ (x,e)=0$. Тогда и $ (Ax,e)=0$, т.е. $ Ax\in R_1$. Действительно,

$\displaystyle (Ax,e)=(x,A^*e)=(x,Ae)=(x,\lambda e)=\lambda (x,e)=0. $

Мы доказали, что преобразование $ A$ не выводит векторы, принадлежащие $ R_1$, из $ R_1$, т.е. доказали, что подпространство $ R_1$ инвариантно относительно $ A$.\qedsymbol

Теорема 12.1   Пусть $ A$ -- самосопряженное преобразование в $ n$-мерном евклидовом пространстве $ R$. Тогда существует $ n$ попарно ортогональных собственных векторов преобразования $ A$. Соответствующие им собственные значения вещественны.

Доказательство. Согласно теореме 1 §10 в $ R$ существует хотя бы один собственный вектор $ e_1$ преобразования $ A$. В силу леммы 2 совокупность векторов, ортогональных к $ e_1$, образует $ (n-1)$-мерное инвариантное подпространство $ R_1$. Будем далее рассматривать наше преобразование $ A$ лишь в $ R_1$. В $ R_1$ существует собственный вектор $ e_2$ (см. замечание к теореме 1 §10). Совокупность векторов из $ R_1$, ортогональных к $ e_2$, образует $ (n-2)$-мерное инвариантное подпространство $ R_2$. В нем существует собственный вектор $ e_3$ и т.д.

Мы получаем, таким образом, $ n$ попарно ортогональных собственных векторов $ e_1,e_2,\dots,e_n$. Согласно лемме 1 соответствующие им собственные значения вещественны. Теорема доказана.\qedsymbol

Так как произведение собственного вектора на любое отличное от нуля число есть снова собственный вектор, то векторы $ e_i$ можно выбрать так, чтобы их длины равнялись единице.

Теорема 12.2   Пусть $ A$ -- самосопряженное преобразование в $ n$-мерном пространстве. Тогда существует ортогональный базис, в котором матрица преобразования диагональна и вещественна. Верно также и обратное.

Доказательство. Выберем в качестве базиса построенные в теореме 1 попарно ортогональные собственные векторы $ e_1,e_2,\dots,e_n$.

Тогда

\begin{displaymath} \begin{aligned} Ae_1&=\lambda_1e_1,\\ Ae_2&=\lambda_2e_2,\... ...\leaders\hbox{ . }\hfil\\ Ae_n&=\lambda_ne_n, \end{aligned}\end{displaymath}

т.е. в этом базисе матрица преобразования $ A$ имеет вид

$\displaystyle \begin{pmatrix}\lambda_1&0&\dots&0 0&\lambda_2&\dots&0 \hdotsfor[1.5]{4} 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix},$ (1)

где все $ \lambda_i$ вещественны.

Обратно, пусть матрица преобразования $ A$ в ортогональном базисе имеет вид (1). В ортогональном нормированном базисе матрица сопряженного преобразования $ A^*$ получается из матрицы преобразования $ A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряженным (см. §11). Проделав эти операции над матрицей вида (1) (где все $ \lambda_i$ вещественны), мы получим ту же самую матрицу. Следовательно, преобразованиям $ A$ и $ A^*$ соответствует одна и та же матрица, т.е. $ A=A^*$. Теорема полностью доказана.\qedsymbol

Отметим еще следующее свойство собственных векторов самосопряженного преобразования: собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Действительно, пусть

$\displaystyle Ae_1=\lambda_1e_1,\quad Ae_2=\lambda_2e_2,\quad \lambda_1\ne\lambda_2. $

Имеем:

$\displaystyle (Ae_1,e_2)=(e_1,A^*e_2)=(e_1,Ae_2), $

т.е.

$\displaystyle \lambda_1(e_1,e_2)=\lambda_2(e_1,e_2) $

или

$\displaystyle (\lambda_1-\lambda_2)(e_1,e_2)=0. $

Так как $ \lambda_1\ne\lambda_2$, то

$\displaystyle (e_1,e_2)=0. $


Замечание   Из доказанной теоремы следует, что наглядно-геометрический смысл произвольного самосопряженного преобразования таков; в пространстве выделяется $ n$ попарно ортогональных направлений (собственных направлений). Каждому из этих направлений ставится в соответствие действительное число (собственное значение). По каждому из этих направлений производится растяжение (сжатие) пространства в $ \vert\lambda_i\vert$ раз и, кроме того, зеркальное отражение в плоскости, ортогональной к данному направлению, если соответствующее $ \lambda_i$ отрицательно.


Параллельно с понятием самосопряженного преобразования вводится понятие эрмитовой матрицы.

Матрица $ \Vert a_{ik}\Vert$ называется эрмитовой, если $ a_{ik}=\bar a_{ki}$.

Ясно, что для того чтобы преобразование $ A$ было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортогональном базисе была эрмитовой.


Упражнение   Возвести матрицу

$\displaystyle \arraycolsep3pt \begin{pmatrix} 0&\sqrt2 \sqrt2&1 \end{pmatrix}$

в 28-ю степень.

Указание. Привести эту матрицу к диагональной форме, затем возвести ее в указанную степень и, наконец, вернуться к прежнему базису.


2 Приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.

Применим полученные в п.1 результаты к квадратичным формам.

Мы знаем, что всякой эрмитовой билинейной форме соответствует самосопряженное линейное преобразование. Из теоремы 2 этого параграфа вытекает важная

Теорема 12.3   Пусть $ R$ -- евклидово $ n$-мерное пространство и пусть $ A(x; y)$ -- эрмитова билинейная форма в $ R$. Тогда в $ R$ существует ортогональный нормированный базис, в котором соответствующая $ A(x; y)$ квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов:

$\displaystyle A(x; x)=\sum\lambda_i\vert\xi_i\vert^2, $

где $ \lambda_i$ вещественны, а $ \xi_i$ -- координаты вектора $ x$ 3.7.

Доказательство. Если $ A(x; y)$ -- эрмитова билинейная форма, т.е.

$\displaystyle A(x;y)=\overline{A(y;x)}, $

то (см. §11) существует такое самосопряженное линейное преобразование $ A$, что

$\displaystyle A(x; y)\equiv(Ax,y). $

Выберем в $ R$ в качестве векторов ортогонального нормированного базиса систему попарно ортогональных собственных векторов самосопряженного преобразования $ A$ (это возможно в силу теоремы 1). Тогда

$\displaystyle Ae_1=\lambda_1e_1, Ae_2=\lambda_2e_2, \dots, Ae_n=\lambda_ne_n. $

Пусть

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n, \quad y=\eta_1e_1+\eta_2e_2+\ldots+\eta_ne_n. $

Так как

\begin{displaymath} (e_i,e_k)=\left\{ \begin{aligned} 1\quad&\text{при}\quad i=k,\\ 0\quad&\text{при}\quad i\ne k, \end{aligned}\right. \end{displaymath}

то

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(x;y)\equiv(Ax,y) &= (\xi_1Ae_1+\xi_2Ae_2+\... ...2\bar{\eta}_2 +\ldots+\lambda_n\xi_n\bar{\eta}_n. \end{aligned}\end{displaymath}

В частности,

$\displaystyle A(x; x)=(Ax,x)=\lambda_1\vert\xi_1\vert^2+\lambda_2\vert\xi_2\vert^2+ \ldots+\lambda_n\vert\xi_n\vert^2. $

Теорема доказана.\qedsymbol

Нахождение в евклидовом пространстве ортогонального нормированного базиса, в котором данная квадратичная форма приводится к сумме квадратов, называется приведением этой формы к главным осям.

Теорема 12.4   Пусть $ R$ -- аффинное $ n$-мерное пространство и $ A(x; x)$ и $ B(x; x)$ -- две эрмитовы квадратичные формы, причем форма $ B(x; x)$ -- положительно определенная. Тогда существует базис, в котором обе эти формы записываются в виде суммы квадратов.

Доказательство. Введем в $ R$ скалярное произведение, положив $ (x,y)\equiv B(x; y)$, где $ B(x; y)$ -- отвечающая $ B(x; x)$ билинейная форма. Это является законным, так как аксиомы скалярного произведения означают, что $ (x,y)$ есть эрмитова билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме (§8). Пространство $ R$ станет, таким образом, евклидовым. Согласно теореме 3 в $ R$ существует ортогональный 3.8 нормированный базис $ e_1,e_2,\dots,e_n$, в котором форма $ A(x; x)$ приводится к сумме квадратов, т.е. к виду

$\displaystyle A(x; x)=\lambda_1\vert\xi_1\vert^2+\lambda_2\vert\xi_2\vert^2+ \ldots+\lambda_n\vert\xi_n\vert^2.$ (2)

В нормированном ортогональном базисе скалярное произведение имеет вид

$\displaystyle (x,x)=\vert\xi_1\vert^2+\vert\xi_2\vert^2+\ldots+\vert\xi_n\vert^2, $

т.е.

$\displaystyle B(x; x)=\vert\xi_1\vert^2+\vert\xi_2\vert^2+\ldots+\vert\xi_n\vert^2.$ (3)

Мы нашли, таким образом, базис, в котором обе квадратичные формы $ A(x; x)$ и $ B(x; x)$ одновременно приводятся к сумме квадратов, что и требовалось.\qedsymbol

В теореме 4 показано, что в $ R$ существует базис, в котором эрмитовы квадратичные формы $ A$ и $ B$ имеют вид (2) и (3). Покажем, как найти числа $ \lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n$.

В каноническом виде матрицы квадратичных форм $ A$ и $ B$ имеют вид

$\displaystyle \arraycolsep3pt \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\dots... ...&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ 0&0&\dots&1 \end{pmatrix}.$

Следовательно,

$\displaystyle \operatorname{Det}(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{B})=(\lambda_1-\lambda) (\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda).$ (4)

При переходе к другому базису матрицы эрмитовых квадратичных форм $ A$ и $ B$ переходят в $ \boldsymbol{A}_1=\boldsymbol{C}^*\!\boldsymbol{AC}$ и $ \boldsymbol{B}_1=\boldsymbol{C}^*\!\boldsymbol{AC}$. Поэтому, если $ e_1,e_2,\dots,e_n$ -- произвольный базис, то в этом базисе

$\displaystyle \operatorname{Det}(\boldsymbol{A}_1-\lambda\boldsymbol{B}_1)=\ope... ...}(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{B})\cdot \operatorname{Det}\boldsymbol{C}, $

т.е. отличается лишь постоянным множителем от выражения (4). Отсюда следует, что числа $ \lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n$ являются корнями следующего уравнения:

$\displaystyle \arraycolsep4pt \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda b_{11}&a_{12}-\lam... ...bda b_{n1}&a_{n2}-\lambda b_{n2}& \dots&a_{nn}-\lambda b_{nn} \end{vmatrix}=0, $

где $ \Vert a_{ik}\Vert$ и $ \Vert b_{ik}\Vert$ -- матрицы форм $ A(x; x)$ и $ B(x; x)$ в каком-нибудь базисе $ e_1,e_2,\dots,e_n$.


Замечание   Требование положительной определенности одной из форм является существенным, о чем свидетельствует следующий пример: две квадратичные формы

$\displaystyle A(x; x)=\vert\xi_1\vert^2-\vert\xi_2\vert^2, \quad B(x; x)=\xi_1\bar\xi_2+\xi_2\bar\xi_1, $

из которых ни одна не является положительно определенной, не могут быть одновременно приведены к сумме квадратов. В самом деле, первой форме соответствует матрица

$\displaystyle \arraycolsep3pt \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 1&\hphantom-0 0&-1 \end{pmatrix}, $

а второй -- матрица

$\displaystyle \arraycolsep3pt \boldsymbol{B}= \begin{pmatrix} 0&1 1&0 \end{pmatrix}. $

Рассмотрим матрицу $ \boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{B}$, где $ \lambda $ -- вещественный параметр. Ее детерминант равен $ -(\lambda^2+1)$. Так как он не имеет вещественных корней, то, согласно сказанному выше, обе формы не могут быть приведены одновременно к сумме квадратов.


next up previous contents index
Next: 13 унитарные преобразования Previous: 11 линейное преобразование, сопряженное Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования