Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch2node5.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:53:09 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 14 перестановочные линейные преобразования Previous: 12 самосопряженные (эрмитовы) преобразования

13 Унитарные преобразования

[section] Рассматривается линейное пространство над полем комплексных числел.

Мы определили в §11 унитарные преобразования равенством

$\displaystyle UU^*=U^*U=E.$ (1)

Это определение имеет простой геометрический смысл. А именно:

Всякое унитарное преобразование U в евклидовом $ n$-мерном пространстве $ R$ сохраняет скалярное произведение, т.е.

$\displaystyle (Ux,Uy)=(x,y) $

для всех $ x,y\in R$. Обратно, всякое линейное преобразование $ U$, сохраняющее скалярное произведение, унитарно [т.е. удовлетворяет условию (1)].

В самом деле, если дано, что $ U^*U=E$, то

$\displaystyle (Ux,Uy)=(x,U^*Uy)=(x,y).$

Обратно, если для любых векторов $ x$ и $ y$

$\displaystyle (Ux,Uy)=(x,y),$

то

$\displaystyle (U^*Ux,y)=(x,y),$

т.е.

$\displaystyle (U^*Ux,y)=(Ex,y).$

Так как из равенства билинейных форм следует равенство соответствующих преобразований, то $ U^*U=E$, т.е. $ U$ унитарно.

В частности, при $ x=y$ имеем:

$\displaystyle (Ux,Ux)=(x,x), $

т.е. унитарное преобразование $ U$ не меняет длин векторов.


Упражнение   Доказать, что если линейное преобразование сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно.


Запишем условия унитарности линейного преобразования в матричной форме. Для этого выберем какой-либо ортогональный нормированный базис $ e_1,e_2,\dots,e_n$. Пусть в этом базисе преобразованию $ U$ соответствует матрица

$\displaystyle \arraycolsep3pt \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} a_{2... ...&\dots&a_{2n} \hdotsfor[1.5]{4} a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{pmatrix}.$ (2)

Тогда сопряженному преобразованию $ U^*$ соответствует матрица

$\displaystyle \arraycolsep3pt \begin{pmatrix}\bar a_{11}&\bar a_{21}&\dots&\bar... ... \hdotsfor[1.5]{4} \bar a_{1n}&\bar a_{2n}&\dots&\bar a_{nn} \end{pmatrix}.$ (3)

Условие унитарности $ UU^*=E$ означает, что произведение матриц (2) и (3) есть единичная матрица. Если перемножить их и приравнять элементы произведения соответственным элементам единичной матрицы, то получим:

$\displaystyle \sum_{\alpha=1}^n a_{i\alpha}\bar a_{i\alpha}=1,\quad \sum_{\alpha=1}^n a_{i\alpha}\bar a_{k\alpha}=0 \quad(i\ne k).$ (4)

Итак, в ортогональном нормированном базисе условие $ UU^*=E$ означает, что сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы преобразования $ U$ на элементы, сопряженные к элементам другой строки, равна нулю, а сумма квадратов модулей элементов любой строки равна единице.

Так как $ U^*U=E$ также есть условие унитарности, то мы имеем также:

$\displaystyle \sum_{\alpha=1}^n a_{\alpha i}\bar a_{\alpha i}=1;\quad \sum_{\alpha=1}^n a_{\alpha i}\bar a_{\alpha k}=0 \quad(i\ne k).$ (5)

Это условие аналогично предыдущему, но вместо строк в нем участвуют столбцы матрицы.

Условие (5) имеет простой геометрический смысл. Действительно, скалярное произведение векторов

$\displaystyle Ue_i=a_{1i}e_1+a_{2i}e_2+\ldots+a_{ni}e_n $

и

$\displaystyle Ue_k=a_{1k}e_1+a_{2k}e_2+\ldots+a_{nk}e_n $

равно $ \sum a_{\alpha i}\bar a_{\alpha k}$ (так как $ e_1,e_2,\dots,e_n$ -- это ортогональный нормированный базис); поэтому

\begin{equation*}(Ue_i,Ue_k)=\left\{\begin{aligned}1&\quad\text{при}\quad i=k, 0&\quad\text{при}\quad i\neq k. \end{aligned}\right.\end{equation*}

Следовательно, для того чтобы линейное преобразование было унитарным, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило какой-либо ортогональный нормированный базис $ e_1,e_2,\dots,e_n$ снова в ортогональный и нормированный базис $ Ue_1, Ue_2, \dots, Ue_n$.

Матрица $ \Vert a_{ik}\Vert$, элементы которой удовлетворяют условиям (4), либо, что то же самое, условиям (5), называется унитарной матрицей. Унитарные матрицы являются, как мы видели, матрицами унитарных преобразований в ортогональном нормированном базисе. Так как переход от одного ортогонального нормированного к другому задается унитарным преобразованием, то матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому такому же является унитарной.

Посмотрим, к какому простейшему виду можно привести матрицу унитарного преобразования при соответствующем выборе базиса.

Лемма 13.1   Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны $ 1$.

Доказательство. Пусть $ x$ -- собственный вектор унитарного преобразования $ U$ и $ \lambda $ -- соответствующее собственное значение, т.е.

$\displaystyle Ux=\lambda x,\quad x\ne0. $

Тогда

$\displaystyle (x,x)=(Ux,Ux)=(\lambda x,\lambda x)= \lambda\bar\lambda(x,x), $

т.е. $ \lambda\bar\lambda=1$, значит $ \vert\lambda\vert=1$, что и требовалось доказать.\qedsymbol

Лемма 13.2   Пусть $ U$ -- унитарное линейное преобразование в $ n$-мерном пространстве $ R$ и $ e$ -- его собственный вектор, т.е.

$\displaystyle Ue=\lambda e,\quad e\ne0. $

Тогда $ (n-1)$-мерное подпространство $ R_1$, состоящее из векторов $ x$, ортогональных к $ e$, инвариантно относительно $ U$.

Доказательство. Пусть $ x\in R_1$, т.е. $ (x,e)=0$. Покажем, что $ Ux\in R_1$, т.е. что $ (Ux,e)=0$. В самом деле,

$\displaystyle (Ux,Ue)=(U^*Ux,e)=(x,e)=0. $

А так как $ Ue=\lambda e$, то $ \bar\lambda(Ux,e)=0$. Но в силу леммы 1 $ \lambda\ne0$, поэтому $ (Ux,e)=0$, т.е. $ Ux\in R_1$. Следовательно, подпространство $ R_1$ инвариантно относительно $ U$.\qedsymbol

Теорема 13.1   Пусть $ U$ -- унитарное преобразование в $ n$-мерном евклидовом пространстве. Тогда существует $ n$ попарно ортогональных собственных векторов преобразования $ U$. Соответствующие им собственные значения по модулю равны единице.

Доказательство. В силу теоремы 1 §10 преобразование $ U$, как и всякое линейное преобразование, имеет в $ R$ хотя бы один собственный вектор. Обозначим его $ e_1$. Согласно лемме 2, $ (n-1)$-мерное подпространство $ R_1$, состоящее из всех векторов пространства $ R$, ортогональных к $ e_1$, инвариантно относительно $ U$. Следовательно, в $ R_1$ имеется хотя бы один собственный вектор $ e_2$ преобразования $ U$. Через $ R_2$ обозначим инвариантное подпространство, состоящее из всех векторов, принадлежащих $ R_1$ и ортогональных к $ e_2$. В $ R_2$ содержится некоторый собственный вектор $ e_3$ преобразования $ U$ и т.д.; продолжая этот процесс, мы построим $ n$ попарно ортогональных собственных векторов $ e_1,e_2,\dots,e_n$ преобразования $ U$. Согласно лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам $ e_1,e_2,\dots,e_n$, по модулю равны $ 1$.\qedsymbol

Теорема 13.2   Для каждого унитарного преобразования $ U$ в $ n$-мерном пространстве $ R$ существует нормированный ортогональный базис, в котором матрица преобразования $ U$ диагональна, т.е. имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\lambda_1&0&\dots&0 0&\lambda_2&\dots&0 \hdotsfor[1.5]{4} 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix},$ (7)

причем $ \lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n$ -- числа, по модулю равные единице.

Доказательство. Пусть $ U$ -- унитарное преобразование. Тогда $ n$ попарно ортогональных нормированных собственных векторов, построенных в предыдущей теореме, образуют искомый базис. Действительно,

\begin{displaymath} \begin{aligned} Ue_1&=\lambda_1e_1,\\ Ue_2&=\lambda_2e_2,\... ...2\leaders\hbox{ . }\hfil\\ Ue_n&=\lambda_ne_n \end{aligned}\end{displaymath}

и, следовательно, матрица преобразования $ U$ в базисе $ e_1,e_2,\dots,e_n$ имеет вид (7). Числа $ \lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n$ по модулю равны $ 1$ в силу леммы 1. Теорема доказана.\qedsymbol


Упражнения   1. Доказать, что верно и обратное, т.е. если в некотором ортогональном базисе матрица преобразования $ U$ имеет вид (7), то $ U$ унитарно.

2. Доказать, что если $ A$ -- самосопряженное преобразование, то преобразование $ (A-iE)^{-1}(A+iE)$ существует и является унитарным.

3. Пусть $ U$ -- унитарное преобразование. Доказать, что если преобразование $ U-E$ обратимо, то преобразование

$\displaystyle A=i(U-E)^{-1}(U+E) $

самосопряженное.


Так как матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому задается унитарной матрицей, то полученный в этом параграфе результат мы можем в матричных терминах сформулировать следующим образом:

Пусть $ \boldsymbol{U}$ -- заданная унитарная матрица. Тогда существует такая унитарная матрица $ \boldsymbol{V}$, что $ \boldsymbol{U}$ представима в виде

$\displaystyle \boldsymbol{U}=\boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{DV}, $

где $ \boldsymbol{D}$ -- диагональная матрица, у которой по диагонали стоят числа, по модулю равные $ 1$.

Аналогично, основной результат в п.1 §12 в матричных терминах формулируется так:

Пусть $ \boldsymbol{A}$ -- заданная эрмитова матрица. Тогда $ \boldsymbol{A}$ может быть представлена в виде

$\displaystyle \boldsymbol{A}=\boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{DV}, $

где $ \boldsymbol{V}$ -- унитарная матрица, а $ \boldsymbol{D}$ -- диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные числа.

next up previous contents index
Next: 14 перестановочные линейные преобразования Previous: 12 самосопряженные (эрмитовы) преобразования Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования