Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch2node6.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 15:07:55 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 15 разложение линейного преобразования Previous: 13 унитарные преобразования

Subsections

14 Перестановочные линейные преобразования.
Нормальные преобразования

[section] Рассматривается линейное пространство над полем комплексных числел.

1 Перестановочные преобразования.

Мы видели (§12), что для всякого самосопряженного линейного преобразования есть свой ортогональный нормированный базис, в котором его матрица диагональна. Может оказаться что для нескольких самосопряженных преобразований существует один общий базис, в котором матрицы всех этих преобразований диагональны. Мы выясним здесь, при каких условиях это возможно. Разберем в первую очередь случай двух преобразований.

Лемма 14.1   Пусть $ A$ и $ B$ -- два перестановочных линейных преобразования, т.е.

$\displaystyle AB=BA.$

Тогда совокупность всех собственных векторов преобразования $ A$, отвечающих данному собственному значению $ \lambda $, образует (вместе с нулевым вектором) подпространство $ R_{\lambda}$, инвариантное относительно преобразования $ B$.

Доказательство. Нам нужно показать, что если

$\displaystyle x\in R_{\lambda},$   т.е.$\displaystyle \quad Ax=\lambda x, $

то и

$\displaystyle Bx\in R_{\lambda},$   т.е.$\displaystyle \quad ABx=\lambda Bx. $

Но так как $ AB=BA$, то

$\displaystyle ABx=BAx=B\lambda x=\lambda Bx, $

и лемма доказана.\qedsymbol

Лемма 14.2   Любые два перестановочных преобразования имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть $ AB=BA$ и $ R_\lambda$ -- подпространство, состоящее из всех таких векторов $ x$, что $ Ax=\lambda x$, где $ \lambda $ -- собственное значение преобразования $ A$. Согласно лемме 1, $ R_\lambda$ инвариантно относительно $ B$. Поэтому в нем существует вектор $ x_0$, собственный для $ B$. Этот вектор является собственным и для $ A$, так как все векторы из $ R_\lambda$ являются собственными для $ A$.\qedsymbol

Замечание   Если $ AB=BA$, то, вообще говоря, не всякий вектор, собственный для $ A$, является собственным и для $ B$. Например, если $ A$ есть единичное преобразование $ E$, то для него любой вектор $ x$ является собственным. Однако $ x$ вовсе не будет собственным вектором для любого перестановочного с $ E$ преобразования, так как с $ E$ перестановочны все линейные преобразования.

Теорема 14.1   Пусть $ A$ и $ B$ -- два самосопряженных линейных преобразования в комплексном $ n$-мерном пространстве $ R$. Для того чтобы в $ R$ существовал ортогональный базис, в котором преобразования $ A$ и $ B$ одновременно приводятся к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы они были перестановочны (т.е. $ AB=BA$).

Доказательство. Достаточность. Пусть $ AB=BA$. Тогда, в силу леммы 2, существует вектор $ e_1$, собственный и для $ A$, и для $ B$, т.е. такой, что

$\displaystyle Ae_1=\lambda_1e_1,\quad Be_1=\mu_1e_1. $

$ (n-1)$-мерное подпространство $ R_1$, ортогональное к $ e_1$, инвариантно как для $ A$, так и для $ B$ (см. лемму 2 §12). Будем рассматривать преобразования $ A$ и $ B$ лишь в $ R_1$. Согласно лемме 2 в $ R_1$ существует вектор $ e_2$, собственный и для $ A$, и для $ B$:

$\displaystyle Ae_2=\lambda_2e_2,\quad Be_2=\mu_2e_2. $

Совокупность векторов из $ R_1$, ортогональных к $ e_2$, образует $ (n-2)$-мерное пространство, инвариантное как относительно $ A$, так и относительно $ B$, и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим $ n$ попарно ортогональных векторов $ e_1,e_2,\dots,e_n$, собственных как для $ A$, так и для $ B$:

$\displaystyle Ae_i=\lambda_ie_i,\quad Be_i=\mu_ie_i\quad(i=1,\dots,n). $

Примем векторы $ e_1,e_2,\dots,e_n$ за базис в $ R$. Тогда оба преобразования $ A$ и $ B$ запишутся в диагональной форме. Достаточность условия $ AB=BA$ доказана.\qedsymbol

Необходимость. Пусть в некотором ортогональном базисе матрицы преобразований $ A$ и $ B$ диагональны. Любые диагональные матрицы, как это легко проверить, перестановочны между собой. Но если матрицы преобразований в некотором базисе перестановочны, то перестановочны и сами преобразования.


Упражнение   Пусть $ U_1$ и $ U_2$ -- перестановочные унитарные преобразования. Доказать, что существует базис, в котором они одновременно записываются в диагональной форме.

Замечание   Теорема 1 переносится на любое множество попарно перестановочных самосопряженных преобразований. Доказательство повторяется дословно, только вместо леммы 2 используется следующая

Лемма 2'   У любого множества попарно перестановочный линейных преобразований есть общий собственный вектор.

Доказательство будем вести по индукции. В одномерном пространстве ($ n=1$) лемма очевидна. Предположим, что для пространств размерности $ <n$ лемма доказана и докажем ее для $ n$-мерного пространства.

Если каждый вектор из $ R$ является собственным для каждого из рассматриваемых преобразований 3.9 $ A, B, C,\dots$, то все доказано. Предположим поэтому, что хотя бы один вектор не является собственным для какого-либо из наших преобразований, например для $ A$.

Обозначим через $ R_1$ совокупность всех собственных векторов преобразования $ A$, отвечающих какому-нибудь собственному значению $ \lambda $. Согласно лемме 1, $ R_1$ инвариантно относительно $ B,C,\dots$ (и, само собой разумеется, инвариантно относительно $ A$). При этом $ R_1$ есть подпространство, отличное от нулевого и от всего $ R$ и имеющее, следовательно, размерность $ \leqslant n-1$. Так как по предположению для пространств размерности, меньшей чем $ n$, теорема доказана, то в $ R_1$ преобразования $ A, B, C,\dots$ имеют общий собственный вектор, и лемма доказана.\qedsymbol


2 Нормальные преобразования.

В §§ 12 и 13 мы ознакомились с двумя классами линейных преобразований, приводимыx в некотором нормированном ортогональном базисе к диагональной форме. Сейчас мы выясним, каков общий вид всех таких преобразований.

Теорема 14.2   Для того чтобы существовал ортогональный базис, в котором линейное преобразование $ A$ приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы

$\displaystyle AA^*=A^*A.$

(Такие преобразования мы назвали в §$ 11$ нормальными.)

Доказательство. Необходимость. Пусть в некотором ортогональном нормированном базисе матрица преобразования $ A$ диагональна, т.е. имеет вид

$\displaystyle \arraycolsep3pt \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&\dots&0\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix}. $

Так как базис ортогональный и нормированный, то матрица преобразования $ A^*$ имеет вид

$\displaystyle \arraycolsep3pt \begin{pmatrix} \bar\lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\ba... ...bda_2&\dots&0\\ \hdotsfor[1.5]{4}\\ 0&0&\dots&\bar\lambda_n \end{pmatrix}. $

Матрицы преобразований $ A$ и $ A^*$ диагональны и, значит, перестановочны между собой. Следовательно, перестановочны и сами преобразования $ A$ и $ A^*$.

Достаточность. Пусть $ A$ и $ A^*$ перестановочны. Тогда, согласно лемме 2 этого параграфа, у $ A$ и $ A^*$ существует общий собственный вектор $ e_1$, т.е.

$\displaystyle Ae_1=\lambda_1e_1,\quad A^*e_1=\mu_1e_1\ \footnotemark . $

$ (n-1)$-мерное подпространство $ R_1$, состоящее из векторов, ортогональных к $ e_1$, инвариантно как относительно $ A$, так и относительно $ A^*$. Действительно, пусть $ x\in R_1$, т.е. $ (x,e_1)=0$. Тогда

$\displaystyle (Ax,e_1)=(x,A^*e_1)=(x,\mu_1e_1)=\bar\mu_1(x,e_1)=0, $

т.е. $ x\in R_1$. Инвариантность $ R_1$ относительно $ A$ доказана. Аналогично доказывается инвариантность $ R_1$ относительно $ A^*$.

Применяя к $ R_1$ ту же лемму 2, получим, что в $ R_1$ существует вектор $ e_2$, собственный одновременно и для $ A$, и для $ A^*$. Через $ R_2$ обозначим $ (n-2)$-мерное подпространство, состоящее из векторов подпространства $ R_1$, ортогональных к $ e_2$, и т.д. Продолжая таким образом, мы построим $ n$ попарно ортогональных векторов $ e_1,e_2,\dots,e_n$, каждый из которых является собственным как для $ A$, так и для $ A^*$. Векторы $ e_1,e_2,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис, в котором как $ A$, так и $ A^*$ приводятся к диагональной форме.

Другое доказательство достаточности. Положим

$\displaystyle A_1=\frac{A+A^*}{2},\quad A_2=\frac{A-A^*}{2i}. $

Преобразования $ A_1$ и $ A_2$ -- самосопряженные. Если $ A$ и $ A^*$ перестановочны, то $ A_1$ и $ A_2$ также перестановочны. В силу теоремы 1 настоящего параграфа преобразования $ A_1$ и $ A_2$ могут быть одновременно приведены к диагональной форме. Но тогда и $ A=A_1+iA_2$ также записывается в диагональной форме.

Если $ A$ -- самосопряженное преобразование, то

$\displaystyle AA^*=A^*A=A^2,$

т.е. $ A$ нормально. Нормальным является также всякое унитарное преобразование, так как в этом случае $ UU^*=U^*U=E$. Поэтому теорема 2 этого параграфа содержит как частный случай результаты §12 (п. 1) и §13.\qedsymbol


Упражнения   1. Доказать, что любое множество попарно перестановочных нормальных преобразований приводится одновременно к диагональной форме.

2. Доказать, что всякое нормальное преобразование $ A$ может быть записано в виде

$\displaystyle A=HU=UH,$

где $ H$ -- самосопряженное преобразование, а $ U$ -- унитарное, причем $ H$ и $ U$ перестановочны.

Указание   Выбрать базис, в котором $ A$ и $ A^*$ приводятся к диагональной форме.

3. Доказать, что если $ A=HU$, где $ H$ и $ U$ перестановочны, $ H$ -- эрмитово, $ U$ -- унитарно, то $ A$ -- нормальное преобразование.


next up previous contents index
Next: 15 разложение линейного преобразования Previous: 13 унитарные преобразования Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования