Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch4node1.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:53:45 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 24 тензоры Previous: 4 Понятие о тензорах

Subsections

23 Сопряженное (двойственное) пространство

1 Определение сопряженного пространства.

Пусть $ R$ -- линейное пространство. Одновременно с $ R$ часто рассматривают другое, тесно связанное с ним пространство, так называемое сопряженное пространство. Для того чтобы сформулировать определение сопряженного пространства, вернемся к понятию линейной функции, введенному нами в п. 1 §4.

Линейной функцией мы назвали функцию $ f(x)$, $ x\in R$ удовлетворяющую условиям:

1$ ^\circ$ $ f(x+y)=f(x)+f(y)$,

2$ ^\circ$ $ f(\lambda x)=\lambda f(x)$.

Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- базис в $ n$-мерном пространстве $ R$. Если

$\displaystyle x=\xi^1e_1+\xi^2e_2+\ldots+\xi^ne_n $

-- вектор из $ R$, то линейная функция в $ R$ может быть записана в виде (см. §4)

\begin{displaymath}\begin{aligned}f(x)&=f(\xi^1e_1+\xi^2e_2+\ldots+\xi^ne_n)= &=a_1\xi^1+a_2\xi^2+\ldots+a_n\xi^n, \end{aligned}\end{displaymath}

где коэффициенты $ a_1, a_2, \dots, a_n$, определяющие линейную функцию, вычисляются по формулам

$\displaystyle a_1=f(e_1), a_2=f(e_2), \dots, a_n=f(e_n).$ (2)

Как это ясно из формулы (1), при заданном базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ всяким $ n$ числам $ a_1, a_2, \dots, a_n$ отвечает линейная функция, притом только одна.

Пусть $ f$ и $ g$ -- линейные функции. Их суммой называется функция $ h$, ставящая в соответствие каждому вектору $ x$ число $ f(x)+g(x)$. Произведением линейной функции $ f$ на число $ \alpha$ называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору $ x$ число $ \alpha f(x)$.

Очевидно, что сумма линейных функций и произведение линейной функции на число есть снова линейная функция. При этом, если линейная функция $ f$ задается числами $ a_1, a_2, \dots, a_n$, а $ g$ -- числами $ b_1, b_2, \dots, b_n$, то $ f+g$ задается числами $ a_1+b_1$, $ a_2+b_2$, $ \dots$, $ a_n+b_n$, а $ \alpha f$ -- числами $ \alpha a_1, \alpha a_2, \dots, \alpha a_n$.

Таким образом, множество заданных в $ R$ линейных функций образует линейное пространство.

Определение 23.1   Пусть $ R$ есть $ n$-мерное пространство. Пространством $ R'$, сопряженным к $ R$, мы назовем линейное пространство, векторами которого являются линейные функции, заданные в $ R$. Сумма в $ R'$ определяется как сумма линейных функций, а произведение вектора из $ R'$ на число -- как произведение линейной функции на число.

Так как при заданном базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ в пространстве $ R$ каждая линейная функция однозначно задается системой $ n$ чисел $ a_1, a_2, \dots, a_n$, причем сумме функций отвечает сумма чисел, произведению функции на $ \alpha$ произведение чисел $ a_i$ на $ \alpha$, то ясно, что $ R'$ изоморфно пространству, в котором вектор определен как совокупность $ n$ чисел.

Значит, пространство $ R'$, сопряженное к $ n$-мерному пространству $ R$, также $ n$-мерно.

Если пространства $ R$ и $ R'$ рассматривают одновременно, то векторы из $ R$ называются контравариантными, а векторы из $ R'$ ковариантными. В дальнейшем символы $ x, y, \dots$ будут означать элементы из $ R$, т.е. контравариантные векторы, а $ f, g, \dots$ -- элементы из $ R'$, т.е. ковариантные векторы.

2 Биортогональные (взаимные) базисы.

В дальнейшем мы будем значение линейной функции $ f$ в точке $ x$ обозначить через $ (f,x)$. Таким образом, каждой паре $ f\in R'$ и $ x\in R$ отнесено число $ (f,x)$, причем

1$ ^\circ$ $ (f,x_1+x_2)=(f,x_1)+(f,x_2)$,

2$ ^\circ$ $ (f,\lambda x)=\lambda(f,x)$,

3$ ^\circ$ $ (\lambda f,x)=\lambda(f,x)$,

4$ ^\circ$ $ (f_1+f_2,x)=(f_1,x)+(f_2,x)$.

Первое и второе из этих соотношений -- это записанные в новых обозначениях равенства

$\displaystyle f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$   и$\displaystyle \quad f(\lambda x)=\lambda f(x), $

являющиеся определением линейной функции, а третье и четвертое -- определения произведения линейной функции на число и суммы линейных функций. Соотношения 1$ ^\circ$-4$ ^\circ$ напоминают по внешнему виду аксиомы 2$ ^\circ$ и 3$ ^\circ$ скалярного произведения (§2). Надо лишь подчеркнуть, что в то время, как скалярное произведение есть число, отнесенное паре векторов одного и того же (евклидова) пространства, $ (f,x)$ есть число, отнесенное паре векторов, один из которых принадлежит аффинному пространству $ R$, а другой -- аффинному пространству $ R'$.

Векторы $ x\in R$ и $ f\in R'$ мы назовем ортогональными, если

$\displaystyle (f,x)=0.$

Таким образом, хотя в аффинном пространстве $ R$ (в отличие от евклидова) нет понятия ортогональности двух векторов $ x,y\in R$, можно говорить об ортогональности векторов из $ R$ к векторам из $ R'$.

Определение 23.2   Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- базис в $ R$, а $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- базис в $ R'$. Мы назовем эти базисы биортогональными (взаимными), если

\begin{equation*}(f^i,e_k)=\left\{ \begin{aligned}1\quad\text{при}&\quad i=k, ... ...t{при}&\quad i\ne k \end{aligned} \quad(i,k=1,2,\dots,n). \right.\end{equation*}

Введем символ $ \delta_k^i$, положив

\begin{displaymath} \delta_k^i=\left\{ \begin{aligned} 1\quad\text{при}&\quad i=... ...при}&\quad i\ne k \end{aligned}\quad(i,k=1,2,\dots,n). \right. \end{displaymath}

Тогда

$\displaystyle (f^i,e_k)=\delta_k^i.$

Если $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- базис в $ R$, то $ (f,e_k)$ являются числами $ a_k$, определяющими линейную функцию $ f\in R'$ [см. формулу (2)], так как $ (f,e_k)$ есть другая форма записи выражения $ f(e_k)$.

Из этого замечания следует утверждение:

если $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- произвольный базис в $ R$, то в $ R'$ существует, и притом только один, базис $ f^1, f^2, \dots, f^n$ такой, что базисы $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots, f^n$ биортогональны (взаимны).

Действительно, из равенства (3) имеем

$\displaystyle (f^1,e_1)=1,\quad(f^1,e_2)=0,\quad\dots,\quad(f^1,e_n)=0. $

Таким образом, здесь заданы числа $ a_1=1$, $ a_2=0$, $ \dots$, $ a_n=0$. Так как по всяким числам $ a_i$ можно построить единственную линейную функцию, то $ f^1$ определено, и при этом однозначно. Аналогично определяется $ f^2$ равенствами

$\displaystyle (f^2,e_1)=0,\quad(f^2,e_2)=1,\quad\dots,\quad(f^2,e_n)=0 $

и т.д. Построенные векторы $ f^1, f^2, \dots, f^n$ из $ R'$ (линейные функции) линейно независимы, так как отвечающие каждому из них системы чисел $ a_1, a_2, \dots, a_n$ линейно независимы между собой. Мы построили, таким образом, базис, биортогональный базису $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и доказали его единственность.

В дальнейшем мы будем пользоваться принятыми в тензорном исчислении обозначениями, а именно, если в некотором выражении один и тот же индекс стоит один раз вверху, а другой раз внизу, то это означает, что по этому индексу производится суммирование (от 1 до $ n$). Сам знак суммирования $ \sum$ мы при этом будем опускать.

Например, $ \xi^i\eta_i$ означает $ \xi^1\eta_1+\xi^2\eta_2+\ldots+\xi^n\eta_n$.

Имея в $ R$ и $ R'$ биортогональные базисы, легко вычислять координаты любого вектора. Пусть $ e_i$ и $ f^k$ -- биортогональные базисы. Найдем координаты $ \xi^i$ вектора $ x\in R$ в базисе $ e_i$. Мы имеем

$\displaystyle x=\xi^ie_i.$

Отсюда

$\displaystyle (f^k,x)=(f^k,\xi^ie_i)=\xi^i(f^k,e_i)= \xi^i\delta_i^k=\xi^k. $

Следовательно, координаты $ \xi^k$ вектора $ x$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ вычисляются по формулам

$\displaystyle \xi^k=(f^k,x),$

где $ f^k$ -- базис, взаимный с базисом $ e_i$.

Аналогично получаем, что координаты $ \eta_i$ вектора $ f$ в базисе $ f^k$ вычисляются по формулам

$\displaystyle \eta_i=(f,e_i).$

Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- два взаимных (биортогональных) базиса. Выразим величину $ (f,x)$ через координаты векторов $ f$ и $ x$ в базисах $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots, f^n$ соответственно. Пусть

$\displaystyle x=\xi^1e_1+\xi^2e_2+\ldots+\xi^ne_n $   и$\displaystyle \quad f=\eta_1f^1+\eta_2f^2+\ldots+\eta_nf^n; $

тогда

$\displaystyle (f,x)=(\eta_1f^1+\eta_2f^2+\ldots+\eta_nf^n, \xi^1e_1+\xi^2e_2+\ldots+\xi^ne_n) =(f^i,e_k)\eta_i\xi^k=\delta_k^i\eta_i\xi^k=\eta_i\xi^i. $

Итак, если $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- базис в $ R$, $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- взаимный с ним базис в $ R'$, то

$\displaystyle (f,x)=\eta_1\xi^1+\eta_2\xi^2+\ldots+\eta_n\xi^n,$ (4)

где $ \xi^1, \xi^2, \dots, \xi^n$ -- координаты вектора $ x\in R$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$, а $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ -- координаты вектора $ f\in R'$ в базисе $ f^1, f^2, \dots, f^n$.

Замечание   Если $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- произвольные базисы в $ R$ и $ R'$ соответственно, то

$\displaystyle (f,x)=a_k^i\eta_i\xi^k,$

где $ a_k^i=(f^i,e_k)$.

Мы видим, что во взаимных базисах значение $ (f,x)$ записывается особенно просто.


Итак, мы построили соответствие, относящее каждому линейному пространству $ R$ другое пространство, а именно сопряженное пространство $ R'$. Мы можем теперь установить соответствие между линейными преобразованиями пространств.

Пусть $ R_1, R_2$ -- два линейных пространства и $ R'_1, R'_2$ -- пространства, им сопряженные. Каждому линейному преобразованию $ A$ пространства $ R_1$ в $ R_2$ мы поставим в соответствие линейное преобразование $ A'$ пространства $ R'_2$ в $ R'_1$, которое определим следующим образом.

Пусть $ f_2\in R'_2$, $ x_1\in R_1$. Рассмотрим $ (f_2,Ax_1)$; при фиксированном $ f_2$ это линейная функция от $ x_1$, т.е. может быть записана в виде $ (f_2,Ax_1)=(f_1,x_1)$, где $ f_1\in R'_1$. Положим по определению $ f_1=A'f_2$. Получаемое преобразование $ A'$ называется сопряженным к $ A$. Итак, если $ A$ -- линейное преобразование пространства $ R_1$ в $ R_2$, то сопряженное ему преобразование есть линейное преобразование $ A'$ пространства $ R'_2$ в $ R'_1$, задаваемое тождеством

$\displaystyle (A'f_2,x_1)=(f_2,Ax_1).$

Установим одно важное свойство операции перехода к сопряженному преобразованию. Пусть $ A$ -- линейное преобразование пространства $ R_1$ в $ R_2$, $ B$ -- линейное преобразование пространства $ R_2$ в $ R_3$. Обозначим через $ BA$ композицию этих преобразований, т.е. линейное преобразование пространства $ R_1$ в $ R_3$ (по определению $ BAx=B(Ax)$ для любого $ x\in R_1$).

Покажем, что

$\displaystyle (BA)'=A'B'.$

В самом деле, согласно определению имеем:

$\displaystyle ((BA)'f,x)=(f,BAx)$   для любых$\displaystyle \quad x\in R_1$   и$\displaystyle \quad f\in R'_3. $

С другой стороны, $ (A'B'f,x)=(B'f,Ax)=(f,BAx)$. Сопоставляя эти равенства, мы видим, что $ (BA)'=A'B'$.

Упражнение   Доказать, что линейное преобразование, сопряженное к $ A'$, есть $ A$.


3 Взаимозаменяемость и .

В предыдущем изложении $ R$ и $ R'$ играли различную роль. Мы покажем, что они совершенно равноправны, т.е. что все теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем $ R$ и $ R'$ ролями.

Мы определили $ R'$ как совокупность линейных функций в $ R$. Чтобы установить равноправность $ R$ и $ R'$, докажем, что всякая линейная функция $ \phi(f)$ в $ R'$ может быть записана в виде $ (f,x_0)$, где $ x_0$ -- фиксированный вектор из $ R$.

Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- некоторый базис в $ R$ и $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- взаимный с ним базис в $ R'$. Линейная функция $ \phi(f)$ может быть записана в виде

$\displaystyle \phi(f)=a^1\eta_1+a^2\eta_2+\ldots+a^n\eta_n, $

где $ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ -- координаты вектора $ f$ в базисе $ f^1, f^2, \dots, f^n$. Рассмотрим вектор $ x_0$, имеющий в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ координаты $ a^1, a^2, \dots, a^n$. Тогда, как мы видели в п.2,

$\displaystyle (f,x_0)=a^1\eta_1+a^2\eta_2+\ldots+a^n\eta_n$

и, следовательно,

$\displaystyle \phi(f)\equiv(f,x_0).$ (5)

Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциями $ \phi$, заданными в $ R'$, и векторами $ x_0\in R$.

Мы можем поэтому во всем изложении считать $ R$ пространством линейных функций над $ R'$, задавая эти линейные функции формулой (5). Этим установлено полное равноправие между $ R$ и $ R'$.


Заметим, что при одновременном изучении пространства и сопряженного пространства мы употребляем лишь обычные для векторов операции сложения и умножения на число в каждом пространстве и операцию $ (f,x)$, связывающую элементы обоих пространств. Можно поэтому дать другое определение пары сопряженных пространств $ R$ и $ R'$, при котором их равноправие непосредственно видно. Это определение состоит в следующем: мы рассматриваем пару $ n$-мерных пространств $ R$ и $ R'$ и каждой паре векторов $ x\in R$, $ f\in R'$ относим число $ (f,x)$, требуя при этом, чтобы выполнялись условия 1$ ^\circ$-4$ ^\circ$ предыдущего пункта и условие

5$ ^\circ$ Из $ (f,x)=0$ для любого $ x$ следует $ f=0$ и из $ (f,x)=0$ для любого $ f$ следует $ x=0$.

Коротко говоря, пара сопряженных пространств $ R$ и $ R'$ -- это пара $ n$-мерных пространств с введенной дополнительно операцией $ (f,x)$, удовлетворяющей перечисленным условиям.


Замечание   В п.2 мы доказали, что для каждого базиса в $ R$ существует и притом единственный взаимный с ним базис в $ R'$. Из равноправия между $ R$ и $ R'$ следует, что для всякого базиса в $ R'$ существует и притом единственный взаимный с ним базис в $ R$.

4 Преобразования координат в и .

Если мы рассматриваем координаты векторов $ x\in R$ в некотором базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$, то координаты векторов $ f\in R'$ мы будем, как правило, рассматривать в базисе $ f^1, f^2, \dots, f^n$, взаимном к базису $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Перейдем в $ R$ от базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к новому базису $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$, и пусть

$\displaystyle e'_i=c_i^ke_k$ (6)

-- формулы этого перехода.

Обозначая через $ f^1, f^2, \dots, f^n$ базис, взаимный с базисом $ e_1, e_2, \dots, e_n$, а через $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ -- базис, взаимный с базисом $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$, найдем матрицу $ \Vert b_i^k\Vert$ перехода от базиса $ f^i$ к базису $ f'{}^i$.

Найдем сначала обратную ей матрицу $ \Vert u_i^k\Vert$ перехода от $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ к $ f^1, f^2, \dots, f^n$:

$\displaystyle f^k=u_i^kf'{}^i.$ (6')

Для этого вычислим двумя способами выражение $ (f^k,e'_i)$:

\begin{displaymath} \begin{aligned} (f^k,e'_i)&=(f^k,c_i^{\alpha}e_{\alpha})= c_... ...=c_i^k,\\ (f^k,e'_i)&=(u_i^kf'{}^i,e'_i)=u_i^k. \end{aligned}\end{displaymath}

Отсюда имеем $ c_i^k=u_i^k$, т.е. матрица $ \Vert u_i^k\Vert$ является транспонированной 5.1 к матрице перехода (6). Следовательно, матрица перехода

$\displaystyle f'{}^k=b_i^kf^i$ (7)

от $ f^1, f^2, \dots, f^n$ к $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ равна матрице, транспонированной к матрице, обратной матрице $ \Vert c_i^k\Vert$ перехода от $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$.

Выясним теперь, как преобразуются координаты векторов в $ R$ и в $ R'$. Пусть $ \xi^i$ -- координаты вектора $ x\in R$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ \xi'{}^i$ -- его координаты в новом базисе $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$.

Тогда

$\displaystyle (f^i,x)=(f^i, \xi^1e_1+\xi^2e_2+\ldots+\xi^ne_n)=\xi^i $

и

$\displaystyle (f'{}^i,x)=(f'{}^i, \xi'{}^1e'_1+\xi'{}^2e'_2+ \ldots+\xi'{}^ne'_n)=\xi'{}^i. $

Поэтому

$\displaystyle \xi'{}^i=(f'{}^i,x)=(b_k^if^k,x)=b_k^i(f^k,x)=b_k^i\xi^k. $

Итак,

$\displaystyle \xi'{}^i=b_k^i\xi^k,$ (8)

т. е координаты векторов в $ R$ преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в $ R'$. Аналогично, координаты векторов в $ R'$ преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в $ R$, т.е.

$\displaystyle \eta'_i=c_i^k\eta_k.$ (9)

Мы можем таким образом, сформулировать следующее правило: при переходе от старой системы координат к новой объекты, имеющие нижний индекс, преобразуются матрицей $ \Vert c_i^k\Vert$, объекты, имеющие верхний индекс, преобразуются матрицей $ \Vert b_i^k\Vert$, обратной к $ \Vert c_i^k\Vert$.

Тот факт, что матрица $ \Vert b_i^k\Vert$ является обратной к матрице $ \Vert c_i^k\Vert$, выражается соотношениями

$\displaystyle c_i^\alpha b_\alpha^j=\delta_i^j, \quad b_i^\alpha c_\alpha^j=\delta_i^j. $

5 Пространство, сопряженное к евклидову.

Ограничимся для простоты евклидовым пространством над полем действительных чисел.

[section] Для простоты рассматривается евклидово пространство над полем действительных чисел

Лемма   Пусть $ R$ есть $ n$-мерное евклидово пространство. Тогда каждую линейную функцию в нем можно записать в виде

$\displaystyle f(x)=(x,y),$

где $ y$ -- фиксированный вектор, однозначно определяемый линейной функцией $ f$. Обратно, каждый вектор $ y$ определяет линейную функцию $ f(x)=(x,y)$.

Доказательство. Выберем в $ R$ некоторый ортогональный нормированный базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Линейная функция $ f(x)$ в этом базисе может быть записана в виде

$\displaystyle f(x)=a_1\xi^1+a_2\xi^2+\ldots+a_n\xi^n.$

Введем вектор $ y$ с координатами $ a_1, a_2, \dots, a_n$. Так как базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- ортогональный, то

$\displaystyle (x,y)=a_1\xi^1+a_2\xi^2+\ldots+a_n\xi^n.$

Мы доказали, таким образом, существование такого вектора $ y$, что для любого $ x$ имеет место равенство

$\displaystyle f(x)=(x,y).$

Докажем теперь, что такой вектор определяется однозначно. Пусть

$\displaystyle f(x)=(x,y_1)$   и$\displaystyle \quad f(x)=(x,y_2). $

Тогда

$\displaystyle (x,y_1)=(x,y_2),$

т.е.

$\displaystyle (x,y_1-y_2)=0$

для любого $ x$. Следовательно, $ y_1-y_2=0$. Однозначность доказана.\qedsymbol

Таким образом, в случае евклидова пространства мы можем каждый элемент $ f$ из $ R'$ заменить соответствующим элементом $ y$ из $ R$ и при этом вместо $ (f,x)$ писать $ (y,x)$. Так как при одновременном изучении пространства и сопряженного пространства мы употребляем лишь обычные для векторов операции и операцию $ (f,x)$, связывающую элементы $ f\in R'$ и $ x\in R$, то мы можем в случае евклидова пространства заменить $ f$ на $ y$, $ R'$ на $ R$ и $ (f,x)$ на $ (y,x)$, т.е. отождествить евклидово пространство с сопряженным к нему пространством $ R'$ 5.2. Это выражают иногда и так: в евклидовом пространстве можно заменить ковариантные векторы контравариантными.

При таком отождествлении пространства $ R$ и сопряженного к нему пространства $ R'$ понятие ортогональности векторов $ x\in R$ и $ f\in R'$, введенное в пункте 2, переходит в обычное для евклидова пространства понятие ортогональности двух векторов из $ R$.

Пусть $ e_1, e_2, \dots, e_n$ -- произвольный базис в $ R$, а $ f^1, f^2, \dots, f^n$ -- взаимный с ним (биортогональный) базис в $ R'$. Так как в случае евклидова пространства $ R$ и $ R'$ отождествлены, то мы можем считать векторы биортогонального к $ e_i$ базиса $ f^k$ также векторами из $ R$.

Выясним, как нам найти в этом случае по базису $ e_1, e_2, \dots, e_n$ базис $ f^1, f^2, \dots, f^n$. Выразим сначала $ e_i$ через $ f^k$:

$\displaystyle e_i=g_{ik}f^k.$

Нам нужно найти коэффициенты $ g_{ik}$. Для этого умножим скалярно обе части равенства на $ e_\alpha$:

$\displaystyle (e_i,e_\alpha)=g_{ik}(f^k,e_\alpha).$

Так как, в силу взаимности (биортогональности) базисов $ f^k$ и $ e_\alpha$,

$\displaystyle (f^k,e_\alpha)=\delta_\alpha^k,$

то

$\displaystyle (e_i,e_\alpha)=g_{ik}\delta_\alpha^k=g_{i\alpha}.$

Итак, если базис $ f^k$ биортогонален к базису $ e_i$, то

$\displaystyle e_i=g_{ik}f^k,$ (10)

где матрица $ g_{ik}$ вычисляется по формуле

$\displaystyle g_{ik}=(e_i,e_k).$

Отсюда, разрешив соотношение (10) относительно $ f^i$, имеем:

$\displaystyle f^i=g^{ik}e_k,$ (11)

где $ g^{ik}$ -- матрица, обратная к $ g_{ik}$, т.е.

$\displaystyle g^{i\alpha}g_{\alpha k}=\delta_k^i.$

Упражнение   Показать, что

$\displaystyle g^{ik}=(f^i,f^k).$

next up previous contents index
Next: 24 тензоры Previous: 4 Понятие о тензорах Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования