Научная Сеть >> Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Биографии физиков | Научные статьи

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу

Сади Карно
Опубликовано в 1824 г.

Содержание

Приложение Б.

Если допустить постоянство теплоемкости газа, когда объем его не меняется, а меняется только температура, то анализ, мог бы привести к зависимости между движущей силой и температурой. Как это сделать, мы покажем; кроме того, мы покажем, как некоторые из высказанных выше законов выражаются на алгебраическом языке.
Пусть r количество движущей силы, произведенной расширением заданного количества воздуха при его переходе от объема в 1 л к объему V л, при постоянной температуре; при возрастании V на бесконечно малую величину dv, r возрастает на dr и, по свойству движущей силы, dr будет равно приращению объема dv, умноженному на силу расширения упругой жидкости; если p эта сила расширения, то мы получим равенство:
dr = pdv
Положим постоянную температуру, при которой происходит расширение, равной t $^{\circ}$ ; если назовем через q упругую силу воздуха, занимающего объем 1 л при той же температуре t, то по закону Мариотта:
v : 1 = q : p, откуда p = q/v.
Если, теперь, p - упругая, сила того же воздуха, занимающего прежний объем 1, но при температуре 0 $^{\circ}$ , то по закону Гей-Люссака:

$q=P+P\frac{t}{267}=\frac{P}{267}(267+t),$

откуда

$\frac{q}{v}=p=\frac{P}{267}\cdot\frac{267+t}{v}.$

Называя для сокращения величину P/267 через N, перепишем равенство

$p=N\frac{t+267}{v},$

откуда, согласно равенству (\ref{ea})

$dr=N\frac{t+267}{v}dv$

Считая t за постоянную и беря интеграл от обеих частей, получим:

r=N(t+267) lg v+c.

Полагая r=0 при v=1, получим c=0, откуда:

r=N(t+267) lg v

Это будет движущая сила, развитая при расширении воздуха, переходящего при температуре t от объема 1 к объему V.
Если вместо того чтобы действовать при температуре t, будем совершенно таким же образом действовать при температуре t+dt, то развитая движущая сила будет:

$r + \delta r = N (t + dt + 267) \lg v.$

Вычитая равенство (\ref{eb}), получим:

$\delta r=N\lg v dt$

Пусть e - количество тепла, употребленное для поддержания температуры газа постоянной при его расширении; по рассуждениям здесь и здесь, $\delta r$ будет движущая сила, развитая падением количества тепла e от температуры t+dt к температуре t. Назовем через U движущую силу, развитую падением единицы количества тепла от температуры t к температуре 0 $^{\circ}$ ; по общему принципу, развитому выше, это количество должно зависеть единственно от t, оно может быть представлено функцией F(t), откуда u = F(t)^[30].
Когда t возрастает и становится равным t+dt, то U становится равным u+du, откуда:

u+du=F(t+dt).

Вычитая предыдущее равенство, получим:

du=F(t+dt)-F(t)=F'(t)dt.

Это, очевидно, есть количество движущей силы, произведенное падением единицы количества тепла от температуры t+dt до температуры t. Если количество тепла равнялось бы не единице, а e, то произведенная движущая сила была бы

edu=eF'(t)dt

Но edu есть то же, что $\delta r$ ; обе величины суть силы, развитые падением количества тепла e от температуры t+dt к температуре t, следовательно

$edu=\delta r$

и, по равенствам (\ref{ec}) и (\ref{ed}):

eF'(t)dt=N lg v dt,

откуда, деля на F'(t)dt:

$e=\frac{N}{F'(t)}\lg v=T\lg v,$

называя через T отношение N/F'(t), которое есть функция только t.
Уравнение

e=T lg v,

есть аналитическое выражение закона, высказанного выше; оно обще для всех газов, так как законы, которыми мы пользовались, применимы для всех газов.
Если мы назовем через S количество тепла, необходимое для приведения воздуха, с которым мы действуем, от объема 1 и температуры 0 $^{\circ}$ к объему V и температуре t, то разность между S и e будет равняться количеству тепла, нужного для повышения температуры воздуха при объеме 1 от 0 $^{\circ}$ к t. Это количество зависит только от t назовем его U; оно будет какой-то функцией t;

s=e+U=T lg v+U.

Диференцируя это равенство только по t и обозначая через Т' и U' производные Т и U, получим:

$\frac{ds}{dt}=T'\lg v + U.$

ds/dt - есть не что иное, как теплоемкость газа при постоянном давлении, и наше равенство (\ref{ee}) есть аналитическое выражение закона, высказанного выше.
Если мы предположим теплоемкость постоянной при всех температурах (гипотеза, разобранная выше), то количество ds/dt не будет зависеть от t; поэтому, чтобы удовлетворить уравнению (\ref{ee}) для двух частных значений V, нужно, чтобы T' и U' не зависели от t; таким образом мы будем иметь T' = c, величине постоянной; умножая T' и C на dt и беря интеграл от обеих частей, найдем:

T = ct + c_1,

или, так как T=N/F'(t), то

$F'(t)=\frac{N}{T}=\frac{N}{ct+c_1};$

умножая ту и другую часть на dt и интегрируя, получим:

$F(t)=\frac{N}{c}\lg(ct+c_1)+c_2$

или, меняя произвольные постоянные и замечая, что F'(t) есть нуль при t=0 $^{\circ}$ ,

$F(t)=A\lg(1+\frac{t}{B})$

Таким образом функция F(t) могла бы быть найдена, и мы были бы в состоянии определить движущую силу для любого падения теплоты; но последнее заключение основывается на гипотезе постоянства теплоемкости газов при постоянном объеме, правильность которой еще недостаточно подтверждена опытом. До нового подтверждения наше уравнение (\ref{ef}) может считаться правильным только в небольшой области термометрической шкалы.
Как мы заметили, в уравнении (\ref{ee}) первый член представляет теплоемкость газа при объеме V. Так как опыт показал, что эта теплота, несмотря на большие изменения объема, меняется очень мало, то коэффициент T' при lg v должен быть очень малой величиной. Полагая его равным нулю и умножая на dt уравнение

T'=0,

найдем интегрированием:

T=C,

т. е. постоянной величине. Но

T=N/F'(t),

откуда

F'(t)=N/T=N/C=A,

откуда вторым интегрированием получается:

F(t)=At+B

Так как для t=0 и F(t)=0, то, следовательно,

F(t)=At,

т. е. движущая сила пропорциональна падению теплорода. Это есть аналитическое представление сказанного здесь и здесь^[31].

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий