Автомодельность
1.08.2001 18:40 |
Phys.Web.Ru
Автомодельность - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов
независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. Автомодельность приводит к эффективному
сокращению
числа независимых переменных. Например, если состояние системы характеризуется функцией , где х - координата, t - время, то условие инвариантности
относительно изменения масштабов , и преобразования подобия таково:
.
где - числа. Выбор , где m - критерий подобия (параметр), придает первоначальной
функции
автомодельный вид
Т. о., функция u при постоянном m зависит только от комбинации . Автомодельность возможна, если набор параметров, определяющих состояние
системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна,
автомодельную
подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:
Анализ размерностей. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат х, у, z и времени
t.
Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид m = Х0/b, где b - параметр, имеющий размерность [b]
= , X0, Т0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины
и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации x/b,
y/b,
z/b. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход
к
автомодельным
переменным превращает уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных u=rf(x/) или, в более общем виде, u=,
. Уравнения, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений ,
и не для любых функций и . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу
на собственные значения.
Исследование групповых свойств уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
fj
(хi, uk, pik) = 0, где хi - независимые переменные, uk - искомые функции, рik
= . Всевозможные замены переменных хi, uk, допускаемые системой, образуют группу
Ли. Автомодельные замены являются ее однопараметрической подгруппой растяжений. В некоторых случаях найти такие замены позволяет следующая процедура.
В пространстве переменных хi, uk группа Ли задается своими генераторами, имеющими
общий
вид Х = , где
- некоторые функции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных хi, uk,
pik
группа Ли задается генераторами где . Система уравнений fj = 0 определяет гиперповерхность в пространстве переменныххi,
uk, pik, которая является инвариантом группы при условии Хfj = 0, когда fj
=
0; эти условия служат для определения функций \xi_i (х, и) и \eta_k (х, u). Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми
интегралами уравнения . Например, для двух независимых переменных
х, t и одной искомой функции u оператор растяжений имеет вид X = - числа. Набор первых интегралов уравнения таков: , поэтому автомодельное решение уравнений, допускающих группу растяжений, будет иметь вид - новая искомая функция.
Рассмотрим, например, уравнение Кортевега-де Фриса ,
где - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования . Генератор - оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид
Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции :
Однопараметрическая группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на других однопараметрических абелевых подгруппах,
то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные
движения тесно связаны с нелинейными
бегущими волнами, т. е. решениями вида , для которых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига.
Замена
переводит волновое решение f в автомодельное:
Автомодельность, отражающая внутреннюю симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении различных физических задач, особенно в механике
сплошных
сред (см. Автомодельное течение).
Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования
переменных. Интересно, что в автомодельных переменных уравнение ренормгрушгы оказывается тождественным одномерному уравнению переноса излучения.
В
физике
элементарных частиц автомодельность выражается в том, что сечения некоторых процессов при высоких энергиях зависят
лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов.
Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.
Написать комментарий
|