Научная Сеть >> Адиабатическое приближение

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи

См. также

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: 2.1. Исходная модель металла

Неприменимость теории Мигдала-Элиашберга к Rb3C60

Механика сплошных сред: Уравнения Эйлера и уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости.

Адиабатические инварианты

Лазеры и их применение: накачка

Радиационный пояс Земли: (4)

Адиабатическое приближение
3.08.2001 19:59 | Phys.Web.Ru

Адиабатическое приближение - метод приближенного решения задач квантовой механики, применяемый для описания квантовых систем, в которых можно выделить "быструю" и "медленную" подсистемы. Исходная задача решается в два этапа: сначала рассматривается движение быстрой подсистемы при фиксированных координатах медленной подсистемы, а затем учитывается движение последней.

Если $\vec r$ и $\vec R$ - соответственно координаты быстрой и медленной подсистем, то полный гамильтониан системы можно представить в виде
$\hat{H}(\vec r,\vec R)=\hat{T_м}(\vec R)+\hat{T_б}(\vec r)+\hat{V}(\vec r, \vec R)$ ,
где $\hat{T_б}(\vec r)$ и $\hat{T_м}(\vec R)$ - операторы кинетической энергии быстрой и медленной подсистем, a $\hat V(\vec r, \vec R)$ - оператор потенциальной энергии всей системы. В адиабатическом приближении из решения уравнения
$\lbrace\hat{T_б}(\vec r)+\hat V(\vec r, \vec R)\rbrace\varphi_i(\vec r; R)=\mathcal{E}_i(R)\varphi(\vec r; R)$
сначала находят волновые функции $\varphi_i(\vec r; R)$ быстрой подсистемы при фиксированных значениях координат $\vec R$ и собственные значения энергии $\mathcal{E}_i(R)$ быстрой подсистемы (термы спектральные), которые зависят от координат $\vec R$ медленной подсистемы как от параметра.

Полная волновая функция системы представляется в виде разложения по базису $\varphi_i(\vec r; R)$ :
$\Psi(\vec r, \vec R)=\sum\limits_j\varphi_j(\vec r; R)\psi_j(\vec R)$
где под знаком суммы следует понимать не только суммирование по дискретному спектру, но также интегрирование по сплошному спектру j оператора $\hat{T_б}(\vec r)+\hat{V}(\vec r, \vec R)$ . При подстановке этого разложения в уравнение Шредингера
$\lbrace\hat{H}(\vec r, \vec R)-\mathcal{E}\rbrace\Psi(\vec r,\vec R)=0$ ,
где $\mathcal{E}$ - энергия всей системы, домножении его слева на функции $\varphi_i(\vec r; R)$ и интегрировании по переменным $\vec r$ возникает бесконечная система уравнений
$\lbrace\hat{T_м}(\vec R)-\mathcal{E}+\mathcal{E}_i(R)+U_{ii}\rbrace\psi_i(\vec R)=-\sum\limits{j\not= i}U_{ij}(\vec R)\psi_j(\vec R)$
для функций $\psi_j(\vec R)$ , описывающих движение медленной подсистемы в эффективных потенциалах $\mathcal{E}_i(R)$ и
$U_{ij}(\vec R)=\int\varphi_i^*(\vec r; \vec R)\hat{T_м}(\vec R)\varphi_j(\vec r; R)d\vec r$ ,
создаваемых движением быстрой подсистемы.

Эта система уравнений полностью эквивалентна исходному уравнению Шредингера с гамильтонианом $\hat{H}(\vec r, \vec R)$ . Она может быть использована для прецизионных расчетов свойств квантовых систем, точность которых сравнима с точностью наилучших расчетов, проведенных вариационными методами. Такое описание квантовых систем получило в англоязычной литературе название метода возмущенных стационарных состояний; в современной литературе используют также термин "адиабатическое представление", наиболее адекватно отражающий суть и особенности обсуждаемого подхода.

Собственно адиабатическое приближение в его первоначальной формулировке, известное в литературе как Борна-Оппенгеймера метод, состоит в предположении, что $U_{ij}(\vec R)=0$ . В этом случае волновую функцию системы можно приближенно представить в виде произведения:
$\Psi(\vec r,\vec R)=\varphi_i(\vec r,R)\psi(\vec R)$ ,
т. е. движения быстрой и медленной подсистем в данном приближении независимы. Для уточнения такого приближенного решения необходимо учесть неадиабатические матричные элементы $U_{ij}(\vec R)$ , осуществляющие связь между движениями медленной и быстрой подсистем.

"Классическая область" приложения адиабатического приближения в квантовой механике - теория молекулярных спектров, а методически наиболее простой случай его использования - молекулярный ион водорода H₂⁺. В теории спектров молекул оператор $\hat{T_б}(\vec r)$ соответствует движению электронов, а оператор $\hat{T_м}(\vec R)$ - относительному движению ядер в молекуле. Следуя Борну и Оппенгеймеру, можно ввести параметр неадиабатичности $\kappa=(m/M)^{1/4}$ , где m - масса электрона, а М - приведенная масса ядер молекулы. Физический смысл параметра $\kappa$ - отношение среднеквадратичного отклонения ядер от положения равновесия к размеру молекулы, который определяется протяженностью электронного облака. Используя параметр $\kappa$ , полную энергию $\mathcal{E}$ системы можно приближенно представить в виде
$\mathcal{E}\approx\mathcal{E}_{ад}=\mathcal{E}_{эл} +\mathcal{E}_{кол}+ \mathcal{E}_{вр}$ ,
где $\mathcal{E}_{эл}\approx\mathcal{E}_i(R_0)$ - энергия электронов в молекуле, приближенно равная значению терма $\mathcal{E}_i(R_0)$ при равновесном расстоянии R₀ между ядрами, $\mathcal{E}_{кол}\approx\kappa^2\mathcal{E}_{эл}$ - энергия колебаний ядер вблизи положения равновесия R₀, $\mathcal{E}_{вр}\approx\kappa^4\mathcal{E}_{эл}$ - вращательная энергия молекулы.

Указанный результат для $\mathcal{E}_{ад}$ следует из уравнений адиабатического подхода при отбрасывании матричных элементов $U_{ij}(\vec R)$ при $i\not=j$ . Недиагональпые матричные элементы $U_{ij}(\vec R)$ имеют порядок малости $\sim\kappa^4=m/M$ и описывают связь колебаний с вращениями молекулы и другие, более тонкие эффекты. Их учет приводит к появлению в разложении для $\mathcal{E}$ по степеням $\kappa$ членов $\sim\kappa^6$ и более высоких.

Адиабатическое приближение эффективно используется также в квантовой химии для построения волновых функций многоэлектронных молекул, в атомной физике при описании медленных столкновений атомов и молекул и в теории твердых тел.

Написать комментарий