Классический научно-фантастический роман Карла Сагана Контакт заканчивается тем, что его героиня находит послание внеземного разума, запрятанное внутри знаков числа . Двое математиков - Дэвид Бэйли (Lawrence Berkeley NL, Калифорния) и Ричард Крандалл (Reed College, Орегон) - сделали важный шаг в строгом доказательстве того, что содержит не какое-то одно сообщение, а вообще любое (в том числе и любое осмысленное)¹.

Эти математики показали, что десятичное разложение содержит любую целочисленную строку. Они также пришли к предварительному выводу, что все строки одинаковой длины встречаются внутри с одинаковой частотой: 87435 появляется так же часто как 30752, а 451 как 862 и т.п., - это свойство называют нормальностью.

Пи - это отношение длины окружности к ее диаметру. В конце 18 века Ламберт и Лежандр установили, что - иррациональное число, а в 19 веке Линдеман доказал, что оно трансцендентно.

Является ли разложение случайным или упорядоченным - это одна из труднейших проблем математики. Бэйли и Крандалл показали, что нормальность будет строго установлена, если удастся доказать теорему из совсем другой области - теории хаоса

"Мы не доказали нормальности , но мы нашли путь к этому," - говорит Бэйли. Пройти эту дорогу до конца может быть и трудно, но он надеется доказать по крайней мере упрощенную гипотезу о хаосе в течение нескольких лет.

Среди математиков идет соревнование за вычисление наибольшего числа десятичных знаков . Последний рекорд, достигнутый на суперкомпьютерах - это 500 млрд. знаков.

Новая работа появилась благодаря удивительной формуле, открытой Бэйли с соавторами в 1996 г. Эта формула позволяет вычислять любую цифру , не зная предыдущих цифр!

Десятичное разложение начинается со всем знакомых цифр 3.1415926535897929.... Рассмотрим последовательность 0.314, 0.141, 0.415, 0.159, 0.926, 0.265, 0.653, 0.535, 0.897, 0.929..., полученную из последовательных троек цифр . Если эти числа хаотически (равновероятно) заполняют интервал между нулем и единицей, то с помощью формулы 1996 г. можно строго доказать, что нормально - это и есть мостик между теорией чисел и теорией беспорядка, построенный Бэйли и Крандаллом (вместо десятичного, они пользовались двоичным разложением ).

Если и в самом деле нормально, то поиск сообщения внутри него будет похож на поиск смысла в книгах Вавилонской библиотеки, созданной воображением писателя-ультраиста Хорхе Луиса Борхеса. Книги там содержат все произвольные комбинации букв и знаков препинания.

Конечно, найти космическое послание внутри тогда будет невозможно. Однако случайность цифр можно использовать для шифровки других сообщений. Надо превратить послание в последовательность нулей и единиц (например, в любой компьютерной кодировке букв), затем взять строку с какого-то места в двоичном разложении и зашифровать сообщение, прибавив цифры к цифрам сообщения по модулю 2. Только тот, кто знает, с какого места в разложении начинается строка-ключ, сможет прочесть сообщение (нуль - там, где цифра из не изменилась и единица в противном случае). Благодаря формуле Бэйли и др. 1996 г. ключевой номер может стоять в "триллион триллионной" или более далекой позиции в , так что перебором его найти практически нельзя. А без знания этого номера внутри ничего расшифровать не удастся - ведь любая "испорченная" строка тоже наверняка есть в разложении в каком-то другом месте. Лучше сказать: в бесконечном числе других мест!

Bailey, D. and Crandall, R. On the random character of fundamental constant expansion. Experimental Mathematics, 10, 175 - 190, (2001).

ERICA KLARREICH

Nature News Service / Macmillan Magazines Ltd 2001

Пересказал С.Блинников

По материалам Nature