Аналитическое продолжение - расширение области определения аналитической функции с сохранением ее аналитичности. Аналитическое продолжение - основной метод доказательства дисперсионных соотношений, используется в аксиоматической квантовой теории поля и других областях физики.

Пусть аналитическая функция определена степенным рядом в точке z₀ и тем самым задана первоначально в некотором круге. Если разложить функцию в ряд в окрестности другой точки z₁, то круг сходимости нового ряда может оказаться частично за пределами исходного круга. Тогда эти два ряда определяют единую функцию, аналитическую в объединении двух кругов, т. е. в области большей, чем первоначальная. Аналитическое продолжение можно строить, повторяя этот процесс, каждый раз расширяя область аналитичности функции. Не исключено, однако, что на каком-либо этапе мы вновь вернемся к точкам, где функция уже была определена ранее, например, к точкам исходного круга. Совпадения в этой области исходной функции с функцией, полученной в результате такого аналитического продолжения, может и не быть. Т. о. возникают многозначные аналитические функции, которые приводят к понятиям многолистных областей, римановых поверхностей и др.

Пусть D_l и D₂ - области расширенной комплексной плоскости (см. Аналитическая функция), a f₁ и f₂ - функции, аналитические соответственно в D₁ и D₂. Если f₁ и f₂ совпадают в связной части пересечения областей D₁ и D₂, то говорят, что пары (D₁, f₁) и (D₂, f₂) являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга через область . При этом функция f₁ однозначно определяется функцией f₂, и наоборот. Функции f₁ и f₂ не обязаны совпадать в других связных частях пересечения D₁ и D₂. Если в какой-либо части такого совпадения нет, то ее удобно "расщепить" на два листа, задавая на одном из них функцию, равную f₁, на другом - f₂. Так появляется простейшая неоднолистная область и однозначная аналитическая функция в ней (но неоднозначная в объединении D₁ и D₂).

Критерий однозначности аналитического продолжения дает теорема о монодромии. Пусть функция задана и аналитична в некоторой окрестности точки z₀, принадлежащей односвязной области D. Если аналитически продолжается вдоль любого пути, выходящего из z₀ и лежащего в D, то в результате аналитического продолжения получается однозначная аналитическая функция. Две лары (D, f) и (G, g), где D, G - области расширенной комплексной плоскости , а f, g - функции, аналитические соответственно в D и G, называются аналитическими продолжениями друг друга, если их можно "соединить" конечным числом пар (), i=l, ..., n, () = (), ()=(), таких, что каждая последующая пара является непосредственным аналитическим продолжением предыдущей. Максимальная совокупность пар, каждая из которых является аналитическим продолжением любой другой, задает функцию, аналитическую (и однозначную) на соответствующей римановой поверхности.

Пример. Пусть обладает в плоскости единственной особой точкой , являющейся точкой ветвления n-го порядка (например, ). Ее риманова поверхность представляет собой n экземпляров плоскости с разрезом вдоль вещественной положительной полуоси (листов) D_i, i=1, ..., n. При этом точки верхнего берега каждого последующего листа отождествляются с соответствующими точками нижнего берега предыдущего листа. Точки нижнего берега первого листа отождествляются с соответствующими точками верхнего берега n-го листа. Т. о., каждый полный обход вокруг начала координат переводит точку на следующий лист. При n-кратном обходе она возвращается на первоначальный лист.

Эффективным инструментом аналитического продолжения служит т. н. принцип симметрии. Пусть функция аналитична в области D, содержащей на своей границе отрезок вещественной оси I. Если принимает на I вещественные значения, то она аналитически продолжается через I в область D*, полученную из D отражением относительно вещественной оси. С помощью конформных отображений последнее утверждение обобщается на случай, когда функция переводит дугу окружности на дугу окружности. Существуют и другие методы аналитического продолжения. К ним относятся методы, основанные на многочисленных аналитических представлениях, различные способы суммирования степенных рядов, функциональные соотношения, мероморфное продолжение при помощи аппроксимаций Паде и т. п. Важной задачей аналитического продолжения функций многих комплексных переменных является задача об отыскании т. н. оболочки голоморфности (т. е. максимальной области, в которую продолжается любая функция, голоморфная в заданной области).