Для рассмотренного выше случая потенциалов, симметричных относительно их центра и с чисто дискретным спектром, положения уровней энергии связанных состояний полностью определяют форму потенциала. Для несимметричных потенциалов такой полный набор спектральных параметров, как "пульт управления" с соответствующими кнопками или рычагами, состоит, помимо уровней энергии, еще и из весовых констант, по одной для каждого состояния. Они характеризуют поведение волновых функций на краю области взаимодействия (у бесконечной вертикальной потенциальной стенки или при больших значениях координаты х). Оказалось, что, изменяя значения именно такого параметра для избранного состояния при фиксированных остальных, можно управлять положением этого состояния в пространстве.
Так, на рисунке 2а показано, как, меняя наклон нормированной волновой функции у края ямы (он и служит здесь весовым фактором), можно прижать волновую функцию основного состояния к одной из стенок бесконечной прямоугольной ямы. Достигается это трансформацией исходного потенциала: ямкой, притягивающей волну направо, и барьером, выдавливающим волну из левой части ямы, где энергия частицы меньше высоты барьера.
 |
| Рис. 2. Трансформации потенциалов, сдвигающих избранное состояние вправо по координате х. Основное состояние сдвигается с помощью вспомогательных ямки и барьера (а - в, д, красные линии). Первое возбужденное состояние сдвигается уже двумя ямками и барьерами (г). |
Как и в случае сдвигов по энергии, влияние ямок и барьеров возмущающего потенциала компенсируется для других состояний (ни один из уровней не сдвигается). На рисунках 2б, 2в, 2д показано, что аналогичные потенциальные возмущения сдвигают вправо основное состояние в солитонообразной яме, в осцилляторном и конечном прямоугольном потенциале. Причем в случаях разрешенного движения волн по всей оси можно сдвинуть избранное состояние как угодно далеко, отделив его от остальных. Здесь мы знакомимся с понятием ямки - переносчика избранного состояния. Аналогично можно сдвинуть в пространстве любое другое состояние (например, второе состояние, как показано на рисунке 2г). Только для этого требуются возмущения с большим числом ямок и барьерчиков (на каждую пучность стоячей волны по блоку барьерчик + ямка).
Удивительно, что алгоритм сгребания избранного состояния к одной из стенок бесконечной прямоугольной ямы оказался годным и для превращения состояния рассеяния с любой энергией в связанное состояние (сгребание волновой функции рассеяния к началу координат). При этом остальные состояния непрерывного спектра, как выше, так и ниже (!) этого связанного состояния, остаются состояниями рассеяния (с неизменными фазами на больших расстояниях). Получается так называемое связанное состояние, погруженное в непрерывный спектр (резонанс с нулевой шириной). Соответствующие потенциалы имеют вид типа  c колебаниями, спадающими по амплитуде с ростом x (ср. с рис. 2г , где спадание амплитуды происходит влево и лишь на ограниченном отрезке; для сгребания функции рассеяния с бесконечным числом пучностей требуется бесконечное число блоков барьер + ямка). Такие потенциалы преобразуют в связанные лишь те состояния, с которыми они находятся "в резонансе" (когда совпадают частоты колебаний потенциала и функции).
Хотя в свое время Гелл-Ман назвал квантовую механику антиинтуитивной дисциплиной, а Эйнштейн - колдовским исчислением, эта наука постепенно упрощается, а рассмотренные выше примеры могут служить первыми уроками квантовой интуиции.
Замечательно, что из тех же "кирпичиков" (ямок и барьеров) можно построить потенциальные возмущения, позволяющие вырывать из спектра связанных состояний любой уровень или вставлять туда новый. На рисунке 3а показан предельный случай удаления третьего уровня из осцилляторной ямы с помощью сдвига локализации соответствующего связанного состояния на бесконечность (оно уносится ямкой-переносчиком и эффективно исчезает). Рисунки типа рисунка 3а удалось просто объяснить. После исчезновения n-го уровня номера всех лежащих выше по энергии состояний уменьшаются на единицу и теряют по половине стоячей волны, из-за чего становятся короче. Для этого потенциал сужается в верхней части. Состояния же ниже исчезнувшего остаются с прежними номерами и при сужении ямы должны были бы подняться. Поэтому для опускания их на прежнее место нужно воспользоваться рассмотренным выше алгоритмом сдвига уровней вниз. Так, две ямки на рисунке 3а тянут вниз второй уровень (ср. с рис. 1в, найдите на рис. 3а аналоги крайних отталкивающих горбиков). Более глубокие уровни менее чувствительны к сужению верхней части ямы и удержать их на месте удается менее заметными деталями потенциального возмущения.
 |
| Рис. 3. Уничтожение (а) третьего уровня в осцилляторной потенциальной яме. Рождение (б) нового уровня между первым и вторым в исходной линейной яме. |
Таким образом, постепенно отдельные островки квантовой интуиции сливаются в единый континент, что подтверждается и дальнейшим изложением.
Чтобы добавить уровень к спектру, необходимо над ним, наоборот, расширить яму, увеличивая на полколебания (на одну пучность) стоячие волны всех расположенных выше состояний. На рисунке 3б показано создание нового уровня между первым и вторым состояниями исходного спектра в линейной яме.
Квантовые волны способны проникать в классически запрещенные (подбарьерные) области, где кинетическая энергия становится отрицательной, а волновые функции экспоненциально затухают. Благодаря такой проницаемости, стоячие волны в ограниченной области, отгороженной потенциальным барьером конечной высоты и ширины от пространства, где разрешено движение падающих и рассеянных волн, образуют квазисвязанные (резонансные) состояния, способные распадаться сквозь барьер. Поскольку экспоненциальный спад волновой функции к внешнему краю барьера усиливается с углублением состояния, распад для нижних квазисвязанных состояний происходит обычно с меньшей скоростью.
Рассмотренная выше теория изменения спектральных параметров позволяет сдвигать (проносить) любое распадающееся состояние сквозь запирающий потенциальный барьер ближе к его внешнему краю для увеличения скорости его распада без изменения времени жизни остальных с помощью потенциальной ямки - переносчика избранного квазисвязанного состояния (см. рис. 4). Таким образом, теория распада Гамова получает существенное обобщение.
 |
| Рис. 4. Перенос квазисвязанного (распадного, резонансного) состояния сквозь потенциальный барьер для увеличения скорости его распада (ширины резонанса). |
Изложенная качественная теория распространяется и на случай более сложных квантовых систем. Так, например, объясняется экзотика движения волн в периодических и решеточных системах [Захарьев Б.Н., 1992, Захарьев Б.Н., 1996].
Рассмотренные выше иллюстрации отражают тот факт, что потенциал взаимодействия V(x) и спектральные данные S(E) являются, в сущности, одним и тем же объектом, только в разных представлениях. Вообще, очень полезно иметь возможность взглянуть на предмет исследования с разных сторон. В данном же случае оказывается, что, помимо уравнения Шредингера, потенциал V(x) может входить уже в качестве волнового пакета в знаменитое нелинейное уравнение Кортвега-де Фриса (КдФ), описывающее изменение его формы в пространстве и времени, а соответствующая временная эволюция его другого представления S(E) определяется линейным уравнением. Решая такое более простое уравнение для S(E) и восстанавливая V(x) по S(E) для произвольного значения временного параметра, мы получаем решение КдФ. Подобным образом метод обратной задачи явился как бы волшебным ключиком к решению многих нелинейных уравнений, важных для приложений. По мнению специалистов нелинейной теории (В.Е. Захаров, С.П. Новиков и др.), это "без сомнения представляет собой одно из самых красивых открытий математической физики XX века".
Есть замечательная книга [Пономарев Л.И, 1989] Л.И. Пономарева "Под знаком кванта" о развитии с древних времен представлений о микромире, завершившемся созданием квантовой механики (прямой задачи). Я сам много почерпнул из нее, а для моего молодого соавтора последних работ по обратной задаче (о которых сказано выше) В.М. Чабанова она даже определила выбор жизненного пути.
Не знаю, хотел ли этого автор, но, показав, что создание этой науки не было актом кучки гениев в начале XX столетия, а длинной лестницей, тянущейся из глубин веков до нашей эры с сотнями ступенек-открытий, он предостерегает читателя от переоценки гениальности участников научного прогресса (фетишизма, культивируемого незадачливыми популяризаторами науки). Ясно, что если разобраться подетальнее, то и каждую такую ступеньку прогресса можно было бы разбить на множество более мелких ступенек, хотя принцип экономии мышления (памяти) приводит обычно к тому, что результаты труда многих приписываются кому-то одному. Тем самым возникает понимание, что в той или иной степени это доступно практически каждому. Это способствует освобождению от широко еще распространенного комплекса неполноценности, стимулирует дерзание в науках.
Захарьев Б.Н. Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно решаемые модели (уроки квантовой интуиции II). // ЭЧАЯ. 1992. Т. 23. N 5. С. 1387.
Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. Переработанное английское издание: Heidelberg: Springer-Verlag, 1990.
Захарьев Б.Н., Костов Н., Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции I) // ЭЧАЯ. 1990. Т. 21. N 4. С. 914.
Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна: Изд. отдел ОИЯИ, 1996.
Пономарев Л.И. Под знаком кванта. М.: Наука, 1989.
Назад
Написать комментарий
|
