Заседание Московского Математического Общества

состоится 20 февраля 2001 г.

(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

Студенческие чтения.

Ю.С.Ильяшенко.

Конечная цикличность и бифуркации полициклов.

Сепаратрисные многоугольники (короче --- полициклы) векторных полей на плоскости и бифуркации полициклов тесно связаны с 16й проблемой Гильберта. В 30-е годы Андронов открыл, что при бифуркации простейших полициклов: петли сепаратрисы седла и гомоклинической траектории седлоузла --- рождается предельный цикл. С этого началась нелокальная теория бифуркаций. Цикличность сепаратрисного многоугольника в семействе дифференциальных уравнений --- это максимальное число предельных циклов, которые могут родиться из этого многоугольника при изменении параметра семейства. До сих пор неизвестно, является ли число предельных циклов полиномиальных векторных полей фиксированной степени равномерно ограниченным. Это --- один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Специалисты уверены в положительном ответе. Этот ответ легко выводится из следующей гипотезы: в семействе полиномиальных векторных полей произвольной фиксированной степени каждый полицикл имеет конечную цикличность.

В недавней работе Дюмортье, Руссо и докладчика доказана конечная цикличность для нового класса полициклов, которые встречаются на плоскости континуальными ансамблями. Доказательство тесно связано с функциональными модулями аналитической классификации комплексных седлоузлов (Мартине-Рамис), о которой тоже будет рассказано в докладе. Будет дан обзор других новых результатов, связанных с конечной цикличностью плоских полициклов.

Специальных предварительных знаний для понимания доклада не требуется.