Эйлер и его формула

Его [Эйлера] творчество изумительно и в науке беспримерно.
А. Н. Крылов

Однажды, когда я учился в восьмом классе, мой друг и одноклассник написал мне формулу Эйлера, которой я посвящаю этот раздел. Тогда я уже знал, что e --- это число: две целых, семь десятых, год рождения Толстого, год рождения Толстого и дальше --- другие десятичные знаки, запоминать которые уже необязательно (e=2,718281828...). Я знал также, что Разумеется, я имел представление о числе , о том, что такое степень и, слышал о том, что i --- это какое-то мистическое число, квадрат которого равен -1. Формула Эйлера потрясла меня, как, пожалуй, ничто математическое не потрясало ни до, ни после. Эта формула восхищала не одного меня. Наш знаменитый академик, математик и кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов, слова которого я поставил эпиграфом к этому разделу, видел в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней "-1 представляет арифметику, i --- алгебру, --- геометрию и e --- анализ".

Можно очень многое сказать о творце этой формулы Леонарде Эйлере (1707--1783) --- гениальном математике, физике, механике и астрономе, прожившем значительную часть своей жизни в России и похороненном в Санкт-Петербурге.

Леонард Эйлер --- один из величайших тружеников в истории науки. Ему принадлежит 865 исследований по самым разнообразным проблемам. В 1909 году швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера. С тех пор прошел срок, больший чем вся жизнь Эйлера, издано около семидесяти томов его сочинений, а издание еще не закончено.

Переписка Эйлера занимает свыше 3000 писем. Уже одно это --- свидетельство необыкновенного нравственного облика ученого: дурным людям писем не пишут. Все ученые, современники Эйлера, делились с ним плодами своих размышлений, просили высказать свое суждение по интересующим их проблемам и всегда находили отклик и поддержку.

Необыкновенные щедрость и благородство Эйлера отразились в известной шутке, касающейся самого определения --- кого следует называть математиком. Определение математика (согласно этой шутке) индуктивно. Основание индукции составляет утверждение: Эйлер --- математик. И далее: математиком называется человек, которого математик называет математиком.1

Душевная красота Эйлера отразилась во множестве его поступков. В предыдущем разделе я рассказывал о том, как Эйлер старался утвердить приоритет Ферма. Когда молодой Лагранж (о нем речь впереди) посвятил Эйлера в свои исследования в области вариационного исчисления, Эйлер направил ему письмо (от 2 декабря 1759 года, Лагранжу было тогда 23 года), и я не могу не привести его слова, слова высокого духовного благородства.

"Твое аналитическое решение изопериметрической проблемы содержит, насколько я вижу, все, что только можно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, которой после моих первых попыток я занимался едва ли не один, доведена до величайшего совершенства. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоего освещения сам вывел аналитическое решение; я, однако, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим образом не хочу отнимать часть заслуженной тобою славы".

Теорема 3. e ⁱ=-1.

Доказательство. 3.1. При доказательстве мы будем использовать следующую формулу (она носит название бином Ньютона):

=

3.2. Как известно,

e=(1+)ⁿ.

(1+)ⁿ=

Перейдем в обеих частях равенства к пределу при n и получим следующее разложение в ряд:

e=

Рассуждая аналогично, можно получить разложение

e^x=(1+)ⁿ=1+++...=

Функция e^x обладает многими замечательными свойствами. В частности, все ее производные в точке 0 равны 1.

3.3. Воспользуемся формулой Тейлора

f(x)=f(0)+x+x²+x³+...,

Поскольку (sin x)' =cos x, (cos x)' =sin x, получаем, что

sin x=x-+-..., cos x=1-+-...

e^z=1+z+++++...,

Подставим в эту формулу z= i (где i --- мнимая единица, т. е. i²=-1):

e ⁱ=1+ i+++++... =
=1+ i--i ++i-...=
=(1-+-...)+ i(-+-...)=
=cos +i sin =-1.

Позднее, когда появилась строгая теория рядов, подобные выводы, восходящие к Эйлеру, были подтверждены, а все преобразования признаны законными.

1 При этом, можно быть почти уверенным, что человек, сделавший в математике что-то содержательное, будет математиком в смысле этого определения. Но если в качестве основания брать других ученых, то нельзя исключить случая, когда список математиков состоял бы только из одного лица...

Следующий раздел