Лагранж и его теорема о четырех квадратах

Эта теорема [о четырех квадратах] до сих пор
входит в число величайших достижений математики.
М. Кац , С. Улам

Жозеф Луи Лагранж (1736--1813) родился в Турине, а умер и похоронен в Париже. В его жилах текла французская и итальянская кровь, и поэтому обе нации могут гордиться человеком, который (по словам Талейрана) сделал своим гением честь всему человечеству.

По своим научным установкам Лагранж отличался от своего старшего великого современника --- Леонарда Эйлера. Эйлер в течение своей жизни решал и решил огромнейшее, невиданное, ни с чем не сравнимое число отдельных, конкретных задач, и в большинстве своем каждую задачу он решал своим, специальным, особым, индивидуальным приемом. Лагранж же старался отыскать общие закономерности у разнородных явлений, найти потаенные связи между отдельными объектами, вскрыть единство казалось бы несоединимого. Но при всем при том ему принадлежит также и множество замечательных конкретных результатов. Об одном из них --- о представлении натуральных чисел в виде суммы четырех квадратов --- и будет сейчас рассказано.

Лагранж остался в благодарной памяти всего человечества как светлая, благородная личность. Вот как характеризует его Фурье: "Лагранж был столько же философ, сколько математик. Он доказал это своей жизнью, умеренностью желаний земных благ, глубокой преданностью общим интересам человечества, благородной простотой своих привычек, возвышенностью души и глубокой справедливостью в оценке трудов своих современников".

А теперь перейдем к формулировке и доказательству теоремы Лагранжа.

Теорема 4. Всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел.

Доказательство. 4.1. Лемма. Произведение чисел, представимых в виде суммы четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов.

Доказательство леммы.

4.2. Лемма. Для любого простого числа p>2 найдется число m, m<p, такое что mp=a²+b²+c², a, b, c.

Доказательство леммы. Рассмотрим два множества чисел:

K={0, 1, 4, ...,²},
L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1-²}.

k

-1-k

0 k

0 k

k

) 0 (mod p)

k

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа ² из первого множества и ² из второго, что

² -1-²(mod p).

+

m

Теперь, поскольку <p/2 и <p/2, получаем mp=²+²+1< p²/4+p²/4+1<p², а значит, m<p. Лемма 4.2 доказана.

4.3. Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем 2=1²+1²+0²+0². Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp=n₁²+n₂²+n₃²+n₄² (n₄ можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1.

Пусть m четно. Тогда либо все n_i имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n₁ n₂(mod 2), а n₃n₄(mod 2). В обоих случаях числа

, , ,

²+²+²+²= =p,

p

<m

Пусть m нечетно. Тогда числа n_i можно представить в виде n_i=q_im+m_i (q_i, m_i), причем |m_i|<. Тогда

n1.

Из леммы 4.1 получаем:

(n₁²+n₂²+n₃²+n₄²)(m₁²+m₂²+m₃²+m₄²)=s₁²+s₂²+s₃²+s₄²,

где

s₁=n₁m₁+n₂m₂+n₃m₃+n₄m₄,
s₂=-n₁m₂+n₂m₁-n₃m₄+n₄m₃,
s₃=-n₁m₃+n₃m₁-n₄m₂+n₂m₄,
s₄=-n₁m₄+n₄m₁-n₂m₃+n₃m₂.

По определению, m_in_i(mod m), т. е. s₁m₁²+m₂²+m₃²+m₄²0(mod m) и, значит, . Аналогично доказывается, что при i=2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |m_i|<) получаем: nm=m₁²+m₂²+m₃²+m₄²<m², т. е. n<m, и в итоге

mp*nm=s₁²+s₂²+s₃²+s₄²,

откуда

np=²+²+²+²,

что противоречит минимальности m.

Итак, всякое простое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Тогда, по лемме 4.1, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец, 1=1²+0²+0²+0². Теорема 4 доказана.

После теоремы Ферма---Эйлера мы описали все числа, представимые в виде суммы двух квадратов. Теорема Лагранжа утверждает, что все натуральные числа представимы в виде суммы четырех квадратов. Числа, представимые в виде суммы трех квадратов описал Гаусс в 1801 году. О нем --- следующий рассказ.

Следующий раздел