Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Оператор момента импульса

Коммутационные соотношения

Оператор момента импульса частицы определим, используя принцип соответствия, в виде

${\bf\hat L=\hat r\times\hat p}=-i\hbar {\bf r \times\nabla}= \left|\begin{array}{ccc} {\bf e}_x& {\bf e}_y& {\bf e}_z\\ \hat x&\hat y&\hat z\\ \hat p_x&\hat p_y&\hat p_z \end{array}\right|.$

Напомним (см. п. 5), что оператор момента естественно определяется как генератор группы вращений в пространстве волновых функций.
На основе коммутаторов (фундаментальных квантовых скобок Пуассона) $[\hat x_k, \hat p_n]=i\hbar\delta_{kn}$ получаем

$[\hat L_x,\hat L_y]=[\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y, \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]=\hat y\hat p_x[\hat p_z,\hat z]+\hat p_y\hat x [\hat z,\hat p_z]=i\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)=i\hbar\hat L_z.$

Используя циклическую перестановку индексов, получим еще два соотношения. В итоге:

$[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z,\; [\hat L_z,\hat L_x]=i\hbar\hat L_y,\; [\hat L_y,\hat L_z]=i\hbar\hat L_x.$

В тензорной форме:

$[\hat L_k,\hat L_n]=i\hbar\varepsilon_{kns}\hat L_s,$

или символически:

${\bf[\hat L\times\hat L]}=i\hbar\hat {\bf L}.$

Введем оператор квадрата момента

$\hat{\bf L}=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2.$

Вычислим его коммутатор с компонентами момента:

$[\hat L_k,\hat{\bf L}^2]=\sum\limits_{n}^{}(\hat L_k\hat L_n^2-\hat L_n^2\hat L_k+\hat L_n\hat L_k\hat L_n - \hat L_n\hat L_k\hat L_n)=\sum\limits_{n}^{}([\hat L_k,\hat L_n]\hat L_n+\hat L_n[\hat L_k,\hat L_n])=i\hbar\varepsilon_{kns}(\hat L_s\hat L_n+\hat L_n\hat L_s)\equiv 0.$

Итак, квадрат момента коммутирует со всеми компонентами:

$[\hat L_k,{\bf\hat L}^2]=0.$

Этого и следовало ожидать, так как скаляр при поворотах системы координат не изменяется.
Рассмотрим теперь алгебру операторов момента в общем виде, не фиксируя ее представление. Выбирая $\hbar$ в качестве естественной единицы измерения момента и обозначая (безразмерные) компоненты $\hat J_k$ , получаем коммутационные соотношения в виде:

$[\hat J_k,\hat J_n]=i\varepsilon_{kns}\hat J_s,\; [\hat J_k,{\bf\hat J}^2]=0.$

Введем неэрмитовы сопряженные друг другу операторы

$\hat J_+=\hat J_x+\hat J_y,\; \hat J_-=\hat J_x-i\hat J_y.$

Тогда получим коммутаторы:

$[\hat J_z,\hat J_\pm]=\pm\hat J_\pm,\; [\hat J_+,\hat J_-]=2\hat J_z,\; [{\bf\hat J}^2,\hat J_\pm]=[{\bf\hat J}^2,\hat J_z]=0.$

Квадрат момента удобно записать так:

${\bf \hat J}^2=\frac{1}{2}(\hat J_+\hat J_- + \hat J_-\hat J_+)+\hat J_z^2.$

Отсюда с учетом $\hat J_+\hat J_- - \hat J_-\hat J_+=2\hat J_z$ находим

$\hat J_-\hat J_+={\bf\hat J}^2-\hat J_z(\hat J_z+1),\; \hat J_+\hat J_-={\bf\hat J}^2-\hat J_z(\hat J_z-1).$

Спектр операторов квадрата момента и проекции момента на ось.

В силу $[{\bf\hat J}^2,\hat J_z]=0$ существует общая система собственных векторов этих операторов:

$\hat{\bf J}^2\psi_{\lambda m}=\lambda\psi_{\lambda m},\; \hat J_z\psi_{\lambda m}=m\psi_{\lambda m}.$

Покажем, что $\lambda\ge 0.$ Имеем

$\lambda=(\psi_{\lambda m},\hat{\bf J}^2\psi_{\lambda m})= \sum\limits_{k}^{}(\psi_{\lambda m},\hat J_k^2\psi_{\lambda m}) = \sum\limits_{k}^{}\|\hat J_k\psi_{\lambda m}\|^2\ge 0,$

где учтена эрмитовость операторов $\hat J_k$ .
Из полученных выше тождеств для произведений операторов $\hat J_\pm \hat J_\mp$ находим:

$\hat J_\mp \hat J_\pm\psi_{\lambda m}=[\hat{\bf J}^2-\hat J_z(\hat J_z\pm 1)]\psi_{\lambda m}=[\lambda-m(m\pm 1)]\psi_{\lambda m}.$

Умножив слева скалярно на $\psi_{\lambda m}$ обе части этих равенств, получим с учетом $(\hat J_\pm)^+ =\hat J_\mp$ :

$(\psi_{\lambda m},\hat J_\mp \hat J_\pm\psi_{\lambda m})= (\hat J_\pm \psi_{\lambda m},\hat J_\pm\psi_{\lambda m})=[\lambda-m(m\pm 1)](\psi_{\lambda m},\psi_{\lambda m}).$

Следовательно,

$\|\hat J_\pm\psi_{\lambda m}\|^2=[\lambda-m(m\pm 1)] \|\psi_{\lambda m}\|^2.$

В силу неотрицательности нормы вектора имеем:

$(\lambda-m(m\pm 1))\ge 0,$

или

$\left.\begin{array}{c} m^2+m-\lambda\le 0,\\ m^2-m-\lambda\le 0. \end{array}\right\}$

Отсюда

$\left.\begin{array}{c} m^+_1 \le m\le m^+_2,\\ m^-_1 \le m\le m^-_2, \end{array}\right\}$

где

$m_{1,2}^+=-\frac{1}{2}\mp\sqrt{\Delta},\; m_{1,2}^-=\frac{1}{2}\mp\sqrt{\Delta},\; \Delta=\frac{1}{4}+\lambda\ge \frac{1}{4}.$

Получаем решение системы неравенств:

$\frac{1}{2}-\sqrt{\Delta}\le m\le -\frac{1}{2}+\sqrt{\Delta}.$

Обозначим

$j=\sqrt{\Delta}-\frac{1}{2}\ge 0.$

Тогда находим:

$\lambda=j(j+1),\; -j\le m\le j.$

Далее собственные векторы будем обозначать $\psi_{jm}$ . Так как $\|\psi\|=0\leftrightarrow \psi=0$ , то $\hat J_\pm\psi_{jm}=0$ тогда и только тогда, когда $j(j+1)-m(m\pm 1)\equiv (j\mp m)(j\pm m+1)=0$ . С учетом ограничения $|m|\le j$ приходим к выводу:

$\hat J_+\psi_{jj}=0,\; \hat J_-\psi_{j,-j}=0.$

Пусть $m\ne j$ . Учитывая соотношения

$\hat{\bf J}^2\hat J_+=\hat{\bf J}^2\hat J_+,\; \hat J_z\hat J_+=\hat J_+(\hat J_z+1),$

находим

$\hat{\bf J}^2(\hat J_+\psi_{jm})=j(j+1)(\hat J_+\psi_{jm}),\; \hat J_z(\hat J_+\psi_{jm})=m(m+1)(\hat J_+\psi_{jm}).$

Следовательно,

$\hat J_+\psi_{jm}=C^+_{jm}\psi_{j,m+1}.$

Аналогично найдем:

$\hat J_-\psi_{jm}=C^-_{jm}\psi_{j,m-1}.$

Выше было получено:

$\|\hat J_\pm\psi_{jm}\|=[j(j+1)-m(m+1)]^{1/2}\|\psi_{jm}\|.$

Рассмотрим последовательность векторов

$\hat J_+\psi_{jm},\hat J_+^2\psi_{jm},\ldots,\hat J_+^n\psi_{jm},\ldots.$

Очевидно, что

$\hat J_+^n\psi_{jm}\sim \psi_{j,m+n}$

, причем

$m+n\le j.$

Ясно, что существует целое неотрицательное число n₊ такое, что

$\hat J_+(\hat J_+^{n_+}\psi_{jm})=0,$

т.е. m+n₊=j. Итак,

$0\le j-m=n_+,$

причем существует n₊ собственных векторов операторов $\hat{\bf J}^2$ и $\hat J_z$ :

$\hat J_+\psi_{jm},\ldots,\hat J_+^{n_+}\psi_{jm},$

отвечающих собственным значениям оператора $\hat J_z$ , равным

m+1,...,m+n₊=j.

Аналогично получаем для $\hat J_-$ последовательность векторов

$\hat J_-\psi_{jm},\ldots,\hat J_-^{n_-}\psi_{jm},$

принадлежащих СЗ $\hat J_z$ , равным соответственно

m-1,...,m-n_-=-j.

Из условий

$n_+=j-m\ge 0,\; n_-=j+m\ge 0$

следует, что

n₊+n_-=2j=0,1,2,...

Итак, СЗ оператора $\hat{\bf J}^2$ равны j(j+1), где

j=0,1/2,1,3/2,2,...

СЗ оператора $\hat J_z$ таковы:

$m=0,\pm 1/2,\pm 1,\pm 3/2,\pm 2,\ldots.$

Для общего СВ $\psi_{jm}$ операторов $\hat{\bf J}^2$ и $\hat J_z$ возможны 2j+1 значений m:

m=-j,-j+1,...,j.

Вернемся к соотношениям

$\hat J_+\psi_{jm}=C^+_{jm}\psi_{j,m+1},\; \|\hat J_+\psi_{jm}\|=[j(j+1)-m(m\pm 1)]^{1/2}\|\psi_{j,m\pm 1}\|.$

Выберем $\|\psi_{jm}\|=1$ и фиксируем фазу вектора $\psi_{j,m+1}$ так, чтобы $C^+_{jm}$ было действительным неотрицательным числом. Тогда получим

$\hat J_+\psi_{jm}=[j(j+1)-m(m+1)]^{1/2}\psi_{j,m+1}.$

Отсюда с учетом уже полученного соотношения

$\hat J_-\hat J_+\psi_{jm}=[j(j+1)-m(m+1)]\psi_{jm}$

находим:

$\hat J_-\psi_{j,m+1}=[j(j+1)-m(m+1)]^{1/2}\psi_{jm}.$

Подведем итоги. Исходя из существования одного вектора $\psi_{jm}$ , мы построили всего 2j+1 ортонормированных векторов:

$\psi_{j,-j},\psi_{j,-j+1},\ldots,\psi_{jm},\ldots,\psi_{j,j-1}, \psi_{jj};\; (\psi_{jm'},\psi_{jm})=\delta_{m'm}.$

Они образуют базис 2j+1-мерного пространства H^(j) , инвариантного относительно действия операторов момента $\hat J_k$ . Соберем вместе основные полученные соотношения:

$\begin{array}{cc} \hat{\bf J}^2\psi_{jm}=j(j+1)\psi_{jm},\; j=0,1/2,1,3/2,2,\ldots;\\ \hat J_z\psi_{jm}=m\psi_{jm},\; m=-j,-j+1,\ldots,j;\\ \hat J_\pm\psi_{jm}=[j(j+!)-m(m\pm 1)]^{1/2}\psi_{j,m\pm 1};\\ \hat J_+\psi_{jj}=\hat J_-\psi_{j,-j}=0. \end{array}$

Исследование свойств момента было основано только на коммутационных соотношениях и эрмитовости операторов момента, а также на неотрицательности нормы векторов состояний. Далее мы рассмотрим конкретные представления алгебры момента.

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]