Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Орбитальный момент

Оператор орбитального момента частицы определен выше:

${\bf\hat L=\hat r\times\hat p}\equiv\hbar{\bf\hat l}.$

В координатном представлении получаем:

${\bf\hat l}=-i\hat {\bf r}\times\nabla;\; \hat l_x=-i\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right),\; \hat l_y=-i\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right),\; \hat l_z=-i\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right).$

Найдем выражения для компонент момента в сферических координатах, связанных с декартовыми координатами соотношениями:

$x=r\sin \theta\cos\varphi,\; y=r\sin\theta\sin\varphi,\; z=r\cos\theta;\; 0\le r \lt \infty,\; 0\le\theta\le\pi,\; 0\le\varphi \lt 2\pi.$

Вычисляем производные волновой функции $\psi(x,y,z)$ как сложной функции сферических координат:

$\begin{array}{l} \frac{\partial\psi}{\partial\theta}=r\cos\theta\left( \frac{\partial\psi}{\partial x}\cos\varphi+ \frac{\partial\psi}{\partial y}\sin\varphi\right) - \frac{\partial\psi}{\partial z}r\sin\theta=z\left( \frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{x}{\rho}+ \frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{y}{\rho}\right)- \rho\frac{\partial\psi}{\partial z};\\ \frac{\partial\psi}{\partial\varphi}=r\sin\theta\left( - \frac{\partial\psi}{\partial x}\sin\varphi+ \frac{\partial\psi}{\partial y}\cos\varphi\right)= -y\frac{\partial\psi}{\partial x}+x\frac{\partial\psi}{\partial y}= i\hat l_x\psi, \end{array}$

где $\rho=r\sin\theta=\sqrt{x^2+y^2}$ . Умножим первое равенство на $x/\rho\;({\rm на}\; -y/\rho)$ , а второе на $-yz/\rho^2\;({\rm на}\; -xz/\rho^2)$ и сложим почленно. Получим соответственно:

$z\frac{\partial\psi}{\partial x}-x\frac{\partial\psi}{\partial z}=\frac{x}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}-\frac{yz}{\rho^2}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}=i\hat l_y\psi,\; y\frac{\partial\psi}{\partial z}-z\frac{\partial\psi}{\partial y}=-\frac{y}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}-\frac{xz}{\rho^2}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}=i\hat l_x\psi.$

В результате находим искомые выражения:

$\hat l_x=i\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} +\cos\varphi\,{\rm ctg}\,\theta\frac{\partial}{\partial\varphi} \right),\; \hat l_y=i\left(-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} +\sin\varphi\,{\rm ctg}\,\theta\frac{\partial}{\partial\varphi} \right),\; \hat l_z=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}.$

Кроме того,

$\hat l_\pm=e^{\pm i \varphi}\left( \pm\frac{\partial}{\partial\theta} + i\,{\rm ctg}\,\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right).$

Используя известное выражение для квадрата момента (см. выше)

${\bf\hat l}^2=\hat l_-\hat l_+ +\hat l_z(\hat l_z+1),$

нетрудно отсюда получить для него представление в сферических координатах:

${\bf\hat l}^2=-\left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\equiv =-\Lambda,$

где $\Lambda$ - угловая часть оператора Лапласа.
Найдем общие собственные функции операторов ${\bf\hat l}^2 \; \hat l_z$ :

${\bf\hat l}^2\psi_{tm}=\ell(\ell+1)\psi_{tm},\; \hat l_z\psi_{tm}=m\psi_{tm},$

Решаем второе уравнение:

$\left(-i\frac{\partial}{\partial\varphi}-m\right)\psi_{tm}=0,\; \psi_{tm}(\theta,\varphi)=f_{tm}(\theta)e^{im\varphi}.$

Потребуем однозначности функции:

$\psi(\theta,\varphi)=\psi(\theta,\varphi+2\pi),$

Тогда $e^{2\pi mi}=1$ , и собственные значения

$m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots.$

Замечание. Требование однозначности волновой функции слишком жесткое (достаточно однозначности модуля функции), и его можно снять (см. ниже).
Из общей теории (см. выше) известно, что $m=-\ell,-\ell+1,\ldots,\ell$ . Поэтому для орбитального момента имеем только целые значения

$\ell=0,1,2,\ldots.$

Рассмотрим собственную функцию при $m=\ell$ :

$\psi_{\ell\ell}=f_{\ell}e^{i\ell\varphi}.$

Она удовлетворяет уравнению

$\hat l_+\psi_{\ell\ell}=0,$

или

$e^{i\varphi}\left( \frac{\partial}{\partial\theta} +i\,{\rm ctg }\,\theta \frac{\partial}{\partial\varphi}\right) f_{\ell}e^{i\ell\varphi}=0 .$

Для функции $f_\ell$ после замены переменной $x=\sin\theta$ получаем уравнение, которое легко решается:

$\left(\frac{d}{dx}-\frac{\ell}{z}\right)f_\ell=0,\; f_\ell=cx^\ell.$

Итак, для каждого целого $\ell\ge 0$ и $m=\ell$ существует единственная собственная функция

$\psi_{\ell\ell}(\theta,\varphi)=c_\ell \sin^\ell \theta e^{i\ell\varphi}.$

Следовательно, общий спектр операторов ${\bf \hat l}^2,\; \hat l_x$ в целом невырожден: каждой паре собственных значений $(\ell,m)$ отвечает одна собственная функция.
Нормируем $\psi_{tm}$ на единицу и фиксируем фазу. Тогда получим ортонормированную систему функций $\psi_{tm}\equiv Y^m_\ell(\theta,\varphi)$ :

$Y^m_\ell(\theta,\varphi)(Y^{m'}_\ell, Y^m_\ell)=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}d\theta\sin\theta {Y^{m'}_\ell}^*(\theta,\varphi) Y^m_\ell(\theta,\varphi)=\delta_{m'm}\delta_{\ell'\ell}.$

Условие полноты системы:

$\sum\limits_{\ell=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-\ell}^{\ell} Y^m_\ell(\theta,\varphi){Y^m_\ell}^*(\theta',\varphi')= \delta(\cos\theta -\cos\theta')\delta(\varphi-\varphi').$

Далее требуем выполнения условий (см. выше):

$\hat l_\pm Y^m_\ell=[\ell(\ell+1)-m(m\pm 1)]^{1/2}Y^{m\pm 1}_\ell.$

Тем самым определены относительные фазы $2\ell+1$ функций, отвечающих заданному $\ell$ . Фиксируем фазу одной из функций. Мы выберем $Y^0_\ell(\theta,\varphi)$ так, чтобы $Y^0_\ell(0,0)$ было действительным положительным числом.
Произвольную функцию $Y^m_\ell$ получаем из $Y^{\pm \ell}_\ell$ многократным действием операторов $\hat l_\pm$ :

$Y^m_\ell=\left[\frac{(\ell+m)!}{(2\ell)!(\ell-m)!}\right]^{1/2} \hat l^{\ell-m}_-Y^\ell_\ell=\left[\frac{(\ell-m)!} {(2\ell)!(\ell+m)!} \right]^{1/2}\hat l^{\ell+m}_-Y^{-\ell}_\ell.$

Далее используем явный вид $\hat l_\pm$ :

$\hat l_\pm e^{im\varphi}f(\theta)=e^{i(m\pm 1)\varphi}\left(\pm \frac{d}{d\theta}-m\frac{\cos\theta}{\sin \theta}\right)f(\theta) =\mp e^{i(m\pm 1)\varphi}\sin^{1\pm m}\theta\frac{d}{d\cos\theta}\sin^{\mp m}\theta f(\theta).$

Отсюда

$\hat l^n_\pm e^{im\varphi}f(\theta)=(\mp 1)^n e^{i(m\pm n)\varphi}\sin^{n\pm m}\theta\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\sin^{\mp m}\theta f(\theta))$

Имеем функцию (см. выше)

$Y^\ell_\ell(\theta,\varphi)=c_\ell\sin^\ell\theta e^{i\ell\varphi}.$

Нормируя ее условием $\|Y^\ell_\ell\|=1$ , получим

$|c_\ell|=\frac{1}{2^\ell \ell!}\left[ \frac{(2\ell+1)!}{4\pi}\right]^{1/2}.$

Теперь находим

$Y^m_\ell=c_\ell\left[\frac{(\ell+m)!}{(2\ell)!(\ell-m)!}\right]^{1/2}e^{im\varphi}\sin^{-m}\theta\frac{d^{\ell-m}}{d(\cos\theta)^{\ell-m}}\sin^{2\ell}\theta.$

При $m=-\ell$ отсюда следует

$Y^{-\ell}_\ell=(-1)^\ell c_\ell e^{-i\ell\varphi}\sin^\ell\theta.$

Тогда находим эквивалентное выражение для собственных функций:

$Y^m_\ell=(-1)^m c_\ell\left[\frac{(\ell-m)!}{(2\ell)!(\ell+m)!}\right]^{1/2}e^{im\varphi}\sin^{m}\theta\frac{d^{\ell+m}}{d(\cos\theta)^{\ell+m}}\sin^{2\ell}\theta.$

В частности, при m=0 получаем:

$Y_\ell^0=\frac{c_\ell}{\sqrt{(2\ell)!}}\frac{d_\ell}{d(\cos\theta)^\ell}(1-\cos^2\theta)^\ell.$

Введем полиномы Лежандра

$P_\ell(x)=\frac{1}{2^\ell \ell!}\frac{d^\ell}{dx^\ell}(x^2-1)^\ell,\; P_\ell(1)=1.$

Отсюда и из введенного выше условия фиксации фазы функции $Y_\ell^0$ находим нормировочный коэффициент

$c_\ell=(-1)^\ell|c_\ell|.$

Определим функции Лежандра в виде:

$P_\ell^m=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_\ell(x)=\frac{1}{2^\ell \ell!}(1-x^2)^{m/2}\frac{d^{\ell+m}}{dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell,$

где $m=0,1,2,\ldots,\ell$ . Тогда окончательно получим:

$Y^m_\ell(\theta,\varphi)=(-1)^{(m+|m|)/2} \left[ \frac{2\ell+1}{4\pi}\cdot\frac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!}\right]^{1/2}P_\ell^{|m|}(\cos\theta)e^{im\varphi}.$

Отсюда находим соотношение между функциями $Y_\ell^{\pm m}$ :

$Y_\ell^{-m}(\theta,\varphi)=(-1)^m {Y^m_\ell}^*(\theta,\varphi).$

В математической литературе $Y^m_\ell(\theta,\varphi)$ называются сферическими функциями.
Рассмотрим их преобразование при дискретном преобразовании координат - пространственной инверсии $\hat P$ , отвечающей переходу от правой системы координат к левой:

${\bf r\to r'=-r},\; {\rm или} \theta\to\pi-\theta,\; \varphi\to\varphi+\pi.$

Из общего выражения для сферических функций сразу следует закон преобразования:

$\hat P Y^m_\ell(\theta,\varphi)=Y^m_\ell(\pi-\theta,\varphi+\pi) = (-1)^\ell Y^m_\ell(\theta,\varphi).$

Следовательно, $Y^m_\ell$ - собственные функции оператора четности $\hat P$ , принадлежащие собственному значению +1(-1) при четном (нечетном) $\ell$ .
Общая структура сферических функций такова:

$Y^m_\ell=$ {\it произведение функции} $e^{im\varphi} \sin^{|m|}\theta${\it четности}$(-1)^{|m|}$ {\it и полинома по } $\cos\theta$ {\it степени}$\ell-|m|$ {\it и четности}$(-1)^{\ell-|m|}.$

Приведем несколько частных значений:

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}};\; Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\; Y_1^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{\pm i \varphi};\; Y_\ell^0=\sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}P_\ell(\cos\theta);\; Y_\ell^\ell=(-1)^\ell\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\cdot\frac{(2\ell)!}{2^{2\ell}(\ell!)^2}\right]^{1/2}\sin^\ell\theta e^{i\ell\varphi}.$

Замечание. Сферические функции связаны с гармоническими полиномами степени $\ell$ по x,y,z соотношением

$h_\ell^m({\bf r})=r^\ell Y^m_\ell(\theta,\varphi).$

При заданном $\ell$ имеем $2\ell+1$ линейно независимых полиномов. Как известно, гармоническая функция по определению удовлетворяет уравнению Лапласа:

$\nabla^2 h_\ell^m=0.$

В нашем случае это легко проверяется с использованием выражения оператора Лапласа через ${\bf\hat l}^2$ , которое выводится ниже (см. п. 9):

$\nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r-\frac{{\bf\hat l}^2}{r^2}.$

Приведем пример. Пусть $\ell=1$ . Тогда получаем три гармонических полинома h₁^m=rY₁^m, $m=0, \pm 1$ :

$h_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}z,\; h_1^{\pm 1}=\mp\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x\pm iy}{\sqrt{2}}.$

Сферические функции $Y^m_\ell$ реализуют неприводимое $(2\ell+1)$ -мерное представление группы вращений SO(3), образуя базис в пространстве функций, заданных на сфере единичного радиуса.
Покажем теперь, что целочисленность $\ell$ следует из более слабого требования, чем однозначность волновой функции. В общей теории момента фундаментальную роль играют соотношения (см. выше)

$\hat J_\pm \psi_{jm}\sim\psi_{j,m\pm 1};\; \hat J_+ \psi_{jj}=0,\; \hat J_- \psi_{j,-j}=0.$

Отсюда следует

$\hat J^{2j+1}_- \psi_{jj}=0.$

В рассматриваемом случае орбитального момента получаем

$\hat l^{2\ell+1}_-Y_\ell^\ell=0.$

Покажем, что это соотношение не выполняется, если $2\ell+1=2n$ - четное целое число. Для этого удобно использовать декартовы координаты, в которых имеем:

$\hat l_-=\hat l_x-i\hat l_y=y\hat p_z-z\hat p_y-i(z\hat p_x-x\hat p_z)=(x-iy)\partial_z-z(\partial_x-i\partial_y);\; Y_\ell^\ell= c_\ell(e^{i\varphi}\sin\theta)^\ell=\frac{c_\ell}{r^\ell}(x+iy)^\ell.$

Заметим, что для произвольной функции f(r), $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ имеем $\hat l_k f(r)=0$ . Далее сделаем комплексную замену переменных:

$u=x+iy,\; v=x-iy;\; \hat l_-=v\partial_z-2z\partial_u.$

В результате приходим к соотношению

$(v\partial_z-2z\partial_u)^{2n}u^{n-1/2}=0.$

Оно должно выполняться тождественно, что невозможно при целом $n=\ell+1/2$ . Следовательно, $\ell$ - целое число. Более подробное рассмотрение показывает, что для полуцелых $\ell(=1/2,3/2,\ldots)$ операторы момента $\hat l_k$ оказываются неэрмитовыми, т.е. не могут быть наблюдаемыми.

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]