Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Соотношение неопределенностей гейзенберга. основные постулаты квантовой механики

Соотношение неопределенностей

Пусть две наблюдаемых $\hat A$ и $\hat B$ не коммутируют. Тогда их коммутатор имеет вид:

$[\hat A ,\hat B]=i\hat C,$

где $\hat C$ - эрмитов оператор. Покажем, что дисперсии наблюдаемых в произвольном состоянии $\psi$ удовлетворяют ограничению

$\left \lt (\Delta A^2)\right \gt \left \lt (\Delta B)^2 \right \gt \ge \frac{1}{4} \left \lt C^2 \right \gt .$

Оно называется соотношением неопределенностей и получено впервые Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1927 г. для частного случая наблюдаемых $\hat x$ и $\hat p_x.$
Его общее доказательство принадлежит Вейлю (H. Weyl). Введем наблюдаемые

$\hat a= \hat A - \lt A \gt ,\; \hat b= \hat B - \lt b \gt ,\; [\hat a ,\hat b]=i\hat C,$

и рассмотрим неотрицательную функцию действительного параметра $\lambda$ :

$\begin{array}{c}F(\lambda)=\|\lambda\hat a-i\hat b\|^2=((\lambda\hat a-i\hat b)\psi,\lambda\hat a-i\hat b\psi)=(\psi,(\lambda\hat a+i\hat b)(\lambda\hat a-i\hat b)\psi)=\\ =(\psi,(\lambda^2\hat a^2+\hat b^2+\lambda \hat C)\psi)=\lambda^2 \lt a^2 \gt +\lambda \lt C \gt + \lt b^2 \gt \ge 0.\end{array}$

Ввиду произвольности $\lambda$ дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным:

$\lt C \gt ^2-4 \lt a^2 \gt \lt b^2 \gt \le 0.$

С учетом равенства $\lt a^2 \gt = \lt (\Delta A)^2 \gt$ получаем отсюда приведенное выше соотношение неопределенностей (СН).
Для коммутирующих наблюдаемых правая часть СН обращается в нуль, что соответствует, как мы видели выше (см. п. 3), одновременной измеримости таких наблюдаемых.
Для некоммутирующих наблюдаемых СН накладывает ограничение на точности, с которыми могут быть одновременно заданы (измерены) эти наблюдаемые. Наиболее сильное ограничение имеется в случае, когда $(\psi,[\hat A,\hat B]\psi)\ne 0$ для любых состояний $\psi$ , например, если $[\hat A,\hat B]=ic\hat I,$ где c=const. В этом случае не существует состояний, в которых обе наблюдаемых имеют определенные значения.
Пример. Пусть $\hat A=\hat x,\; \hat B=\hat p_x.$ Тогда

$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar,$

и мы получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:

$\lt (\Delta x)^2 \gt \lt (\Delta p_x)^2 \gt \ge \frac{\hbar^2}{4}.$

Качественно СН может быть получено из анализа эволюции волнового пакета (см. п. 2). Было показано, что эффективные размеры пакета в координатном и импульсном представлениях, т.е. неопределенности координаты и импульса частицы, связаны соотношением $\Delta x\cdot\Delta k\ge 1,$ или $\Delta x\cdot\Delta p_x\ge \hbar,$ так как импульс $p_x=\hbar k.$
Детальный анализ показывает, что в случае некоммутирующих наблюдаемых $\hat A$ и $\hat B$ и измерение одной из них приводит к неконтролируемому изменению другой наблюдаемой. Возмущение системы в процессе измерения конечно и таково, что всегда выполняются СН. Иными словами, для точного измерения таких наблюдаемых требуются несовместимые измерительные приборы.
Найдем состояния $\psi$ , в которых достигается минимум неопределенностей,т.е. точное равенство в СН. Получаем для них систему уравнений (см. выше вывод СН):

$(\lambda\hat a-i\hat b)\psi=0,\; \lambda^2 \lt a^2 \gt + \lambda \lt C \gt + \lt b^2 \gt =0,\; \lt A^2 \gt \lt b^2 \gt =\frac{1}{4} \lt C \gt ^2.$

Отсюда находим

$\lambda=-\frac{ \lt C \gt }{2 \lt a^2 \gt },$

и уравнение для определения состояния, минимизирующего произведение неопределенностей, принимает вид:

$\left(\frac{ \lt C \gt }{2 \lt a^2 \gt }\hat a+i\hat b\right)\psi=0.$

Рассмотрим случай координаты и импульса:

$\hat a=\hat x-x_0,\; \hat b=\hat p_x-p_0,\; \hat C=\hbar.$

В координатном представлении $\hat x=x_0,\; \hat p_x=-i\hbar \partial/\partial x,$ и получаем уравнение:

$\left[\frac{d}{dx}+\frac{x-x_0}{2\sigma^2}-\frac{p_0}{\hbar}\right]\psi(x)=0.$

Здесь $\sigma^2= \lt (\Delta x)^2 \gt ,\; x_0= \lt x \gt ,\; p_0= \lt p_x \gt .$
Нормированное решение имеет вид:

$\psi(x)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}{\rm exp}\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma^2}+\frac{i}{\hbar}p_0 x\right].$

В этом состоянии

$\lt (\Delta x)^2 \gt \lt (\Delta p_x)^2 \gt =\frac{\hbar^2}{4}.$

СН "координата-импульс" выражает отсутствие точной траектории у частицы. В частности, нельзя определить импульс в данной точке пространства (как в классической механике): импульс характеризует состояние квантовой частицы в целом. Он может быть измерен, например, путем анализа дифракционной картины, образуемой при прохождении пучка частиц через периодическую структуру, с помощью дебройлевского соотношения между длиной волны и импульсом: $\lambda=2\pi\hbar/p.$

Основные постулаты квантовой механики

Мы ввели основные понятия квантовой механики и можем теперь явно сформулировать, следуя Дж. фон Нейману (J. von Neumann), ее основные постулаты:

Состояния системы описываются ненулевыми векторами $\psi$ комплексного сепарабельного гильбертова пространства H, причем векторы $\psi$ и $\psi'$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $\psi'=c\psi$ , где c - произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный эрмитов оператор $\hat A.$

Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им эрмитовы операторы коммутируют.
В результате измерения наблюдаемой, представляемой оператором $\hat A,$ может быть получено лишь одно из собственных значений $\lambda$ оператора $\hat A.$ Вероятность w_n получить значение $\lambda_n$ при измерении в состоянии $\psi$ равна

w_n=|c_n|²,

где c_n - коэффициент в разложении $\psi$ по полной системе собственных функций $\psi_n$ оператора $\hat A$ :

$\psi=\sum\limits_{n}^{}c_n\psi_n,\; c_n=(\psi_n,\psi).$

Эволюция системы определяется уравнением Шредингера

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi,$

где $\hat H$ - гамильтониан.

Каждому вектору $\psi\ne 0$ из пространства H отвечает некоторое состояние системы, любой эрмитов оператор $\hat A$ соответствует некоторой наблюдаемой.

Рассмотренный в п. 3 принцип суперпозиции, как легко проверить, следует из постулата П4.
Замечание 1. Выбор пространства H и закона соответствия $A\to \hat A$ для конкретной физической системы определяется согласием предсказаний теории с результатами эксперимента. Этот выбор не может быть формализован: можно построить бесконечно много квантовых теорий, которые в пределе $\hbar\to 0$ переходят в одну и ту же классическую теорию.
Замечание 2. Существуют правила суперотбора, согласно которым пространство состояний H разбивается в прямую сумму ортогональных подпространств, причем сумма векторов из разных подпространств не может соответствовать физически реализуемому состоянию. Например, запрещена суперпозиция состояний с различными электрическими зарядами.

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]