Все задачи данного задания взяты из книги Бабинской И.Л. Задачи математических олимпиад, М., 1975.

---

9. Наименьшее значение

    Найти наименьшее значение дроби (x²-1):(x²+1).

Хочу подсказку

Хочу решение

---

8. Сложное неравенство

    Доказать, что при любом натуральном n справедливо неравенство (1+1:3)(1+8)(1+1:15)(1+(n²+2n))< 2.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

7. Числа с единицами

    Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи, включая и 1000: в записи которых есть хоть одна единица, или среди которых единиц нет?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

5. Семизначные числа

    Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют всевозможные семизначные цифры, в записи которых каждая цифра участвует только один раз. Доказать, что сумма всех этих чисел делится на 9.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

Неравенство

    4. Доказать, что для любого натурального числа n > 1 справедливо неравенство 0,5< 1:(n+1)+1:(n+2)+…+1:(2n)< 1 .

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6. Раскрашивание гайки

    Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Каждая боковая грань гайки покрашена в один из трех цветов: белый, красный или синий, причем соседние грани выкрашены в разные цвета, Сколько существует различных по раскраске гаек? (Для раскраски гайки не обязательно использовать все три краски.)

Хочу подсказку

Хочу решение

---

Целые числа

    Известно, что x+1:x целое число. Доказать, что xⁿ + 1:xⁿ - также целое при любом целом n.

Хочу подсказку

    Решение:
Напишем равенство (x+1:x)² =x²+(1:x)²+2 и преобразуем его x²+(1:x)²=(x+1:x)²-2, Справа в последнем равенстве стоит разность двух целых чисел, следовательно, утверждение верно при n=2.
Перемножим выражения (x²+(1:x)²)*(x+1:x)= x³+(1:x)³+(x+1:x). Из последнего равенство делается вывод о справедливости утверждения при n=3. Поступая аналогично, мы получим утверждение для любого n.
Мы сделали индуктивный вывод: переход от частного к общему (знающие метод математической индукции, могут строго доказать утверждение этим методом).

---

Преобразование выражения

    Доказать, что если b=a-1, то

(a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)…(a³²+b³²)=a⁶⁴-b⁶⁴.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

Сравнение чисел

    Что больше 99²⁰ или 9999¹⁰ ?

Хочу подсказку

Хочу решение