8. Делимость на пять
26.04.2001 14:00 |
Кружок МЦНМО
Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести
из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится
на 5.
Хочу подсказку
Решение:
Пусть данные числа a, b, c, d, x, y, z.
Запишем соответствующие суммы
в виде системы $\left\{
\begin{array}{rcl}
a+b+c+d+x+y&=&5n\\
b+c+d+x+y+z&=&5m\\
c+d+x+y+z+a&=&5k\\
d+x+y+z+a+b&=&5l\\
x+y+z+a+b+c&=&5t\\
y+z+a+b+c+d&=&5q\\
z+a+b+c+d+x&=&5p.\\
\end{array}
\right.$
где n, m, k, l, t, q, p - натуральные числа.
Сложим все семь равенств и получим
6*a+b+c+d+x+y+z=5n+m+k+l+t+q+p.
Так как выражение справа делится на 5, то и сумма всех чисел
a+b+c+d+x+y+z делится на 5,
но тогда и любое число из данных
делится на 5. Например, покажем это для x,
записав равенство
x=(a+b+c+d+x+y+z)-(a+b+c+d+y+z).
Оба слагаемых
справа делятся на 5, следовательно, и x делится
на 5.
Написать комментарий
|
