Делимость

---

1.Количество делителей

    Даны два различных простых числа p и q. Cколько делителей у числа
а) pq;
b) p²q;
c) p²q²;
d) pⁿ q^m?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

2.натуральные числа, делимость на 6

    Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

3.Признаки делимости

    Придумайте признаки делимости натуральных чисел на а)2; б)5; в)3; г)4; д)25

Хочу подсказку

    Решение:
Напомним принятое обозначение числа =a*10000+b*1000+c*100+d*10+e.
Для случаев а) и б) равенство = *10+e, после чего замечаем, что первое слагаемое делится на 5 и на 2. Следовательно, число будет делится на 2, если последняя цифра числа четная, и число будет делится на 5 , если последняя цифра числа будет 5 или 0.
Для случаев г) и д) напишем равенство =*100+. Первое слагемое делится и на 4, и на 25 , следовательно первоначальное число будет делится на указанные числа, если на них делится число .
В случае в) запишем равенство =a*10000 + b*1000 +c*100+d*10+e=(a*9999+b*999+c*99+d*9)+(a+b+c+d+e). Замечаем, что первое слагаемое делится на 3 и, следовательно, данное число будет делится на 3, если последнее слагаемое, а именно сумма всех цифр числа делится на 3. Заметьте, что из последнего равенства следует, что число делится и на 9, если сумма его цифр делится на 9 . Очень важно заметить, что обратные утверждения то же справедливы. Правильно сформулировать признаки можно следующим образом. Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (9). Число делится на 25 (4)тогда и только тогда, когда число, составленное из двух последних цифр данного числа делится на25 (4).

---

4.натуральные числа, делимость на 120

    Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 120.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

5.Факториал, пять нулей

    Может ли n! оканчиваться на 5 нулей?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6.Факториал, число нулей

    На сколько нулей оканчивается 100!

Хочу подсказку

Хочу решение

---

7.Делимость линейной комбинации.

    а)Число а+1 делится на 3. Докажите, что 4+7а делится на 3.
б) 2+а и 35-с делятся на 11. Докажите, что а+с делится на 11.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

8. Семь чисел

    Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

9. Наименьшее число

    Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

Хочу подсказку

Хочу решение