РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

---

1. Сумма обратных величин

    Докажите, что уравнение 1:а+1:b+ 1:c+1:d+1:e+1:f= 1 не имеет решений в нечетных натуральных числах.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

2. Количество острых углов треугольника

    Докажите, что у выпуклого многоугольника не может быть более трех острых углов.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

3. Десять чисел

    Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

4. Делимость числа, составленного из единиц

    Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33(100 троек)?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

5. Матч Бавария - Спартак

    Матч Бавария - Спартак окончился со счетом 5-8. Докажите, что в матче был такой момент, когда Спартаку оставалось забить столько мячей, сколько Бавария уже забила к этому времени.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6* Дополнительная задача

    Найдите натуральные числа, меньшие 1000, равные сумме факториалов своих цифр.

Хочу подсказку

    Решение:
1) Рассмотрим однозначные числа. Легко проверяется, что подходят только 1, 2.
2) Рассмотрим двузначные числа. Так как 5!=120, то цифры двузначного числа меньше пяти. Можно просто перебором показать, что таких чисел нет. Надо рассмотреть числа 11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,31,32,33,34,40,41,42,43,44
3) Рассмотрим трехзначные числа, цифры этих чисел не превосходят шести, т.е. число не превосходит 666, но так как 6!=720>666, то все цифры меньше шести и само число не превосходит 555. Так как 3*5!=360, то число не превосходит 360. Следовательно, первая цифра не более 3. Но 3!+2*5!=246<360, т.е. первая цифра меньше трех. Но 2!+2*5!=242<255, значит, первая цифра 1. Наконец, 1!+2*5!=241>155. Следовательно, вторая цифра меньше пяти. Замечание. Среди чисел больших тысячи чисел,обладающих указанным свойством нет. (Докажите!) Ответ: 145=1!+4!+5!; 1!=1; 2!=2.