Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

3.2.3. Закон дисперсии электрона в кристалле

Энергия электрона $Е(k)$ в кристалле может быть представлена в виде

$E({\displaystyle \bf k})=E_{ a } - C+ J,$

(3.12)

где E_a - энергия электрона в изолированном атоме, (-С)<0 - изменение этой энергии за счет того, что электрон находится в суммарном поле U(r) всех атомов решетки (см. 2.2). Третий член, так называемый обменный интеграл J, связан с перекрытием волновых функций $\Psi ({\displaystyle \bf r})$ (3.11) электронов, а также с энергией возмущения W(r), равной разности $W(r) = U(r) - U_{ a} (r)$ потенциальной энергии электрона в кристалле U(r) и в изолированном атоме U_a (r). Находясь в элементарном объеме $d \tau$ , электрон приобретает дополнительную потенциальную энергию W(r) благодаря перекрытию волновых функций с вероятностью $\Psi ({\displaystyle \bf r})* \Psi ({\displaystyle \bf r})d \tau$ , пропорциональной этому перекрытию. Тогда обменный интеграл

$J = \int {\displaystyle \Psi ^{ * }\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)\,} W\left( {\displaystyle r} \right)\Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)d\tau$

имеет смысл среднего значения отклонения (возмущения) потенциальной энергии электрона, возникающего при сближении атомов.

Для простой кубической решетки, учитывая перекрытие волновой функции $\Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)$ в простейшем случае только с волновыми функциями 6-ти ближайших атомов, находящихся на расстоянии а_j, обменный интеграл J приобретает вид:

$J = {\displaystyle \sum\limits_{ j = 1}^{ 6} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf ka}_{ j} }} }\int {\displaystyle \Psi _{ a}^{ * } \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)} \,W\left( {\displaystyle r} \right)\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf a}_{ j} } \right)d\tau$

В записанной сумме интегралы одинаковы для всех ближайших атомов. Обозначая их величину буквой А, получим выражение для энергии электрона в периодическом поле кубической решетки

$E\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf k}} \right) = E_{ a} - C + A{\displaystyle \sum\limits_{ j = 1}^{ 6} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf ka}_{ j} }} },$

(3.13)

В осях x,y,z, направленных по ребрам куба, выражение для энергии (3.13) принимает вид:

$\begin{array}{l} E\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf k}} \right) = E_{ a} - C + A\left( {\displaystyle e^{ i k_{ x} a} + e^{ - i k_{ x} a} + e^{ i k_{ y} a} + e^{ - i k_{ y} a} + e^{ i k_{ z} a} + e^{ - i k_{ z} a}} \right) = \\ = E_{ a} - C + 2A\left( {\displaystyle cosk_{ x} a + cosk_{ y} a + cosk_{ z} a} \right) \\ \end{array}$

(3.14)

Возмущение энергии $W(r) = U(r) - U_{ a} (r)$ всегда отрицательно, так как потенциальная энергия электронов в кристалле ниже, чем в изолированном атоме. Но знак А не обязательно отрицательный, поскольку знак обменного интеграла зависит еще и от знаков волновых функций в области перекрытия.

Для $\sigma _{ s}$ -состояний (рис.29а) знаки обеих функций $\Psi _{ 1s}^{ \left( {\displaystyle a} \right)}$ и $\Psi _{ 1s}^{ \left( {\displaystyle b} \right)}$ положительны, а, поскольку $W(r) \lt 0$ , то $А_{ s} \lt 0$ .

Для $\sigma _{ p}$ -состояний в области перекрытия (рис.29б), волновые функции $\Psi _{ 2px}^{ \left( {\displaystyle a} \right)} \left( {\displaystyle x} \right)$ и $\Psi _{ 2px}^{ \left( {\displaystyle b} \right)} \left( {\displaystyle x} \right)$ имеют, в основном, противоположные знаки и $А_{ p} \gt 0$ .

Законы дисперсии для s- и p -электронов, соответственно, будут иметь следующий вид:

$E _{ s} ({\displaystyle \bf k})=E _{ as} - 2|A _{ s}|(\cos k _{ x} a+ \cos k _{ y} a+ \cos k _{ z} a),$

(3.15)

$E _{ p} (k)=E _{ ap} + 2|A _{ p}|(\cos k _{ x} a+ \cos k _{ y} a+ \cos k _{ z} a).$ (3.16)

Анализ зависимостей (3.15) и (3.16) показывает, что внутри зон энергия электрона периодически зависит от волнового вектора k (а значит и от импульса $p= \hbar k$ ). Ширина i-ой зоны $(E_{ max }- E_{ min} ) _{ i}$ для кубической решетки, как следует из (3.3) и (3.4), равна (рис.30а)

$(E _{ max } - E _{ min} ) _{ i} =12|A _{ i}|.$

(3.17)

На рисунке 31 представлены зависимости $E _{ s} (k _{ x} )$ и $E _{ p} (k _{ x} )$ в приведенной зоне $\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} \le k_{ x} \le + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}} \right)$ значений компоненты $k _{ x}$ волнового вектора.

Рис. 31.

Проанализируем зависимость (3.15) E_s (k) вблизи экстремумов, то есть вблизи дна зоны с энергией $E _{ bt} =E _{ as } - 6|A _{ s}|$ и волновым вектором ${\displaystyle \bf k}_{ bt} =0$ и вблизи потолка зоны с энергией $E _{ tp} =E _{ as} +6|A _{ s}|$ и волновым вектором ${\displaystyle \bf k}_{ tp} =( \pi / а, \pi / а, \pi / а)$ . Разложим функцию (3.15) $E _{ s} ({\displaystyle \bf k})$ в ряд по компонентам волнового вектора k вблизи дна зоны и по компонентам волнового вектора k'=k-k_tp вблизи потолка зоны. Ограничиваясь только первыми членами разложения, получим, соответственно:

$E_{ s} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf k}} \right) = E_{ s\left( {\displaystyle bt} \right)} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ _{ s\left( {\displaystyle bt} \right)} }^{ * } }}}{\displaystyle \bf k}^{ 2} \quad E_{ s} \left( {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \bf k}}'} \right) = E_{ s\left( {\displaystyle tp} \right)} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ s\left( {\displaystyle tp} \right)}^{ * } }}}\left( {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \bf k}}'} \right)^{ 2}.$

(3.18)

По аналогии с параболическим законом дисперсии для свободных электронов величины

$m_{ s\left( {\displaystyle bt} \right)}^{ * } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2{\displaystyle \left| {\displaystyle A_{ s} } \right|}a^{ 2}}}}$ и $m_{ s\left( {\displaystyle tp} \right)}^{ * } = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2{\displaystyle \left| {\displaystyle A_{ s} } \right|}a^{ 2}}}}$

(3.19)

получили название эффективных масс электрона, соответственно, у дна и потолка зоны.

Таким образом для кубической решетки эффективные массы электронов у дна и потолка зоны одинаковы по величине, противоположны по знаку и обратно пропорциональны значению обменного интеграла. Чем выше расположены энергетические зоны (соответствующие более высоким атомным уровням), тем сильнее перекрываются волновые функции, больше величина обменного интеграла, а следовательно, энергетические зоны шире (3.17), меньше эффективные массы (3.19).

Литература: [Дж.Займан, 1966, гл.3, $\S$ 4]

4. Некоторые следствия, вытекающие из зонной структуры энергетического спектра электронов

Прежде всего отметим, что независимо от модели формирования энергетического спектра электронов свойства электронов проводимости и дырок в валентной зоне определяются их законами дисперсии E=E(p) и формой поверхности Ферми.

4.1. Эффективная масса и скорость электрона в кристалле

В соответствии с определением (1.8) групповая скорость V движения электрона в кристалле определяется законом дисперсии и равна

$\bf V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dE}}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf k}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dE}}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} }}}{\displaystyle \bf e}_{ x} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ y} }}}{\displaystyle \bf e}_{ y} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ z} }}}{\displaystyle \bf e}_{ z$

Изменение импульса электрона под действием внешней силы описывается уравнением движения Ньютона

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf F}.$

(4.1)

Компоненты вектора ускорения электрона, используя определение скорости, можно записать в виде

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dV_{ i} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} }}}} \right\}} = {\displaystyle \sum\limits_{ k} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ k} }}}{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} }}}} \right\}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dp_{ k} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}} } = {\displaystyle \sum\limits_{ k} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} \partial p_{ k} }}}} }F_{ k} ,$

(4.2)

где i=x,y,z и k=x,y,z.

Так как p=mV, то сравнивая (4.2) с уравнением движения (4.1), видим, что коэффициенты при компонентах силы играют роль обратной массы электрона. Девять коэффициентов $m_{ _{ ik} }^{ - 1} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} }}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ k} }}}} \right)$ составляют так называемый тензор обратной эффективной массы электрона в кристалле, который обозначается

${\displaystyle \left[ {\displaystyle m^{ * }} \right]}^{ - 1} \equiv {\displaystyle \left[ {\displaystyle m^{ * }_{ ik} } \right]}^{ - 1} = {\displaystyle \left[ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial k_{ i} \partial k_{ k} }}}} \right]} = {\displaystyle \left[ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} \partial p_{ k} }}}} \right]}.$

(4.3)

Тензор $\left[ {\displaystyle m^{ * }} \right]}^{ - 1} \equiv {\displaystyle \left[ {\displaystyle m^{ * }_{ ik} } \right]}^{ - 1$ описывает динамику электрона в кристаллической решетке.

Формально введенный тензор эффективных масс имеет следующий физический смысл.

1) При помощи уравнения (4.2) все внутренние силы взаимодействия электрона с решеткой включены в определение тензора эффективных масс. Через тензор $\left[ {\displaystyle m^{ * }} \right]}^{ - 1} \equiv {\displaystyle \left[ {\displaystyle m^{ * }_{ ik} } \right]}^{ - 1$ внутренние силы участвуют в формировании закона дисперсии E(p).

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий