Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

1.1.4. Связь волновых характеристик со скоростью микрочастиц. Пространственная локализация частиц

Монохроматическая волна де Бройля (1.1), соответствующая какой-либо частице с определенными значениями энергии и импульса, описывает одинаковую вероятность нахождения частицы в любом месте пространства. Монохроматическая волна не может охарактеризовать движение частицы (например, ее скорость). Чтобы связать параметр движения - скорость и волновые характеристики частицы - нужно рассмотреть не строго монохроматическую волну, а группу волн - волновой пакет. Волновой пакет представляет собой суперпозицию мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения OX монохроматических волн, обладающих близкими частотами. Тогда волну де Бройля $\Psi \left( {\displaystyle x,t} \right)$ можно представить в виде следующего соотношения:

$\Psi \left( {\displaystyle x,t} \right) = {\displaystyle \int\limits_{ k_{ 0} - \Delta k}^{ k_{ 0} + \Delta k} {\displaystyle C\left( {\displaystyle k} \right)e^{ i\,\left( {\displaystyle \omega t - kx} \right)}} }dk,$

(1.7)

где k_{ 0} - волновое число, около которого лежат волновые числа k волн, образующих группу $( k_{ 0} + \Delta k ) \le k \le ( k_{ 0} - \Delta k )$ (интервал $2 \Delta k$ предполагается малым по сравнению с величиной $k_{ 0}$ : $2 \Delta k \ll k_{ 0}$ ), $C\left( {\displaystyle k} \right)dk$ - амплитудный вклад в волновой пакет волн с волновыми числами, находящимися в бесконечно узком интервале от k до k +dk.

Результирующая амплитуда такого волнового пакета будет заметно отличаться от нуля в некоторой небольшой области пространства, которую можно связать с положением частицы. Покажем, что, амплитудный максимум волнового пакета, связанный с положением частицы, распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости распространения частицы.

Поскольку, в общем случае, частота волн \omega является функцией волнового числа, то, используя сформулированное ранее условие $2 \Delta k = {\displaystyle \left| {\displaystyle \,k - k_{ 0} } \right|} \ll k_{ 0}$ , можно функцию $\omega ( k )$ представить в виде разложения в ряд Тейлора около значения $k = k_{ 0}$ и ограничиться только линейным членом разложения, т.е. записать $\omega ( k )$ в виде:

$\omega = \omega _{ 0} + {\displaystyle \omega }'_{ 0} \left( {\displaystyle k - k_{ 0} } \right) + ...$

где $\omega _{ 0} = \omega ( k_{ 0} )$ и $\omega }'_{ 0} = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \,\omega }}{\displaystyle {\displaystyle \partial \,k}}}} \right|}_{ k = k_{ 0} } = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \,\omega }}{\displaystyle {\displaystyle \partial \,k}}}} \right)_{ 0$ .

Пусть, для простоты, амплитуда $C\left( {\displaystyle k} \right)$ является медленно меняющейся функцией $k$ , так что можно принять ее постоянной величиной $C ( k )= C ( k_{ 0} )= {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle C_{ 0} }}{\displaystyle {\displaystyle 2\Delta k}}}$ (рис.1 а ). Тогда, произведя в (1.7) замену переменной $k$ на $\xi = \left( {\displaystyle {\displaystyle \omega }'_{ 0} t - x} \right) ( k-k_{ 0} )$ , получим после интегрирования:

$\begin{array}{l} \Psi \left( {\displaystyle x,t} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle C_{ 0} }}{\displaystyle {\displaystyle 2\left( {\displaystyle {\displaystyle \omega }'_{ 0} t - x} \right)\Delta k}}}exp{\displaystyle \left[ {\displaystyle \,i\,\left( {\displaystyle \omega _{ 0} t - k_{ 0} x} \right)} \right]} \cdot {\displaystyle \int\limits_{ - \Delta k}^{ + \Delta k} {\displaystyle exp\left( {\displaystyle i\xi } \right)\,} }d\xi = \\ = C\left( {\displaystyle x,t} \right)\,exp{\displaystyle \left[ {\displaystyle \,i\,\left( {\displaystyle \omega _{ 0} t - k_{ 0} x} \right)} \right]} \\ \end{array}$

(1.7а)

Здесь $С(x,t)$ - амплитуда волнового пакета, равная

$C\left( {\displaystyle x,t} \right) = C_{ 0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle Sin{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \omega }'_{ 0} t - x} \right)\Delta k} \right\}}}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \omega }'_{ 0} t - x} \right)\Delta k}}} = C_{ 0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle Sin\eta }}{\displaystyle {\displaystyle \eta }}},$

(1.7б)

$\eta =( {\displaystyle \omega }'_{ 0} t - x ) \Delta k.$

Рис. 1.

Она имеет главный максимум $C_{ max} ( x,t ) =C_{ 0}$ , соответствующий центру группы волн, в точке $\eta =0$ , в которой знаменатель $С ( x,t )$ обращается в нуль, то есть при $x = {\displaystyle \omega }'_{ 0} t = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dk}}}} \right)_{ 0} t$ . Отсюда следует, что центр группы перемещается со скоростью $V_{ gr} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle t}}} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dk}}}} \right)_{ 0}$ , называемой групповой скоростью, которую можно записать, используя (1.2), в виде :

$\bf V}_{ gr} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf k}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dE}}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf k}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dE}}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}$

(1.8)

Таким образом, скорость частицы-волны (1.8) связана с дисперсией волн, образующих волновой пакет, и определяется быстротой изменения частоты с увеличением волнового вектора. Учитывая зависимость $\omega (k)$ для волн де Бройля (1.6), групповая скорость $\bf V}_{ gr$ будет равна механической скорости V частицы:

$V = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dk}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p}}{\displaystyle {\displaystyle m_{ 0} }}}.$

Следовательно, центр группы волн движется как частица.

На рисунке 1б изображен волновой пакет $\Psi (x,t)$ (1.7а) в момент времени $t =0.$

Квадрат амплитуды волнового пакета (1.7б)

$С^{ 2} ( x , t )=C ^{ 2} ( \eta )= C_{ 0}^{ 2} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sin ^{ 2}\eta }}{\displaystyle {\displaystyle \eta ^{ 2}}}}$

(1.9)

пропорционален вероятности нахождения частицы в точке $( x , t )$ . Из рисунка 1в видно, что область локализации волнового пакета не является точечной, а частица находится с наибольшей вероятностью в окрестности главного максимума (1.9). Для оценки, область локализации $\Delta \eta _{ loc}$ обычно принимают равной половине расстояния между первыми нулями функции $C ^{ 2} ( \eta )$ , то есть $\Delta \eta _{ loc} \approx \pi$ .

В фиксированный момент времени (например, при $t =0$ ) условие $\Delta \eta _{ loc} \approx \pi$ определяет область пространственной локализации $\Delta x_{ loc}$ волнового пакета

$\Delta x_{ loc} \Delta k \approx \pi \mbox{ { \rm или}} \quad \Delta x_{ loc} (2\Delta k) \approx 2\pi ,$

(1.10)

или $\Delta p_{ x}\Delta x_{ loc} \approx 2\pi \hbar$ , так как $p = \hbar k$ ,

где $2 \Delta k$ - интервал волновых чисел, составляющих волновой пакет (1.7).

Положив в условии $\Delta \eta _{ loc} \approx \pi$ , определяющем размер волнового пакета, х=сonst (например, $х =0$ ), при произвольном $t$ получим соотношение

$\Delta \omega \Delta t \approx 2 \pi$

(1.11)

или $\Delta E\Delta t \approx 2 \pi \hbar$ , так как $E = \hbar \omega$ ,

связывающее временной интервал $\Delta t$ волнового пакета с его спектральной шириной $\Delta \omega = \omega \prime (2 \Delta k )$ .

Оба приближенных равенства (1.10) и (1.11) являются следствием соотношения неопределенностей (соотношения Гейзенберга), открытого в 1927 году немецким физиком В. Гейзенбергом:

$\Delta p_{ x}\Delta x \ge {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} , \Delta E\Delta t \ge \hbar .$

Соотношения неопределенностей устанавливает пределы, за которыми принципы классической физики становятся неприменимыми.

Описывая реальную систему классическими методами и параметрами (координата и импульс), мы используем некоторое приближение, а соотношение неопределенности показывает степень его справедливости.

Это означает, что поведение микрочастиц, в частности, электронов в металлах, нельзя рассматривать на основе классических законов, когда характерные размеры (межатомное расстояние и размеры кристалла) сравнимы с длиной волны де Бройля $\lambda = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle p}}}$ электронов. Реальные микрочастицы не ведут себя подобно точечным частицам классической физики. Классическое описание движения микрочастиц с использованием понятий: закон движения, траектория движения, является лишь приближенным.

Литература: [Д.И.Блохинцев, 1961, $\S$ 7, 9, 10, 15, 16]

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий