Монохроматическая волна де Бройля (1.1), соответствующая какой-либо частице
с определенными значениями энергии и импульса, описывает одинаковую
вероятность нахождения частицы в любом месте пространства. Монохроматическая
волна не может охарактеризовать движение частицы (например, ее скорость).
Чтобы связать параметр движения - скорость и волновые характеристики
частицы - нужно рассмотреть не строго монохроматическую волну, а группу волн -
волновой пакет. Волновой пакет представляет собой суперпозицию мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения OX монохроматических волн, обладающих близкими частотами. Тогда волну де Бройля можно представить в виде следующего соотношения:
| (1.7) |
где k_{ 0} - волновое число, около которого лежат волновые числа k волн,
образующих группу
(интервал предполагается малым по сравнению с величиной
: ), - амплитудный вклад в
волновой пакет волн с волновыми числами, находящимися в бесконечно узком
интервале от k до k +dk.
Результирующая амплитуда такого волнового пакета будет заметно отличаться от
нуля в некоторой небольшой области пространства, которую можно связать с
положением частицы. Покажем, что, амплитудный максимум волнового пакета,
связанный с положением частицы, распространяется в пространстве со
скоростью, равной скорости распространения частицы.
Поскольку, в общем случае, частота волн \omega является функцией
волнового числа, то, используя сформулированное ранее условие , можно функцию представить в виде разложения в ряд Тейлора около значения
и ограничиться только линейным членом разложения, т.е. записать в виде:
где и .
Пусть, для простоты, амплитуда является медленно
меняющейся функцией , так что можно принять ее постоянной величиной
(рис.1 а ). Тогда, произведя в
(1.7) замену переменной на , получим после интегрирования:
| (1.7а) |
Здесь - амплитуда волнового пакета, равная
| (1.7б) |
| Рис. 1. |
Она имеет главный максимум , соответствующий центру группы
волн, в точке , в которой знаменатель обращается в нуль, то есть при . Отсюда
следует, что центр группы перемещается со скоростью , называемой групповой скоростью, которую можно записать, используя (1.2), в виде :
| (1.8) |
Таким образом, скорость частицы-волны (1.8) связана с дисперсией волн, образующих волновой пакет, и определяется быстротой изменения частоты с увеличением волнового вектора. Учитывая зависимость для волн
де Бройля (1.6), групповая скорость будет равна механической
скорости V частицы:
Следовательно, центр группы волн движется как частица.
На рисунке 1б изображен волновой пакет (1.7а) в момент времени
Квадрат амплитуды волнового пакета (1.7б)
| (1.9) |
пропорционален вероятности нахождения частицы в точке . Из рисунка 1в видно, что область локализации волнового пакета не является точечной, а частица находится с наибольшей вероятностью в
окрестности главного максимума (1.9). Для оценки, область локализации
обычно принимают равной половине расстояния между
первыми нулями функции , то есть .
В фиксированный момент времени (например, при ) условие определяет область пространственной
локализации волнового пакета
| (1.10) |
или , так как
,
где - интервал волновых чисел, составляющих волновой пакет
(1.7).
Положив в условии , определяющем
размер волнового пакета, х=сonst (например, ), при произвольном получим
соотношение
| (1.11) |
или , так как ,
связывающее временной интервал волнового пакета с его спектральной
шириной .
Оба приближенных равенства (1.10) и (1.11) являются следствием
соотношения неопределенностей (соотношения Гейзенберга), открытого в 1927 году немецким физиком
В. Гейзенбергом:
Соотношения неопределенностей устанавливает пределы, за которыми принципы классической физики становятся неприменимыми.
Описывая реальную систему классическими методами и параметрами (координата и
импульс), мы используем некоторое приближение, а соотношение
неопределенности показывает степень его справедливости.
Это означает, что поведение микрочастиц, в частности, электронов в металлах,
нельзя рассматривать на основе классических законов, когда характерные
размеры (межатомное расстояние и размеры кристалла) сравнимы с длиной волны
де Бройля электронов. Реальные
микрочастицы не ведут себя подобно точечным частицам классической физики.
Классическое описание движения микрочастиц с использованием понятий: закон
движения, траектория движения, является лишь приближенным.
Литература: [Д.И.Блохинцев, 1961, 7, 9, 10, 15, 16]
Назад | Вперед
Написать комментарий
|