Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

1.5. Две модели построения энергетического спектра валентных электронов.

Как известно все вещества по характеру электропроводности делятся на три основных класса: металлы, полупроводники и диэлектрики.

Характерной особенностью металлов является их металлическая проводимость - увеличение проводимости при понижении температуры при постоянной концентрации носителей тока.

У чистых полупроводников их собственная проводимость экспоненциально уменьшается при понижении температуры и обращается в нуль при $Т \to 0$ , что указывает на то, что носители тока в полупроводниках появляются только в результате термического возбуждения.

В диэлектриках свободные носители тока вообще отсутствуют.

Различие в электрических свойствах этих трех классов веществ определяется, прежде всего, характером химических связей между атомами решетки.

Возможны два характерных предельных случая. В первом случае валентные электроны находятся на внешних атомных s- и p-орбиталях, которые слабо связаны с атомными остовами. Во втором случае валентные электроны находятся на внутренних 3d-, 4d-, 5d- и 4f-электронных оболочках.

В первом случае перекрытие волновых функций столь сильно, что электроны практически полностью утрачивают свою s- и p- специфику и коллективизируются, то есть перестают быть связанными с отдельными атомами кристаллической решетки и приобретают способность перемещаться в ней. Такие электроны в первом приближении можно рассматривать почти свободными (модель свободных электронов или приближение слабой связи (см. 2)) и описывать плоскими волнами, слабо модулированными периодическим потенциалом решетки.

Во втором случае, поскольку размеры d- и f-орбиталей существенно меньше, чем внешних s- и p-орбиталей, перекрытие оказывается достаточно слабым, так что d- и f- специфика электронов в значительной степени сохраняется. Волновые функции таких коллективизированных электронов описывать плоскими волнами не корректно. В этом случае при построении энергетического спектра следует исходить из невозмущенных, локализованных на отдельных атомах электронных состояний и рассматривать их изменение из-за взаимодействия, возникающего при сближении атомов. Такой подход получил название модели сильной связи (или приближения сильной связи (см. 3)).

Моделью слабой связи хорошо описываются все непереходные металлы с заполненными внутренними d- и f-орбиталями. Моделью сильной связи - переходные и редкоземельные металлы, у которых металлическая проводимость возникает в результате отсутствия энергетической щели между связывающими и разрыхляющими зонами или в результате перекрытия зон.

Практически во всех атомарных полупроводниках и диэлектриках, имеющих аналогичную кристаллическую структуру и отличающихся различной шириной запрещенной зоны (у диэлектриков она больше), электроны описываются локализованными, связанными молекулярными орбиталями. Таким образом, их следует рассматривать в рамках модели сильной связи.

2. Модель свободных электронов.

2.1. Исходная модель металла

По современным представлениям металл можно рассматривать как совокупность системы большого числа N положительно заряженных колеблющихся ионов, образующих квазипериодическую пространственную структуру (кристаллическую решетку), и системы относительно свободных коллективизированных валентных электронов, не локализованных вблизи отдельных ионов, а перемещающихся по всему кристаллу. Отличие одного металла от другого связано с разной валентностью z атомов, особенностями их электронной структуры, а также с симметрией кристаллической решетки.

Теоретическое описание металла в рамках такой модели приводит к квантовомеханической задаче о системе (N+zN) взаимодействующих между собой частиц. Строгое решение такой задачи в настоящее время невозможно.

Качественное представление о характере поведения электронов, их энергетическом спектре можно получить на основании следующих приближений.

Адиабатическое приближение.

Массы ионов, образующих кристаллическую решетку, и массы электронов, а, следовательно, и скорости их движения, сильно различаются (скорости - приблизительно на два-три порядка). Поэтому можно, считать, что, во-первых, движение электронов не зависит от движения ионов и, во-вторых, ионы в узлах решетки неподвижны и образуют строго периодическую кристаллическую решетку. Такое приближение называют адиабатическим или приближением Борна-Оппенгеймера.

Одноэлектронное приближение.

Взаимодействие электронов друг с другом можно заменить взаимодействием каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Это поле определяет не только движение данного электрона, но и само зависит от его движения, то есть является самосогласованным полем. Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как почти не взаимодействующие частицы. Полная энергия при этом равна сумме энергий отдельных электронов. Таким образом, самосогласованное поле позволяет задачу многих частиц свести к задаче для одного электрона (одноэлектронное приближение).

При этом электрон не является совсем свободным, так как находится в потенциальном поле всех ионов решетки и самосогласованном поле других электронов.

Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 14-16; Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч.II, гл1, $\S$ 4; Дж.Займан, 1966, гл.3, $\S$ 1; Ч.Киттель, 1978, гл.3; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 2.2]

2.2. Следствия ограниченности движения валентных электронов в объеме кристалла.

2.2.1. Импульс и энергия Ферми

Благодаря кулоновскому полю положительно заряженных ионов полная энергия электронов в кристалле ниже, чем в вакууме на величину, определяющую работу выхода электронов при внешнем фотоэффекте. Поэтому кристалл для электронов можно рассматривать как потенциальный ящик, ограниченный поверхностью кристалла, с постоянным значением потенциала внутри объема кристалла.

Как было показано в п.I.3 ограничение движения электронов приводит к тому, что непрерывный энергетический спектр Е=р²/(2m) становится дискретным с квантованными значениями импульса (1.19) и энергии (1.22).

Будем рассматривать в дальнейшем кристалл единичного объема L_xL_yL_z=W=1. В таком кристалле число (концентрация) коллективизированных электронов равна n=zN, где N - число атомов, z - их валентность. Согласно принципу Паули для ферми-частиц, в каждом состоянии, занимающем объем в p-пространстве равный $(2\pi \hbar )^{ 3}$ (1.21), может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами. При абсолютном нуле температуры электроны занимают самые низкие энергетические состояния. Это утверждение согласуется с распределением Ферми-Дирака (1.16), когда при Т=0 вероятность заполнения состояний с энергией ( $Е\lt\mu$ ) ниже химического потенциала $\mu$ равна единице, а выше, при $Е\gt\mu$ , - нулю.

Таким образом, при Т=0 электроны заполняют в p-пространстве сферу (рис.6), радиус которой $p_{ F} ( = \hbar k_{ F} )$ определяется из равенства числа электронов zN удвоенному (за счет спиновых состояний) числу элементарных квантовых ячеек (1.21) в объеме $\frac{\displaystyle {\displaystyle 4}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}\pi \,p_{ F}^{ 3$ сферы, то есть

$2\;{\displaystyle \frac{\displaystyle 4/3\pi \, p_{ F}^{ 3}}{\displaystyle {\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 3}}}} = zN = n$

(2.1)

Максимально возможные значения импульса p_{ F} и соответствующей ему энергии E_{ F} электронов при T=0, называются, соответственно, импульсом и энергией Ферми. Изоэнергетическая (E=E_{ F}=const.) поверхность (или совокупность поверхностей см. ниже) в пространстве импульсов, внутри которой все состояния заполнены при Т=0, называется поверхностью Ферми. Импульс и энергия Ферми на основании (2.1) определяются следующими соотношениями:

$\,p_{ F}^{ } = \hbar \,\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3\pi ^{ 2}zN}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}} \right)^{ {\displaystyle {\displaystyle 1} \mathord{\displaystyle \left/ {\displaystyle \vphantom {\displaystyle {\displaystyle 1} {\displaystyle 3}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\displaystyle 3}}} = \hbar \,\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}n} \right)^{ {\displaystyle {\displaystyle 1} \mathord{\displaystyle \left/ {\displaystyle \vphantom {\displaystyle {\displaystyle 1} {\displaystyle 3}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\displaystyle 3}}},$

(2.2)

$\,E_{ F}^{ } \left( {\displaystyle 0} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ F}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar _{ }^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}n} \right)^{ {\displaystyle {\displaystyle 2} \mathord{\displaystyle \left/ {\displaystyle \vphantom {\displaystyle {\displaystyle 2} {\displaystyle 3}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\displaystyle 3}}}.$ (2.3)

Таким образом, энергия Ферми растет с увеличением концентрации коллективизированных электронов пропорционально n^{2 / 3}.

Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 14-16; А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 2; Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990,ч.2,гл.1, $\S$ 1,гл.5, $\S$ 1; Дж.Займан, 1966, гл.3, $\S$ 1; Ч.Киттель, 1978,гл.7;]

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий