Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

2.6.1.2. Неоднозначность определения импульса в периодической структуре. Волновая функция Блоха. Приведенный волновой вектор. Зоны Бриллюэна. Закон дисперсии в приведенной зоне.

Рассмотрим одно из направлений, например e_x, основных трансляций в решетке с периодом a. При переходе из точки x в эквивалентную точку с координатой, например, $x\pm aj$ (j - целое число) фаза волновой функции (kx) электрона (2.17) изменяется на величину kaj. Учитывая условие (2.19), волновую функцию в точке $x\pm aj$ можно записать в виде:

$\Psi _{ k} (x\pm aj) = {\displaystyle \bf C}_{ k} \left( {\displaystyle x\pm aj} \right)e^{ - ik\left( {\displaystyle x\pm aj} \right)} = \Psi _{ k} (x)e^{ \pm ikaj}.$

Видно, что при трансляции на период $\pm aj$ волновая функция электрона умножается на фазовый множитель $\exp (\pm ikaj)$ .

Волновая функция (2.17) стационарного состояния электрона в периодическом поле кристалла, которая при трансляции на вектор решетки S (2.18) приобретает фазовый множитель $e^{ i{\displaystyle \bf kS}}$ и удовлетворяет условию периодичности (2.19), называется волной или функцией Блоха.

Обратим внимание на то, что фазовый сдвиг при трансляции для волн с k и $k'=k\pm 2\pi j/а$ (j - целое число) один и тот же, поскольку $\exp (i2\pi j)=1$ . Это означает, что электроны с волновыми векторами k и k' (или импульсами (1.3) p и $p'=p\pm 2\pi \hbar j/а$ ) движутся в кристалле одинаково, то есть решетка как бы "не различает" электроны, волновые векторы у которых различаются на величину $\pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ . Следовательно, состояния (с учетом четной зависимости энергии от импульса E(-p)=E(p)), соответствующие векторам:

k и ${\displaystyle \bf k}}' = \pm {\displaystyle \bf k}\pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j{\displaystyle \bf e}_{ x$ ,

(2.20)

p и ${\displaystyle \bf p}}' = \pm {\displaystyle \bf p}\pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j{\displaystyle \bf e}_{ x$ , (2.20а)

физически неразличимы, эквивалентны, то есть соответствуют одному и тому же физическому состоянию электрона в кристалле, а, следовательно, одной и той же энергии.

На рисунке 11 изображены две волновые функции, соответствующие двум значениям k: $k_{ 1} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 4a}}}$ - функция 1 и $k_{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 4a}}}$ - функция 2, для свободного электрона в линейной цепочке атомов, расположенных вдоль оси х. Вертикальные черточки у каждого атома соответствуют вещественной части волновой функции.

Рис. 11.

Легко убедиться, что "с точки зрения атомов решетки" электронные волновые функции с $\left( {\displaystyle k_{ 1} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 4a}}}} \right)$ и $\left( {\displaystyle k_{ 2} = - k_{ 1} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 4a}}}} \right)$ эквивалентны, то есть имеют одно и то же значение в узлах решетки.

Таким образом, любой волновой функции в одномерной цепочке атомов можно сопоставить приведенный волновой вектор - вектор с наименьшим абсолютным значением k':

$- {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} \le k' \le {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}.$

(2.21)

Эта область значений волнового вектора называется приведенной (или первой) зоной Бриллюэна (рис.12). Первая зона Бриллюэна в трехмерном случае - объем (в двумерном - площадь, в одномерном - длина) в р-пространстве. Вторая зона Бриллюэна - область значений волновых векторов {\displaystyle $\frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}} \le k \le 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}, \; - 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} \le k \le - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ , равная по объему первой зоне, прилегающая к ней. Все последующие зоны, границы которых соответствуют векторам

$k = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ , (j - целое число),

(2.22)

определяются аналогично. Зоны Бриллюэна для двумерного случая рассмотрены ниже в 2.7.

Рис. 12.

Поскольку все зоны Бриллюэна содержат физически эквивалентные наборы волновых векторов, то волновым векторам, отличающимся на ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ , должны соответствовать одни и те же значения энергии, что приводит к периодической зависимости энергии от импульса.

Если эффективный потенциал равен нулю, электрон движется в решетке как свободная частица с энергией $E = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar k^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}$ (пунктирная кривая на рис.13), где k может меняться от нуля до сколь угодно большой величины. При наличии даже сколь угодно малого периодического потенциала ситуация качественно изменяется: пространство значений волнового вектора разделяется на области физически эквивалентных значений (зоны Бриллюэна) и одновременно - возникает периодичность в зависимости энергии от импульса. Закон дисперсии в приведенной зоне, то есть зависимость энергии электрона от его импульса, (рис.13) получается сдвигом всех частей параболической зависимости $E = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar k^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}$ для свободного электрона на вектора $\bf g} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j{\displaystyle \bf e}_{ x$ ( $j=\pm 1,\pm 2,\ldots$ ) в область (2.21) приведенных значений k'. Результат таких трансляций показан на рисунке 13 сплошными линиями. Ветви закона дисперсии в приведенной зоне (кривые А'В' и АС) получаются путем сдвига частей параболического закона дисперсии АВ (на вектор $\bf g} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}{\displaystyle \bf e}_{ x$ ) и А'С' (на вектор $\bf g} = + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}{\displaystyle \bf e}_{ x$ ). В результате получаем, что различным энергетическим состояниям электрона соответствует одно и тоже значение приведенного вектора.

Рис. 13.

Следовательно, не только разным k соответствует один и тот же приведенный волновой вектор k', но, как видно на рисунке 13, может существовать много электронных функций с одним и тем же значением приведенного волнового вектора k', но соответствующих различным энергиям.

Таким образом, трансляционная инвариантность решетки приводит к многозначности импульса и энергии электрона в решетке.

Литература: [Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч.II, гл.1, $\S$ 5, 7, гл.2, $\S$ 1; Дж.Займан, 1966, гл.1, $\S$ 4, 5; Ч.Киттель, 1978, гл.2; И.Е.Тамм, 1954; Р.Фейнман и др., 1967, гл.11, $\S$ 2; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 2.7, 2.9]

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий