Научная Сеть >> Колебания. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Содержание

Дополнительно. Из уравнения (39) можно найти зависимость напряжения на конденсаторе от времени

$U_{C} (t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle Q}}{{\displaystyle C}}}\cos (\omega _{0} t + \varphi _{0} )$

по фазе совпадает с зарядом.

Сила тока в цепи:

$I(t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle dq}}{{\displaystyle dt}}} = - \omega _{0} Q\sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} ),\quad или \quad I(t) = \omega _{0} Q\cos \left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi _{0} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}}} \right),$

т.е. сила тока через конденсатор опережает по фазе заряд и напряжение на конденсаторе на ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}} .$

Напряжение на индуктивности:

$U_{L} (t) = L{\displaystyle \frac{{\displaystyle dI}}{{\displaystyle dt}}} = - \omega _{0}^{2} LQ\cos (\omega _{0} t + \varphi _{0} ), \quad или \quad U_{L} (t) = \omega _{0}^{2} LQ\cos \left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi _{0} + \pi } \right),$

т.е. напряжение на индуктивности опережает силу тока на ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}},$ а напряжение и заряд на конденсаторе на $\pi .$ (Это понятно, ведь в сумме они должны давать ноль, по закону Ома для полной цепи.)

6.3. Свободные электромагнитные колебания в реальном электрическом контуре

Реальным электрическим контуром называется контур с активным сопротивлением отличным от нуля.

Активное сопротивление переводит энергию направленного движения зарядов в энергию хаотического движения.

Т.к. активное сопротивление отлично от нуля, то в таком контуре будут потери энергии при колебаниях (на выделение тепла при прохождении тока по проводнику согласно закону Джоуля-Ленца). Амплитуда таких колебаний будет уменьшаться с течением времени.

Запишем для квазистационарного тока в реальном контуре уравнение, составленное по закону Ома. (Схема 2.)

$U_{L} + U_{R} + U_{C} = 0$

(40)

Правая часть уравнения равна нулю, т.к. источников в контуре нет. Тогда выражение (40) примет вид

$L{\displaystyle \frac{{\displaystyle dI}}{{\displaystyle dt}}} + R \cdot I + {\displaystyle \frac{{\displaystyle q}}{{\displaystyle C}}} = 0.$

(41)

Учитывая, что $I = {\displaystyle \frac{{\displaystyle dq}}{{\displaystyle dt}}},$ уравнение (41) можно привести к виду

$L{\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}q}}{{\displaystyle dt^{2}}}} + R{\displaystyle \frac{{\displaystyle dq}}{{\displaystyle dt}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle q}}{{\displaystyle C}}} = 0.$

Введем обозначение $\omega _{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle LC} }}}$ (частота собственных колебаний или собственная частота) и $\beta = {\displaystyle \frac{{\displaystyle R}}{{\displaystyle 2L}}}$ (коэффициент затухания), окончательно получим

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}q}}{{\displaystyle dt^{2}}}} + 2\beta {\displaystyle \frac{{\displaystyle dq}}{{\displaystyle dt}}} + \omega _{0}^{2} q = 0.$

(42)

Сравните с выражением (7). Выражение (42) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний в электрическом контуре.

Схема 2

Из п. 1.2 известно, что решением этого уравнения является функция

$q(t) = q_{0} e^{ - \beta t}\cos (\omega t) + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle i_{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta q_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}} \right)e^{ - \beta t}\sin (\omega t)$

(43)

Выражение (43) можно привести к виду

$q(t) = Q_{0} \cdot e^{ - \beta t}\cos (\omega t + \varphi _{0} ),$

(44)

где начальная амплитуда и начальная фаза равны:

$Q_{0} = \sqrt {\displaystyle q_{0}^{2} + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle i_{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta q_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}} \right)^{2}} ,{\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle } \hfill & {\displaystyle } \hfill \\ \end{array} }\varphi _{0} = arctg\left( {\displaystyle - {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle i_{0} }}{{\displaystyle \omega q_{0} }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega }}}} \right]}} \right),$

а $\omega = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \beta ^{2}}$ - частота собственных затухающих колебаний.

Амплитуда и начальная фаза находятся из начальных условий для заряда и силы тока, а частота собственных незатухающих колебаний и коэффициент затухания - через параметры колебательной системы (индуктивность и электроемкость).

Дополнительно. Из уравнения (44) можно найти зависимость напряжения на конденсаторе от времени

$U_{C} (t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle Q_{0} }}{{\displaystyle C}}}e^{ - \beta t}\cos (\omega t + \varphi _{0} )$

по фазе совпадает с зарядом .

Сила тока в цепи:

$I(t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle dq}}{{\displaystyle dt}}} = Q_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - \beta \cos (\omega t + \varphi _{0} ) - \omega \sin (\omega t + \varphi _{0} )} \right),$

или если умножить и разделить правую часть выражения на $\omega _{0},$ то

$I(t) = \omega _{0} Q_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}\cos (\omega t + \varphi _{0} ) - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}\sin (\omega t + \varphi _{0} )} \right).$

(45)

Если ввести угол, определяемый условиями $\cos \vartheta = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega _{0} }}},\quad \sin \vartheta = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle \omega _{0} }}},$ то выражение (45) можно привести к виду:

$I(t) = \omega _{0} Q_{0} \cdot e^{ - \beta t}\cos \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + \vartheta } \right)$

(46)

Значение угла $\vartheta$ заключено в интервале ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}} \lt \vartheta \lt \pi .$ (Из чего можно сделать такой вывод?) Т.о. при наличии в контуре активного сопротивления сила тока и напряжение на активном сопротивлении опережает по фазе напряжение на конденсаторе больше, чем на ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}}.$

Напряжение на индуктивности:

$U_{L} (t) = L{\displaystyle \frac{{\displaystyle dI}}{{\displaystyle dt}}} = \omega _{0} LQ_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - \beta \cos (\omega t + \varphi _{0} + \vartheta ) - \omega \sin (\omega t + \varphi _{0} + \vartheta )} \right).$

Проделывая ту же процедуру, что и раньше, получим

$U_{L} (t) = \omega _{0}^{2} LQ_{0} \cdot e^{ - \beta t}\cos \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + 2\vartheta } \right),$

(47)

т.е. напряжение на индуктивности опережает силу тока также на угол $\vartheta$ , который изменяется от $\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}$ до $\pi .$

Выражение (47) можно переписать иначе. Учитывая , что $\omega _{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle LC} }}},$ получим

$U_{L} (t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle Q_{0} }}{{\displaystyle C}}} \cdot e^{ - \beta t}\cos \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + 2\vartheta } \right).$

(48)

Сравните с напряжением на конденсаторе.

Сумма трех напряжений в любой момент времени должна давать ноль, по закону Ома для полной цепи. (См. векторную диаграмму 1.)

Векторная диаграмма 1

Критическое затухание. Сопротивление, при котором колебательное изменение параметров системы переходит в апериодическое движение, можно найти из условия $\beta = \omega _{0} .$

Если подставить значения коэффициента затухания и собственной частоты колебаний, то для величины критического затухания получим

$R_{кр} = 2\sqrt {{\displaystyle \frac{{\displaystyle L}}{{\displaystyle C}}}} .$

Величина $\rho = \sqrt {{\displaystyle \frac{{\displaystyle L}}{{\displaystyle C}}}}$ называется волновое сопротивление последовательного контура.

6.4. Краткие выводы.

Частота свободных незатухающих колебаний в электрическом контуре зависит только от индуктивности и электроемкости контура.
Амплитуда свободных колебаний зависит от начальных условий.
Если в системе отсутствуют активное сопротивление или им можно пренебречь, то колебания будут незатухающими, т.е. будут продолжаться сколь угодно долго.
Если в системе достаточно велико активное сопротивление, то колебания будут затухающими, т.е. не будут продолжаться сколь угодно долго. Их амплитуда будет уменьшаться с течением времени.
Частота свободных затухающих колебаний в электрическом контуре зависит только от индуктивности, электроемкости активного сопротивления контура.
Амплитуда собственных затухающих колебаний будет убывать со временем по экспоненте, т.к. "сила сопротивления" пропорциональна скорости изменения заряда (первой производной заряда по времени - силе тока).
Коэффициент затухания зависит от активного сопротивления и индуктивности.
Если восстанавливающая сила не является линейной функцией смещения системы из положения равновесия, то колебания будут негармоническими. Частота и период будут зависеть от амплитуды колебаний.

Назад| Вперед

П.В.Кузьмин

Написать комментарий