Научная Сеть >> Колебания. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Содержание

Подставим значение постоянных интегрирования в выражение (32), тогда:

$x(t) = \left( {\displaystyle x_{0} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right)} \right) \cdot e^{ - \beta t}\cos \omega t + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} + \beta x_{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega F_{0} \sin \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right) - \beta F_{0} \cos \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right)}}{{\displaystyle \omega \cdot m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}} \right) \cdot e^{ - \beta t}\sin \omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos (\Omega t + \theta + \varepsilon )$

(33)

Преобразуем выражение (33) к виду, выделив различные типы колебаний. (Окончательный вид.)

$x(t) = x_{0} e^{ - \beta t}\cos \omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} + \beta x_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}e^{ - \beta t}\sin \omega t - {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right)e^{ - \beta t}\cos \omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega F_{0} \sin \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right) - \beta F_{0} \cos \left( {\displaystyle \theta + \varepsilon } \right)}}{{\displaystyle \omega \cdot m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}e^{ - \beta t}\sin \omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos (\Omega t + \theta + \varepsilon )$

Первые два слагаемые описывают собственные затухающие гармонические колебания системы (сравните с выражением (10)).

Третье и четвертое описывают собственные затухающие сопровождающие колебания. Это колебания, происходящие с собственной частотой, но их начальная амплитуда зависит от параметров возмущающей силы и уменьшается со временем.

Последнее слагаемое вынужденные колебания. Они происходят с частотой вынуждающей силы, их амплитуда зависит от параметров возмущения и соотношения частоты собственных колебаний и частоты вынуждающей силы.

С течением времени все колебания, кроме вынужденных затухнут и установившимся состоянием станет состояние вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы.

Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания. (Последнее слагаемое.)

Изменение координаты имеет вид:

$x_{уст} \left( {\displaystyle t} \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos \left( {\displaystyle \Omega t + \theta + \varepsilon } \right),$

где $X_{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}$ - амплитуда вынужденных колебаний.

Изменение скорости:

$\upsilon \left( {\displaystyle t} \right) = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\sin \left( {\displaystyle \Omega t + \theta + \varepsilon } \right),$

где $V_{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}$ - амплитуда скорости при вынужденных колебаниях.

Изменение ускорения:

$a\left( {\displaystyle t} \right) = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega ^{2}F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}\cos \left( {\displaystyle \Omega t + \theta + \varepsilon } \right),$

где $a_{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega ^{2}F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}$ - амплитуда ускорения при вынужденных колебаниях.

При приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний, амплитуда колебаний будет стремиться к некоторому конечному значению. Найдем ее. Для этого найдем максимум функции $X_{0} \left( {\displaystyle \Omega } \right),$ найдем производную и приравняем ее к нулю.

${\displaystyle \frac{{\displaystyle dX_{0} }}{{\displaystyle d\Omega }}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\Omega }}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}} \right) = 0.$

Достаточно найти минимум подкоренного выражения в знаменателе.

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}}}{{\displaystyle d\Omega }}} = - 2\left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)\Omega + 8\beta ^{2}\Omega = 0.$

Амплитуда координаты вынужденных колебаний имеет максимум (рис.2.2.3) при $\Omega _{р} = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - 2\beta ^{2}} = \sqrt {\displaystyle \omega ^{2} - \beta ^{2}} ,\; \Omega _{р}$ - резонансная частота - частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения.

Рис. 2.2.3

Подставим значение резонансной частоты в выражение для амплитуды. Амплитуда имеет максимальное значение равное

$X_{0\max } = X_{0} \left( {\displaystyle \Omega _{p} } \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle 2m\beta \omega }}}.$

Интересно, что амплитуда, скорость и ускорение достигают максимального значения при различных частотах, которые совпадают лишь в том случае, если сопротивление в системе отсутствует.

Аналогичным образом найдем значение частоты вынуждающей силы, при которой достигается максимальное значение амплитуды скорости

${\displaystyle \frac{{\displaystyle dV_{0} }}{{\displaystyle d\Omega }}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\Omega }}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}} \right) = 0$

Откуда $\Omega _{1р} = \omega _{0}$ (рис.2.2.4).

Рис. 2.2.4

Амплитуда скорости имеет максимальное значение равное $V_{0\max } = V_{0} \left( {\displaystyle \Omega _{1p} } \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle 2m\beta }}}.$

Так же найдем значение частоты вынуждающей силы, при которой достигается максимальное значение амплитуды ускорения

${\displaystyle \frac{{\displaystyle da_{0} }}{{\displaystyle d\Omega }}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\Omega }}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \Omega ^{2}F_{0} }}{{\displaystyle m\sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)^{2} + 4\beta ^{2}\Omega ^{2}} \right]}} }}}} \right) = 0.$

Откуда $\Omega _{2р} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega _{0} ^{2}}}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle \omega _{0} ^{2} - 2\beta ^{2}} \right)} }}}.$

Амплитуда ускорения имеет максимальное значение равное

$a_{0\max } = a_{0} \left( {\displaystyle \Omega _{2p} } \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} \omega _{0} }}{{\displaystyle 2m\beta }}} \cdot \sqrt {\displaystyle 2{\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega _{0}^{2} - 2\beta ^{2}}}{{\displaystyle \omega _{0}^{2} + 2\beta ^{2}}}}} .$

2.3. Вынужденные колебания под действием негармонической периодической силы

Если внешняя сила не является гармонической, но является периодической, то ее можно разложить в ряд Фурье по синусам или косинусам.

$F\left( {\displaystyle t} \right) = A_{0} + A_{1} \sin \Omega t + A_{2} \sin 2\Omega t + \ldots + B_{1} \cos \Omega t + B_{2} \cos 2\Omega t + \ldots ,$

()

где $A_{j} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle \tau }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{\tau } {\displaystyle F\left( {\displaystyle t} \right)\cos j\omega t \cdot dt} },\quad A_{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \tau }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{\tau } {\displaystyle F\left( {\displaystyle t} \right) \cdot dt} }$ и $B_{j} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle \tau }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{\tau } {\displaystyle F\left( {\displaystyle t} \right)\sin j\omega t \cdot dt} },\quad j = 1,2\ldots$

$\tau$ - период колебаний вынуждающей силы. Тогда уравнение (26) примет вид:

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}x}}{{\displaystyle dt^{2}}}} + 2\beta {\displaystyle \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle dt}}} + \omega _{0}^{2} x = {\displaystyle \frac{{\displaystyle A_{0} }}{{\displaystyle m}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle A_{1} }}{{\displaystyle m}}}\sin \Omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle A_{2} }}{{\displaystyle m}}}\sin 2\Omega t + \ldots + {\displaystyle \frac{{\displaystyle B_{1} }}{{\displaystyle m}}}\cos \Omega t + {\displaystyle \frac{{\displaystyle B_{2} }}{{\displaystyle m}}}\cos 2\Omega t + \ldots .$

Поскольку система является линейной, то результирующее колебание может быть получено путем наложения колебаний (32), вызываемых каждым членом ряда (34) (т.е. общее решение будет являться суперпозицией решений (32) для составляющих возмущающей силы различных частот кратных $\Omega$ ).

Из-за наличия сопротивления свободные колебания со временем затухнут.

Значительные по амплитуде колебания могут возникнуть в том случае, когда частота одного из членов ряда (34) близок к собственной частоте колебаний системы, т.е. если период возмущающей силы равен или кратен периоду колебаний системы.

Назад| Вперед

П.В.Кузьмин

Написать комментарий